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勾绘量子色动力学(QCD)的相图是中高能核物理研究的前沿和热点。作为第一性原理,格点量子色动力学(LQCD)是研究QCD相图的非常重要的方法。但因费米子符号问题[1],LQCD在有限化学势时的应用具有很大的局限性。为绕过这一问题,物理学家先后提出了多种不同的方法[1]。其中一种有效方法是选取虚化学势,这时费米子行列式变成实的,从而可以规避符号问题。这种方法通常先模拟得到虚化学势域的结果,然后再将其解析延拓到实化学势域[2–8]。
Roberge等[9]发现,引入虚夸克化学势
$\mu_I\!=\! {\rm{i}}T\theta$ 后的QCD热力学势满足$\Omega_{{\rm{QCD}}}(\theta) \!= \!\Omega_{{\rm{QCD}}}(\theta\!+\!2\pi/3)$ ,即所谓的RW周期性。因动力学夸克使得${\mathbb{Z}}_3$ 对称性明显破缺,当温度高于某临界值$T_{{\rm{RW}}}$ 时,三个原本简并的${\mathbb{Z}}_3$ 真空有效热力学势$\Omega_\phi$ ($\phi\! =\! 0,\pm2\pi/3$ ) 不再简并。作为$\theta$ 的函数,这三个解的周期均为$2\pi$ ,且其中任意思个可通过左右平移$2\pi/3$ 而得到另外两个;而确定$\theta$ 下的物理热力学势则对应这三个解的最小值。这就导致热力学势在$\theta \!=\! \pi/3$ (mod$2\pi/3$ )处有尖峰,即${\rm{d}}\varOmega_{{\rm{QCD}}}/{\rm{d}}\theta$ 不连续,相应的相变被称为Roberge-Weiss(RW)相变[9]。需要强调的是,RW相变是和${\mathbb{Z}}_2$ 对称性相对应的真实相变,夸克虚密度及Polyakov-loop的相因子均可作为序参量。LQCD研究发现,RW端点的性质与夸克质量关系密切[10–13]:当夸克质量取值较大或者较小时,RW端点是三相点(三个一级相变线交汇);而中间质量区域的RW端点为临界点(CEP)。最新的LQCD模拟显示取物理质量时的RW端点是二级相变点[14]。研究RW端点的性质和质量的关系有助于理解手征对称性(轻夸克域)和中心对称性(重夸克域)对QCD相变的影响。但目前LQCD的计算结果对算法及格距都比较敏感。除LQCD外,QCD的有效模型也可用以研究RW相变。要得到正确的RW周期,低能有效模型除具有手征对称性外,还需满足所谓扩展的
${\mathbb{Z}}_3$ 对称性[15]。Polyakov-loop拓展的Nambu-Jona-Lasinio(PNJL)模型和Polyakov-loop拓展的夸克介子(PQM)模型就满足该条件,是该类模型的优点之一。新近研究发现,若味道质量简并且
$N_{\rm{f}} = N_{\rm{c}}$ ,味道编号为${\rm{f}}$ 的夸克场满足扭曲边界条件$$ q_{\rm{f}}(x,\beta = 1/T) = -{\rm{e}}^{-{\rm{i}}\theta_{\rm f}}q_{\rm{f}}(x,0), $$ (1) 其中
$$ \theta_{\rm{f}} = 2f\pi/N_{\rm{c}}(f = 1,\cdots, N_{\rm{c}}), $$ (2) 则相应的SU(
${N_{\rm{c}}}$ )规范理论亦具有严格的${\mathbb{Z}}_{N_{\rm{c}}}$ 中心对称性[15-16]。这里味道依赖的扭曲边界条件(1)等效于引入虚化学势$\mu_{\rm{f}}\! =\! {\rm{i}}T\theta_{\rm{f}}$ 但保持物理的反对称边界条件不变。满足上述扭曲边界条件的$N_{\rm{c}}\! =\! 3$ 的类QCD理论被称为${\mathbb{Z}}_{3}$ -QCD[15, 17]。不同于QCD,在${\mathbb{Z}}_{3}$ -QCD中Polyakov-loop是中心对称性的严格序参量。研究${\mathbb{Z}}_{3}$ -QCD的热力学性质及相变性质有助于揭示QCD退禁闭相变和中心对称性间的微妙关系。${\mathbb{Z}}_{3}$ -QCD理论的一个优点是可用于研究RW及退禁闭相变①对中心对称性破缺模式及破缺程度的依赖关系。如前所述,RW相变的前提是中心对称性必须明显破缺。而味道和颜色数的差异、质量非简并以及味道相关的虚化学势对公差为$2\pi/{N_{\rm c}}$ 等差数列的偏离均可导致${\mathbb{Z}}_{3}$ -QCD的中心对称性明显破缺。最近,本文作者之一及合作者,选取味道依赖的虚化学势$(\mu_{\rm{u}},\mu_{\rm{d}},\mu_{\rm{s}}) = {\rm{i}}T(\theta-2C\pi/3,\theta,\theta+2C\pi/3)$ ($0\leqslant{C}\leqslant1$ )②[18],采用三个味道的PNJL作为${\mathbb{Z}}_{3}$ -QCD的有效模型,分别研究了几种不同中心对称性破缺模式下的RW及退禁闭相变[17]。研究发现,当味道质量简并但$C\ne1$ 时,在$\theta = \pi/3$ (mod$2\pi/3$ )处存在RW相变,其强度随着$C$ 减小而增强;当$C=1$ ,$N_{\rm{f}} = 2+1$ (两轻一重)时,RW相变发生在$\theta = 2\pi/3$ (mod$2\pi/3$ )处,而$N_{\rm{f}} = 1+2$ (一轻两重)时,RW相变点又回到$\theta = \pi/3$ (mod$2\pi/3$ )处。在上述几种情形,RW相变端点均保持为三相点。需强调的是,文献[17]的结论基于传统的PNJL模型,即采用由纯规范理论得到的Polyakov-loop有效势来模拟QCD的胶子势。传统PNJL忽略了夸克对胶子势的反馈作用③,原因在于如何在Polyakov-loop势中计及夸克效应是个很困难的问题。近来,基于泛函重整化群方法,文献[19]提出用一种改进的、考虑了单圈夸克效应的QCD胶子势来替代基于纯规范的Polyakov-loop势,并用以研究QCD相变。本文拟把基于这种改进的胶子势的Polyakov-loop拓展的夸克介子模型(PQM)当作
${\mathbb{Z}}_{3}$ -QCD的有效理论,来研究不同中心对称破缺模式下的RW及退禁闭相变。我们将采用味道相关的虚化学势,并与文献[17]的结果进行比较。本文主要目的一是检验文献[17]所得的主要结论是否与模型相关;二是考察夸克反馈效应对RW及退禁闭相变的影响。本文第二部分将给出平均场近似下、虚化学势情形的PQM模型热力学势。第三部分给出几种中心对称性破缺模式下的RW及退禁闭相变的数值解。第四部分是结论。
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PQM模型是当前流行的QCD低能有效理论之一,被广泛用于QCD相变的研究。相对于PNJL模型,PQM模型具有可重整化的优势。三种味道情形PQM模型的拉氏量为[20]
$$ \begin{split} {\cal{L}} =& {{\bar{q}_{\rm{f}}}}[{\rm{i}}\gamma_{\mu}\partial_\mu-gT_a(\sigma_a+{\rm{i}}\gamma_5\pi_a)]q_{\rm{f}}+{\rm{Tr}}(\partial_\mu\phi^{\dagger}\partial^\mu\phi)-\\ & m^2{\rm{Tr}}(\phi^{\dagger}\phi)-\lambda_1[{\rm{Tr}}(\phi^{\dagger}\phi)]^2-\lambda_2{\rm{Tr}}(\phi^{\dagger}\phi)^2+\\ & c(\det\phi+\det\phi^{\dagger})+{\rm{Tr}}[H(\phi+\phi^{\dagger})]-{\cal{U}}(\Phi,\bar{\Phi};T), \end{split} $$ (3) 式中
$\phi$ 是由标量$\sigma_a$ 介子和赝标量$\pi_a$ 介子定义的$3\times3$ 矩阵,$T_a = \lambda_a/2$ ($a = 0,\cdots,8$ )是$U(3)$ 对称群的九个生成元,$\lambda_a$ 是色空间的Gell-Mann矩阵。仅考虑同位旋对称的问题,而不考虑上夸克部分与下夸克部分的区别,则手征对称性的序参量为轻夸克凝聚$\sigma$ 和奇异夸克凝聚$\sigma_{\rm{s}}$ 。在平均场近似下,忽略介子的量子涨落和热涨落,保留夸克/反夸克作为量子场,单位体积的热力学势可表示为$$ \begin{split} \Omega(\sigma,\sigma_{\rm{s}},\Phi,\bar{\Phi};T,\mu_{\rm{f}}) =& \Omega_{{\rm{q\bar{q}}}}(\sigma,\sigma_{\rm{s}},\Phi,\bar{\Phi};T,\mu_{\rm{f}})+\\ &U(\sigma,\sigma_{\rm{s}})+{\cal{U}}(\Phi,\bar{\Phi};T), \end{split} $$ (4) 其中轻夸克凝聚为
$\sigma = \langle\bar{\rm{{u}u}}\rangle = \langle\bar{{\rm{d}d}}\rangle$ ,奇异夸克凝聚为$\sigma_{\rm{s}} = \langle\bar{{\rm{s}s}}\rangle$ 。式(4)右侧第一项第三项为组分夸克的贡献;第二项是能产生手征对称性自发破缺的介子势;第三项是胶子部分对应的Polyakov-loop势。式(4)中的最后一项组分夸克贡献来源于单圈近似为夸克圈的QCD流方程,其形式为④
$$ \begin{split} &\Omega_{{\rm{q\bar{q}}}} (\sigma_{\rm{u}},\sigma_{\rm{d}},\sigma_{\rm{s}},\Phi,\bar{\Phi};T,\mu_{\rm{f}})\\ =& -2T\sum\limits_{f = {\rm{u,d,s}}}\int\frac{{\rm{d}}^3p}{(2\pi)^3}{\big[\ln(1+F)+\ln(1+F^*)\big]}, \end{split} $$ (5) 其中
$$\begin{split} F =& 3(\Phi+\bar{\Phi}{\rm e}^{-(E_{\rm{f}}-\mu_{\rm{f}})/T}){\rm e}^{-(E_{\rm{f}}-\mu_{\rm{f}})/T}+\\&{\rm e}^{-3(E_{\rm{f}}-\mu_{\rm{f}})/T} {\text{。}}\end{split}$$ (6) 上式中夸克的色散关系为
$E_{\rm{f}} = \sqrt{p^2+m_{\rm{f}}^2}$ ,其中轻夸克质量和奇异夸克质量分别为$$ m = \frac{g}{2}\sigma , \;\;\;\;\;\; m_{\rm s} = \frac{g}{\sqrt{2}}\sigma_{\rm{s}}{\text{。}} $$ 本文统一选取Yukawa耦合常数
$g = 6.5$ 。若考虑两个轻夸克和一个奇异夸克(
$N_{\rm{f}} = 2+1$ ),介子势的形式如下[20-21]$$ \begin{split} U_{2+1}(\sigma,\sigma_{\rm{s}}) =& \frac{m^2}{2}(\sigma^2+\sigma_{\rm{s}}^2)-h\sigma-h_{\rm{s}}\sigma_{\rm{s}}+\\ &\frac{\lambda_1}{2}\sigma^2\sigma_{\rm{s}}^2+\frac{1}{8}(2\lambda_1+\lambda_2)\sigma^4+\\ &\frac{1}{4}(\lambda_1+\lambda_2)\sigma_{\rm{s}}^4-\frac{c}{2\sqrt{2}}\sigma^2\sigma_{\rm{s}}, \end{split} $$ (7) 其中参数
$h$ 和$h_{\rm{s}}$ 分别对应轻夸克和奇异夸克。若模型中有一个轻夸克和两个奇异夸克($N_{\rm{f}} = 1+2$ ),则对应介子势的形式为$$ \begin{split} U_{1+2}(\sigma,\sigma_{\rm{s}}) =& \frac{m^2}{2}(\frac{\sigma^2}{2}+2\sigma_{\rm{s}}^2)-\frac{h}{2}\sigma-2h_{\rm{s}}\sigma_{\rm{s}}+\\&\frac{\lambda_1}{2}\sigma^2\sigma_{\rm{s}}^2+\frac{1}{16}(\lambda_1+\lambda_2)\sigma^4+\\&\frac{1}{2}(2\lambda_1+\lambda_2)\sigma_{\rm{s}}^4)-\frac{c}{2}\sigma\sigma_{\rm{s}}^2{\text{。}} \end{split} $$ (8) 当模型中三个夸克均为轻夸克(
$N_{\rm{f}} = 3$ ),则相应的介子势变为$$ U_3(\sigma) = \frac{3m^2}{4}\sigma^2-\frac{3h}{2}\sigma+\frac{3}{16}(3\lambda_1+\lambda_2)\sigma^4-\frac{c}{2}\sigma^3{\text{。}} $$ (9) 热力学势的介子部分有六个参数,分别是耦合常数
$m^2$ 、$\lambda_1$ 、$\lambda_2$ 、$c$ 以及明显的手征对称性破缺项$h$ 和$h_{\rm{s}}$ 。若选取的介子质量不同,对应的6个参数值也不一样。本文取介子质量$m_\sigma = 500$ MeV,6个参数相应的取值由表1给出[20-21]。表 1 介子势中的参数值
$m^2$/MeV $\lambda_1$ $\lambda_2$ $c$/MeV $h$/MeV $h_{\rm{s}}$/MeV $(434.56)^2$ –2.7 46.48 4807.84 $(120.73)^3$ $(336.41)^3$ 式(4)中的第三项通常选用纯规范下的胶子势。这种传统Polyakov-loop势有多项式形式和对数形式两种常用模型。从文献[19]可知,当PQM模型选取对数形式的Polyakov-loop势时,模拟结果与LQCD结果更相符。因此,本文将采用对数形式的Polyakov-loop势,其形式为
$$ \begin{split} \frac{{\cal{U}}(\Phi,\bar{\Phi};T)}{T^4} =& -\frac{a(t)}{2}\Phi\bar{\Phi}+b(t){\rm{ln}}[1-6\Phi\bar{\Phi}+\\ &4(\Phi^3+\bar{\Phi}^3)-3(\Phi\bar{\Phi})^2], \end{split} $$ (10) 其中,与温度相关的参数分别为
$$\begin{split} a(t) =& a_0+ \frac{a_1}{1+t}+\frac{a_2}{(1+t)^2},\\ b(t) =& \frac{b_0}{(1+t)^3},\\ t =& \frac{T-T_{\rm{c}}}{T_{\rm{c}}}, \end{split}$$ $T_{\rm{c}}$ 表示的是临界温度。根据文献[19],当介子质量$m_\sigma = 500$ MeV时,$T_{\rm{c}}$ 取210 MeV结果与LQCD的数据更接近。Polyakov-loop势中的参数是通过LQCD中的数据[22]确定,具体取值见表2。表 2 对数形式Polyakov-loop势中的参数值
$ a_0$ $ a_1$ $ a_2$ $ b_0$ 3.51 –2.47 15.2 –1.75 传统的Polyakov-loop势并没有考虑夸克的反馈作用(方便起见,本文用
$U_{{\rm{YM}}}$ 表示传统的Polyakov-loop势)。为了使有效模型的研究更加接近真实的QCD,文献[19]利用泛函重整化群方法,对Polyakov-loop势进行了改进。通过对比有效势的纯胶子部分和Yang-Mills势,文献[19]中得出下面的关系式$$ t_{\rm YM}(t_{{\rm{glue}}})\approx0.57t_{{\rm{glue}}}, $$ (11) 即对传统的Polyakov-loop势中的变量做替换
$t\to0.57t$ 。这时,Polyakov-loop势不再是纯规范势,而是包含了夸克的部分反馈作用(方便起见,本文用$U_{{\rm{glue}}}$ 表示改进的Polyakov-loop势)。这种改进使得PQM模型更加接近真实的QCD。文献[23–26]均采用了这种改进的势,且文献[26]在这一基础上进行了进一步的改进,将临界温度表示成温度的函数。本文将分别采用传统的和改进的Polyakov-loop势进行计算,并特别关注夸克反馈效应的影响。当给定温度
$T$ 和虚化学势$\mu_{\rm{f}}$ 时,变量$X \!=\! \sigma,\sigma_{\rm{s}},\Phi, \bar{\Phi}$ 由下列的平衡条件给出$$ \frac{\partial\varOmega}{\partial{X}} = 0, $$ (12) 再将平衡条件的解X,代入式(4),就可以得到热力学势的解
${\varOmega}$ 。对三种味道质量简并的PQM模型,如果引入味道相关的虚化学势并使对应的
$\theta_{\rm{f}}$ 之间保持$2\pi/3$ 的等比关系,则该模型将具有严格的中心对称性。我们可将其称之为${\mathbb{Z}}_{3}$ -PQM模型。${\mathbb{Z}}_{3}$ -PQM可看作${\mathbb{Z}}_{3}$ -QCD的有效模型,可用来研究不同中心对称性破缺模式下的RW相变和退禁闭相变。
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摘要:
${\mathbb{Z}}_3$ -QCD是具有严格中心对称性的类QCD理论,研究其在特殊条件下的性质有助于理解QCD退禁闭相变。本文应用三种味道的Polyakov-loop拓展的夸克介子模型作为${\mathbb{Z}}_3$ -QCD的低能有效理论,研究了不同中心对称性破缺模式下的Roberge-Weiss(RW)相变。为保证RW周期性,本文采用味道依赖的虚化学势$(\mu_{\rm{u}},\mu_{\rm{d}},\mu_{\rm{s}})={\rm{i}}T(\theta-2C\pi/3,\theta,\theta+2C\pi/3)$ ,其中$0\!\leqslant\!{C}\!\leqslant1$ 。传统的和夸克反馈效应改进的两种不同Polyakov-loop势被分别用于相应的计算。研究表明,当$N_{\rm{f}}\!=\!3$ ,$C\!\ne\!1$ 时,RW相变出现在$\theta=\pi/3$ (mod$2\pi/3$ )处,其强度随$C$ 值的减小而加强;当$C\!=\!1$ ,$N_{\rm{f}}\!=\!2\!+\!1$ 时,RW相变位置出现反常,变为$\theta=2\pi/3$ (mod$2\pi/3$ );而当$C\!=\!1$ ,$N_{\rm{f}}\!=\!1\!+\!2$ 时,RW相变点又返回$\theta\!=\!\pi/3$ (mod$2\pi/3$ )。上述几种情形的RW相变端点均为三相点。研究发现,夸克反馈效应使得RW相变强度减弱,退禁闭相变温度变低,但并未改变前述的定性结论。Abstract:${\mathbb{Z}}_3$ -QCD is a QCD-like theory with strict center symmetry. We use the Polyakov-loop extended quark meson model (PQM) as a low-energy effective theory of${\mathbb{Z}}_3$ -QCD to study the RW transitions in different center symmetry breaking patterns. The flavor-dependent imaginary chemical potentials, namely$(\mu_{\rm{u}},\,\mu_{\rm{d}},\,\mu_{\rm{s}})= {\rm{i}}T(\theta-2C\pi/3,\theta,\theta+2C\pi/3)$ are adopted, which guarantees the RW periodicity. The traditional and quark improved Polyakov-loop potentials are used, respectively. For$N_{\rm{f}}\!=\!3$ with$C\!\ne\!1$ , the RW transition occurs at$\theta\!=\!\pi/3$ (mod$2\pi/3$ ), which gets stronger when$C$ declines from one to zero. When$C\!=\!1$ , the RW transition happens at$\theta\!=\!2\pi/3$ (mod$2\pi/3$ ) for$N_{\rm{f}}\!=\!2+1$ , but$\theta\!=\!\pi/3$ (mod$2\pi/3$ ) for$N_{\rm{f}}\!=\!1+2$ . We find that all RW transition endpoints are triple points when$C\!=\!1$ . We confirm that the RW transition becomes weaker and the deconfinement temperature gets lower when taking into account the quark back-reaction effect. However, the modification of the gluon sector due to the quark effect does not change the main conclusions mentioned above.-
Key words:
- PQM model /
- quark backreaction /
- RW phase transition /
- deconfinement transition
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表 1 介子势中的参数值
$m^2$ /MeV$\lambda_1$ $\lambda_2$ $c$ /MeV$h$ /MeV$h_{\rm{s}}$ /MeV$(434.56)^2$ –2.7 46.48 4807.84 $(120.73)^3$ $(336.41)^3$ 表 2 对数形式Polyakov-loop势中的参数值
$ a_0$ $ a_1$ $ a_2$ $ b_0$ 3.51 –2.47 15.2 –1.75 -
[1] KOGUT J B, SINCLAIR D K. Phys Rev D, 2008, 77: 114503. doi: 10.1103/PhysRevD.77.114503 [2] DE FORCRAND P, PHILIPSEN O. Nucl Phys B, 2002, 642: 290. doi: 10.1016/S0550-3213(02)00626-0 [3] DE FORCRAND P, PHILIPSEN O. Nucl Phys B, 2003, 673: 170. doi: 10.1016/j.nuclphysb.2003.09.005 [4] ELIA M D, LOMBARDO M P. Phys Rev D, 2003, 67: 014505. doi: 10.1103/PhysRevD.67.014505 [5] ELIA M D, LOMBARDO M P. Phys Rev D, 2004, 70: 074509. doi: 10.1103/PhysRevD.70.074509 [6] CHEN H S , LUO X Q. Phys Rev D, 2005, 72: 034504. doi: 10.1103/PhysRevD.72.034504 [7] WU L K , LUO X Q, CHEN H S. Phys Rev D, 2007, 76: 034505. doi: 10.1103/PhysRevD.76.034505 [8] ELIA M D, RENZO F D, LOMBARDO M P. Phys Rev D, 2007, 76: 114509. doi: 10.1103/PhysRevD.76.114509 [9] ROBERGE A, WEISS N. Nucl Phys B, 1986, 275: 734. doi: 10.1016/0550-3213(86)90582-1 [10] WU L K, MENG X F. Phys Rev D, 2013, 87: 094508. doi: 10.1103/PhysRevD.87.094508 [11] PHILIPSEN O, PINKE C. Phys Rev D, 2014, 89: 094504. doi: 10.1103/PhysRevD.89.094504 [12] CZABAN C, CUTERI F, PHILIPSEN O, et al. Phys Rev D, 2016, 93: 054507. doi: 10.1103/PhysRevD.93.054507 [13] BONATI C, ELIA M D, MARITI M, et al. Phys Rev D, 2016, 93: 074504. doi: 10.1103/PhysRevD.93.074504 [14] BONATI C, CALORE E, D’ELIA M, et al. Phys Rev D, 2019, 99: 014502. doi: 10.1103/PhysRevD.99.014502 [15] KOUNO H, SAKAI Y. J Phys G: Nucl Part Phys, 2012, 39: 085010. doi: 10.1088/0954-3899/39/8/085010 [16] CHERMAN A, SEN S, UNSAL M, et al. Phys Rev Lett, 2017, 119: 222001. doi: 10.1103/PhysRevLett.119.222001 [17] LI X F, ZHANG Z. Phys Rev D, 2019, 100: 074026. doi: 10.1103/PhysRevD.100.074026 [18] SUGANO J, KOUNO H, YAHIRO M. Phys Rev D, 2017, 96: 014028. doi: 10.1103/PhysRevD.96.014028 [19] HAAS L M, STIELE R , BRAUN J, et al. Phys Rev D, 2013, 87: 076004. doi: 10.1103/PhysRevD.87.076004 [20] SCHAEFER B J, WAGNER M. Phys Rev D, 2009, 79: 014018. doi: 10.1103/PhysRevD.79.014018 [21] LENAGHAN J T, RISCHKE D H, SCHAFFNERBIELICH J. Phys Rev D, 2000, 62: 085008. doi: 10.1103/PhysRevD.62.085008 [22] KACZMAREK O, KARSCH F, PETRECZKY P, et al. Phys Lett B, 2002, 543: 41. doi: 10.1016/S0370-2693(02)02415-2 [23] STIELE R, BIELICH J S. Phys Rev D, 2016, 93: 094014. doi: 10.1103/PhysRevD.93.094014 [24] YIN S, WEN R, FU W J. Phys Rev D, 2019, 100: 094029. doi: 10.1103/PhysRevD.100.094029 [25] TORRES-RINCON J M, AICHELIN J. Phys Rev C, 2017, 96: 045205. doi: 10.1103/PhysRevC.96.045205 [26] FUSEAU D, STEINERT T, AICHELIN J. arXiv: 1908.08122.