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把模型组态空间分为
$Q_1$ 和$Q_2$ ,其中,$Q_1$ 为$1p$ -$1h$ 组态空间,$Q_2$ 为$1p$ -$1h$ 与声子耦合的组态空间。把哈密顿量H投影在子空间$Q_1$ 上,得到有效哈密顿量:$$ \begin{split} {\cal{H}} (\omega) =& Q_1 H Q_1 +W^\downarrow (\omega)= Q_1HQ_1 +\\&Q_1 H Q_2 \frac{1}{\omega-Q_2HQ_2+{\rm{i}}\epsilon} Q_2HQ_1 , \end{split} $$ (1) 其中:第二项
$ W^\downarrow(\omega)$ 为展宽项,考虑了$1p$ -$1h$ 与声子耦合的贡献;$\omega$ 为激发能量。取RPA的本征态$|n\rangle$ 作为基底,激发态$|\nu \rangle$ 用其作展开,则激发态$|\nu \rangle$ 的产生算符为$$ {\cal{O}}^\dagger_\nu = \sum\limits_{\omega_n>0} F_n^{(\nu)} O_n^\dagger - \bar{F}_n ^{(\nu)} \bar{O}_n^\dagger, $$ (2) 其中:
$O_n^\dagger$ 和$\bar{O}_n^\dagger$ 分别为具有正能量$\omega_n$ 和负能量$-\omega_n$ 的RPA本征态$|n\rangle$ 和$|\bar{n}\rangle$ 的产生算符;$F_n^{(\nu)}$ 和$\bar{F}_n ^{(\nu)}$ 为相应的展开系数。有效哈密顿量的本征方程为$$ [{\cal{H}}, {\cal{O}}^\dagger_\nu ] = \left(\Omega_\nu -{\rm{i}} \frac{\Gamma_\nu}{2}\right) {\cal{O}}^\dagger_\nu{\text{。}} $$ (3) 其中:
$\Omega_\nu -{\rm{i}} \frac{\Gamma_\nu}{2}$ 为本征方程的复本征值,$\Omega_\nu$ 代表能量,$\Gamma_\nu$ 代表宽度信息。写为矩阵形式,可得$$ \begin{split} &\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\cal{D}} + {{\cal{A}}_1}(\omega )}&{{{\cal{A}}_2}(\omega )}\\ { - {{\cal{A}}_3}(\omega )}&{ - {\cal{D}} - {{\cal{A}}_4}(\omega )} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F^{(\nu )}}}\\ {{{\bar F}^{(\nu )}}} \end{array}} \right)=\\ &\left({\Omega _\nu } - {\rm i}\dfrac{{{\Gamma _\nu }}}{2}\right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F^{(\nu )}}}\\ {{{\bar F}^{(\nu )}}} \end{array}} \right){\text{。}} \end{split}$$ (4) 其中:
${\cal{D}} $ 为对角矩阵,对角矩阵元为RPA正的本征值。${\cal{A}}_i$ 包含着$1p$ -$1h$ 与声子态耦合带来的贡献,写在RPA本征态的基底上,具有如下形式:$$ \begin{split} ({\cal{A}}_1) _{mn} =& \sum\limits_{ph,p'h'} W^\downarrow _{ph,p'h'} (\omega) X_{ph}^{(m)} X^{(n)}_{p'h'}+\\ & W^{\downarrow*} _{ph,p'h'} (-\omega) Y_{ph}^{(m)} Y^{(n)}_{p'h'}, \end{split} $$ (5) $$ \begin{split} ({\cal{A}}_2) _{mn} =& \sum\limits_{ph,p'h'} W^\downarrow _{ph,p'h'} (\omega) X_{ph}^{(m)} Y^{(n)}_{p'h'} +\\ & W^{\downarrow*} _{ph,p'h'} (-\omega) Y_{ph}^{(m)} X^{(n)}_{p'h'}, \end{split}$$ (6) $$ \begin{split} ({\cal{A}}_3) _{mn} =& \sum\limits_{ph,p'h'} W^\downarrow _{ph,p'h'} (\omega) Y_{ph}^{(m)} X^{(n)}_{p'h'}+\\ & W^{\downarrow*} _{ph,p'h'} (-\omega) X_{ph}^{(m)} Y^{(n)}_{p'h'}, \end{split} $$ (7) $$ \begin{split} ({\cal{A}}_4) _{mn} =& \sum\limits_{ph,p'h'} W^\downarrow _{ph,p'h'} (\omega) Y_{ph}^{(m)} Y^{(n)}_{p'h'}+\\ & W^{\downarrow*} _{ph,p'h'} (-\omega) X_{ph}^{(m)} X^{(n)}_{p'h'}{\text{。}} \end{split} $$ (8) 其中:
$X,Y$ 为RPA的本征矢,在粒子空穴基底上的展宽项矩阵元$W^{\downarrow}_{php'h'}$ 为$$ W^{\downarrow}_{ph,p'h'} (\omega) = \sum\limits_N \frac{\langle ph |V|N\rangle \langle N | V | p'h' \rangle }{\omega -\omega_N}{\text{。}} $$ (9) 图 1 矩阵元
$ W^{\downarrow}_{ph,p'h'}$ 的费曼图表示,相应的解析表达式见公式(10)。图取自文献[37]相应的解析表达式为
$$ \begin{split} W^{\downarrow }(1) =& \delta_{hh'}\delta_{j_p j_{p'}} \sum\limits_{p'',nL} \frac{1} {\omega-(\omega_n+\epsilon_{p''}-\epsilon_h)+{\rm i}\eta} \\ & \frac{ \langle p || V || p'',nL \rangle \langle p' || V || p'',nL \rangle }{\hat{j}_p^2} ,\\ W^{\downarrow }(2) =& \delta_{ p {p'}} \delta_{j_h j_{h'}} \sum\limits_{h'',nL} \frac{1} {\omega-(\omega_n-\epsilon_{h''}+\epsilon_p)+{\rm i}\eta} \\ & \frac{ \langle h || V || h'',nL \rangle \langle h' || V || h'',nL \rangle }{\hat{j}_h ^2} , \\ W^{\downarrow }(3) =& \sum\limits_{nL} \frac{(-)^{ j_{p}-j_{h'}+J+L}}{\omega-(\omega_n+\epsilon_{p}-\epsilon_{h'})+{\rm i}\eta} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j_p}\;\;{j_h}\;\;J}\\ {{j_{h'}}\;\;{j_{p'}}\;\;L} \end{array}} \right\} \\ & \langle p' || V || p, nL \rangle \langle h' || V || h,nL \rangle, \\ W^{\downarrow }(4) =& \sum\limits_{nL} \frac{(-)^{ j_{p'}-j_{h}+J+L}}{\omega-(\omega_n+\epsilon_{p'}-\epsilon_{h})+{\rm i}\eta} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j_p}\;\;{j_h}\;\;J}\\ {{j_{h'}}\;\;{j_{p'}}\;\;L} \end{array}} \right\}\\ & \langle p || V || p',nL \rangle \langle h || V || h' , nL \rangle{\text{。}}\end{split} $$ (10) 其中:
$\epsilon_p$ ($\epsilon_h$ )为单粒子(空穴)能量;$\omega_n$ 为$|nL\rangle$ 态RPA声子能量;$j$ 为单粒子角动量;$L$ 为声子角动量;$J$ 为激发态角动量。$\langle p || V || p',nL \rangle$ 和$\langle h || V || h'',nL \rangle$ 为约化的PVC顶角矩阵元[37]。对角化方程(4)可得复本征值$\Omega_\nu - {\rm{i}} \frac{\Gamma_\nu}{2}$ 以及复本征矢$F^{(\nu)}$ ,随后可计算GT跃迁强度分布函数$$ \begin{split} S(\omega) &= -\frac{1}{\pi} {\rm{Im}} R(\omega)\\& = -\frac{1}{\pi} {\rm{Im}} \sum\limits_\nu \langle 0 | \hat O_{\rm{GT}} | \nu \rangle ^2 \frac{1}{\omega - \Omega_\nu+{\rm{i}}\frac{\Gamma_\nu}{2}}, \end{split} $$ (11) 其中:
$\hat O_{\rm{GT}} = \sum_{i = 1}^A \sigma(i) \cdot \tau_-(i)$ 为GT跃迁算符。更详细的公式见文献[37]。首先,基于RPA+PVC模型研究原子核的GT跃迁,将统一采用Skyrme相互作用参数SkM*[38]。图2给出了原子核208Pb的跃迁强度分布,分别由RPA模型和RPA+PVC模型计算给出。实验数据由(p, n)反应测得[39]。RPA模型仅能给出分立的峰,
$E\! =\! 20.3$ MeV处的共振峰集中了共振区域所有的跃迁强度。而实验上得到的峰值位置在E = 19.2 MeV(相对母核),并在共振区域给出了将近4 MeV的共振宽度。包含粒子振动耦合效应之后,共振峰的位置下降了1.1 MeV,并获得了约3.6 MeV的展宽,与实验值符合得较好。此外,RPA以及RPA+PVC模型在低能量区域$E\sim 12$ MeV均给出了激发态,然而,实验上并没有观测到该跃迁。RPA模型能够给出99.99%的Ikeda求和规则,即$B({\rm{GT}}^-)-B({\rm{GT}}^+)\!=\! 3(N-Z)$ ,其中只有3%的跃迁强度位于$E\! =\! 25$ MeV之上。而实验上测得的总跃迁强度仅为60%的求和规则,此即著名的压低(quenching)现象。考虑粒子振动耦合效应之后,截至激发能量$E \!=\! 60$ MeV,RPA+PVC给出了95.6%的求和规则,其中12%的跃迁强度位于$E \!=\! 25$ MeV之上。与RPA模型相比,能够更好地解释quenching现象。然而,实验观测到的强度仍然为RPA+PVC结果的68%,仍有约$30$ %的quenching无法解释。这可能来源于高能量的$2p$ -$2h$ 组态、张量力效应[40]、Δ共振态激发[41]以及从实验数据提取跃迁强度的不确定性。图 2 (在线彩图)原子核208Pb的跃迁强度分布,分别由RPA模型(B(GT–)/无量纲)和RPA+PVC模型(S(GT–)/MeV–1)计算给出,并与实验值[39]进行比较
RPA+PVC模型对稳定原子核给出了很好的描述,接下来,用它研究不稳定原子核的GT跃迁强度分布[37, 42]。图3给出了丰中子原子核132Sn的跃迁强度分布,分别由RPA模型和RPA+PVC模型计算给出。实验数据由(p, n)反应测得[43]。RPA模型给出的分立共振峰位于
$E \!\!=\!\! 15.1$ MeV,略高于实验测得的峰值位置E=14.2 MeV。包含粒子振动耦合效应之后,共振峰的位置下降了1.4 MeV,并获得了约3.2 MeV的展宽,与实验值相比,得到了较好的符合。与208Pb类似,理论计算也在低能量区域$E\sim 5$ MeV给出了实验上没有观测到的跃迁。RPA+PVC移动了约7%的跃迁强度到$E\! =\! 25$ MeV之上,然而,实验观测到的强度仍然为RPA+PVC结果的57%。图 3 (在线彩图)原子核132Sn的跃迁强度分布,分别由RPA模型(B(GT–)/无量纲)和RPA+PVC模型(S(GT–)/MeV–1)计算给出,并与实验值[43]进行比较
图4给出了不稳定原子核56Ni的跃迁强度分布,分别由RPA模型和RPA+PVC模型计算给出。实验数据仍由(p, n)反应测得[44],由于前面提到的quenching效应,图中把实验测得的跃迁强度乘以3倍与理论结果进行比较。RPA模型在E=20.3 MeV处得到了单一的共振峰,而实验上则观测到了具有明显劈裂的双峰结构,每个峰的宽度约为2 MeV。RPA+PVC模型则可以重现实验上的双峰结构,两个峰的宽度分别为1.5和1.0 MeV,不过,两个峰值的相对强度与实验仍存在差别。
RPA+PVC模型对稳定原子核与不稳定原子核的GT跃迁给出了成功的描述,接下来,将它应用到β衰变寿命的研究[45]。图5给出了原子核132Sn、68Ni、34Si和78Ni的β衰变寿命。RPA模型和RPA+PVC模型计算的结果与实验值进行了比较。RPA模型对四个原子核的β衰变寿命普遍高估,对于132Sn,甚至给出了无穷长的寿命,即RPA预言它为稳定原子核。考虑粒子振动耦合效应后,寿命普遍减短,极大地改进了与实验的符合。这是由于在考虑粒子振动耦合效应后,GT跃迁的能量降低,相应的,相空间因子急剧增大,从而导致了寿命的减小。
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RPA+PVC模型仅限于幻数原子核的研究,为了描述开壳原子核,需要考虑对关联效应,因此,进一步发展了QRPA+QPVC模型[47]。基于Skyrme Hartree-Fock Bogoliubov(HFB) 模型,得到准粒子的能量和波函数。为了计算简便,进一步将准粒子基转换为正则基,在正则基上进行QRPA+QPVC计算。采用零程的密度依赖表面对力描述对关联,包括同位旋矢量对关联
$V_{T = 1}$ 和同位旋标量对关联$V_{T = 0}$ 。对力的具体形式如下:$$ V_{T = 1} ({{r}}_1, {{r}}_2) = V_0 \frac{1-P_\sigma}{2} \left(1- \frac{\rho({{r}})}{\rho_0}\right) \delta({{r}}_1- {{r}}_2), $$ (12) $$ V_{T = 0} ({{r}}_1, {{r}}_2) = f V_0 \frac{1+P_\sigma}{2} \left(1 - \frac{\rho({{r}})}{\rho_0}\right) \delta({{r}}_1- {{r}}_2), $$ (13) 其中:
${{r}}\!=\! ({{r}}_1+{{r}}_2)/2$ ;$\rho({{r}})$ 为核子密度分布;$\rho_0 =$ 0.16 fm–3;$P_\sigma$ 是自旋交换算符。同位旋矢量对关联强度$V_0$ 可以通过对能隙确定,而同位旋标量对关联强度还无法直接确定,因此,在$V_0$ 前面乘以系数$f$ 来衡量和同位旋矢量对关联强度的相对大小。QRPA+QPVC方程与RPA+PVC方程形式一样,其中,展宽矩阵元
$W^\downarrow _{aba'b'}$ 的表达式为$$ \begin{split} W^{\downarrow J}_{1ab,a'b'} =& \delta_{bb'}\delta_{j_a j_{a'}} \frac{ 1 }{\hat{j}_a^2} \times \\ & \sum\limits_{a'',nL} \frac{\langle a || V || a'',nL \rangle \langle a' || V || a'',nL \rangle} {E-[\omega_{nL}+E_{a''}+E_b \pm (\lambda_{\rm{n}} - \lambda_{\rm{p}})]+{\rm i}\Delta} ,\\ W^{\downarrow J}_{2ab,a'b'} =& \delta_{ a {a'}} \delta_{j_b j_{b'}}\frac{1 }{\hat{j}_b ^2}\times \\ & \sum\limits_{b'',nL} \frac{\langle b || V || b'',nL \rangle \langle b' || V || b'',nL \rangle } {E-[\omega_{nL}+E_{b''}+E_a \pm (\lambda_{\rm{n}} - \lambda_{\rm{p}})]+{\rm i}\Delta} ,\\ W^{\downarrow J}_{3ab,a'b'} =& (-)^{ j_{a}+j_{b}+J} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j_a}\;\;{j_b}\;\;J}\\ {{j_{b'}}\;\;{j_{a'}}\;\;L} \end{array}} \right\} \times \\ & \sum\limits_{nL} \frac{\langle a' || V || a, nL \rangle \langle b || V || b',nL \rangle }{E-[\omega_{nL}+E_{a}+E_{b'}\pm (\lambda_{\rm{n}} - \lambda_{\rm{p}})]+{\rm i}\Delta} , \\ W^{\downarrow J}_{4ab,a'b'} =& (-)^{ j_{a'}+j_{b'}+J } \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{j_{a'}}\;\;{j_{b'}}\;\;J}\\ {{j_b}\;\;{j_a}\;\;L} \end{array}} \right\} \times\\ & \sum\limits_{nL} \frac{\langle a || V || a',nL \rangle \langle b' || V || b , nL \rangle}{E-[\omega_{nL}+E_{a'}+E_{b}\pm (\lambda_{\rm{n}} - \lambda_{\rm{p}})]+{\rm i}\Delta}, \end{split}$$ (14) 不同的是,粒子空穴组态变为了两准粒子组态
$ab$ ,因此,$E_a$ 是BCS准粒子能量,而$\lambda_{\rm{n}}$ 和$\lambda_{\rm{p}}$ 是中子和质子的化学势。$\omega_{nL}$ 仍是$| nL \rangle$ 态声子的能量,$j$ 为准粒子角动量,L为声子角动量,$J$ 为激发态角动量。$\langle a || V || a',nL \rangle$ 为约化的QPVC顶角矩阵元[47],Δ是避免发散引入的小量。更详细的公式见文献[47]。图6(a)给出了原子核120Sn的GT跃迁强度分布,分别由QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值进行比较[48]。文献[48]给出了(p, n)反应零度的微分散射截面
$\sigma(0^o)$ 以及单位截面$\hat{\sigma} \!=\! (2.78\pm 0.16)$ mb/sr,则根据公式$\sigma (0^o) \!=\! \hat{\sigma} F(q,\omega) B({\rm{GT}})$ 可提取出跃迁强度$B({\rm{GT}})$ ,其中假设了动能修正因子$ F(q,\omega) \simeq 1$ 。包含QPVC效应之后,GT共振强度分布获得了约5.3 MeV的展宽,较好地重现了实验的跃迁强度分布;在低能量区域,改进了QRPA模型对实验跃迁强度分布的描述,然而,仍高估了实验值。相应地,将跃迁强度的跑动求和画在图6(b)。至$E\! =\! 25$ MeV,QRPA模型给出的GT跃迁强度接近100%的求和规则;考虑QPVC效应后,10%求和规则的跃迁强度移到了$E \!=\! 25$ MeV以上,然而,仍高估了实验值。在$E \!=\! 25$ MeV,实验给出的跃迁强度约为QRPA+QPVC模型的75%。这与RPA+PVC结果类似。图 6 (在线彩图)原子核120Sn的GT跃迁强度分布(a)和跃迁强度的跑动求和(b),分别由QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值[48]进行比较
图7展示了QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算的Ni同位素链的β衰变寿命。其中,在QRPA模型中,同位旋标量对关联强度的取值为
$f\! =\! 1.0$ ,在QRPA+QPVC模型中,同位旋标量对关联强度的取值为$f \!=\! 0, 1.0, 1.2$ 。与实验值相比,QRPA模型给出的寿命远高于实验值。考虑QPVC效应后,寿命得到系统的降低,达到与实验值相符的水平。通过取不同的同位旋标量对关联强度,可以看到Ni同位素链的β衰变寿命对同位旋标量对关联不敏感,尤其是在$N \!=\! 50$ 之前。因此,对于Ni同位素链,主要是QPVC效应降低了β衰变寿命,从而改进了与实验值的符合。图8展示了QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算的Sn同位素链的β衰变寿命。其中,在QRPA模型中,同位旋标量对关联强度的取值为
$f \!=\! 1.0$ 和1.4;在QRPA+QPVC模型中,同位旋标量对关联强度的取值为$f \!=\! 1.4$ 。对于Sn同位素链,β衰变寿命对同位旋标量对关联十分敏感,在QRPA计算结果中,当对关联强度$f$ 从1.0到1.4时,衰变寿命有了大幅下降,然而,仍高估实验值。当进一步考虑QPVC效应后,衰变寿命进一步下降,最终达到与实验相符的水平。因此,与Ni同位素链不同,对于Sn同位素链,同位旋标量对关联和QPVC效应一起有效地降低了β衰变寿命。原因是同位旋标量对关联对于闭壳之后的原子核影响大,而对于闭壳之前的原子核影响小。图7考虑的Ni同位素链,大部分位于$N \!=\! 50$ 闭壳之前,而图8考虑的Sn同位素链,大部分位于$N \!=\! 82$ 闭壳之后。
Beyond Mean-field Description of Nuclear Gamow-Teller Resonance and β-decay Half-lives
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摘要: 原子核的β衰变是决定宇宙中从铁到铀重元素合成的关键核过程之一。原子核β衰变的主导核跃迁是Gamow-Teller(GT)跃迁,因此,研究原子核β衰变寿命的关键是准确描述原子核的GT跃迁。描述原子核GT跃迁和β衰变寿命最常用的理论模型之一为无规相位近似(RPA)模型。然而,由于该模型仅考虑了一粒子一空穴激发组态,因此无法给出GT共振宽度,并容易高估β衰变寿命。为了克服上述困难,基于Skyrme密度泛函,发展了包含粒子振动耦合效应的无规相位近似(RPA+PVC)模型。相比于RPA模型,该模型在组态空间进一步考虑了一粒子一空穴和声子的耦合组态,从而包含了超越平均场的多体关联效应。为了推广至开壳原子核的研究,进一步考虑了对关联效应,发展了包含准粒子振动耦合效应的准粒子无规相位近似(QRPA+QPVC)模型。基于上述模型,研究了幻数原子核和超流原子核的GT跃迁、β衰变和β+/电子俘获。研究发现,采用同一组Skyrme相互作用参数SkM*,上述模型能够重现实验测量的GT共振宽度和跃迁强度分布,部分解释实验观测的GT跃迁强度压低问题,并同时改进对β衰变寿命的描述。该文针对上述最新研究进展进行了综述,并对将来的发展方向给出展望。
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关键词:
- Gamow-Teller共振 /
- β衰变 /
- 展宽宽度 /
- 无规相位近似 /
- 粒子振动耦合
Abstract: Nuclear β decay is one of the key nuclear processes that determine how the heavy elements from Fe to U in the universe were made. The dominant nuclear process in β-decay is the Gamow-Teller(GT) transition, so the key point for nuclear β-decay study is to describe nuclear GT transition accurately. One of the most widely used nuclear model is random phase approximation (RPA). However, since it only includes one-particle one-hole excitation configurations, this model cannot describe spreading width of GT resonance, and tends to overestimate the β-decay half-lives. To overcome these difficulties, based on Skyrme density functional, the random phase approximation with particle vibration coupling (RPA+PVC) model was developed. Compared to RPA model, it further includes the one-particle one-hole coupled with phonons in its configuration space, which includes many-body correlations beyond mean field approximation. To extend the study to open shell nuclei, the quasiparticle random phase approximation with quasiparticle vibration coupling model (QRPA+QPVC), which includes pairing correlations, was developed. Based on the above models, the GT excitation, β decay, β+/EC of magic nuclei and superfluid nuclei were studied. It is found that with the same Skyrme interaction SkM*, the experimental GT width and transition strength profile were well reproduced, the quenching phenomenon was partly explained, and the description of β-decay half-lives were improved at the same time. The recent progress of this study is reviewed, and in the meantime the perspectives for future developments are given. -
图 1 矩阵元
$ W^{\downarrow}_{ph,p'h'}$ 的费曼图表示,相应的解析表达式见公式(10)。图取自文献[37]图 2 (在线彩图)原子核208Pb的跃迁强度分布,分别由RPA模型(B(GT–)/无量纲)和RPA+PVC模型(S(GT–)/MeV–1)计算给出,并与实验值[39]进行比较
图 3 (在线彩图)原子核132Sn的跃迁强度分布,分别由RPA模型(B(GT–)/无量纲)和RPA+PVC模型(S(GT–)/MeV–1)计算给出,并与实验值[43]进行比较
图 6 (在线彩图)原子核120Sn的GT跃迁强度分布(a)和跃迁强度的跑动求和(b),分别由QRPA模型和QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值[48]进行比较
图 9 (在线彩图)Sn同位素链的
$ {\rm{\beta}}^+$ /电子俘获寿命,分别由QRPA和QRPA+QPVC模型计算给出,并与实验值[46]进行比较(模型计算中同位旋标量对关联强度$ f \!=\! 1.0$ ) -
[1] HASELTIN E. Discover, 2002, 23: 37. [2] QIAN Y Z. Prog Part Nucl Phys, 2003, 50: 153. doi: 10.1016/S0146-6410(02)00178-3 [3] ARCAVI I, HOSSEINZADEH G, HOWELL D, et al. Nature, 2017, 551: 64. doi: 10.1038/nature24291 [4] GOLDSTEIN A, VERES P, BURNS E, et al. Astroph J Lett,, 2017, 848: L14. doi: 10.3847/2041-8213/aa8f41 [5] ARNOULD M, GORIELY S, TAKAHASHI K. Phys Rep, 2007, 450: 97. doi: 10.1016/j.physrep.2007.06.002 [6] MUMPOWER M R, SURMAN R, MCLAUGHLIN G C, et al. Prog Part Nucl Phys, 2016, 86: 86. doi: 10.1016/j.ppnp.2015.09.001 [7] HOSMER P T, SCHATZ H, APRAHAMIAN A, et al. Phys Rev Lett, 2005, 94: 112501. doi: 10.1103/PhysRevLett.94.112501 [8] XU Z Y, NISHIMURA S, LORUSSO G, et al. Phys Rev Lett, 2014, 113: 032505. doi: 10.1103/PhysRevLett.113.032505 [9] MADURGA M, SURMAN R, BORZOV I N, et al. Phys Rev Lett, 2012, 109: 112501. doi: 10.1103/PhysRevLett.109.112501 [10] NISHIMURA S, LI Z, WATANABE H, et al. Phys Rev Lett, 2011, 106: 052502. doi: 10.1103/PhysRevLett.106.052502 [11] LORUSSO G, NISHIMURA S, XU Z Y, et al. Phys Rev Lett, 2015, 114: 192501. doi: 10.1103/PhysRevLett.114.192501 [12] WU J, NISHIMURA S, LORUSSO G, et al. Phys Rev Lett, 2017, 118: 072701. doi: 10.1103/PhysRevLett.118.072701 [13] MORALES A I, BENZONI G, GOTTARDO A, et al. Phys Rev C, 2014, 89: 014324. doi: 10.1103/PhysRevC.89.014324 [14] CABALLERO-FOLCH R, DOMINGO-PARDO C, AGRAMUNT J, et al. Phys Rev Lett, 2016, 117: 012501. doi: 10.1103/PhysRevLett.117.012501 [15] OSTERFELD F. Rev Mod Phys, 1992, 64: 491. doi: 10.1103/RevModPhys.64.491 [16] BARRETT B R. NAVÁTIL P, VARY J P. Prog Part Nucl Phys, 2013, 69: 131. doi: 10.1016/j.ppnp.2012.10.003 [17] LANGANKE K, KOLBE E, DEAN D. Phys Rev C, 2001, 63: 032801. doi: 10.1103/PhysRevC.63.032801 [18] SUZUKI T, YOSHIDA T, KAJINO T, et al. Phys Rev C, 2012, 85: 015802. doi: 10.1103/PhysRevC.85.015802 [19] ZHI Q, CAURIER E, CUENCA-GARCIA J J, et al. Phys Rev C, 2013, 87: 025803. doi: 10.1103/PhysRevC.87.025803 [20] MÖLLER P, NIX J R, KRATZ K L. Atom Data Nucl Data Tables, 1997, 66: 131. doi: 10.1006/adnd.1997.0746 [21] MÖLLER P, PFEIFFER B, KRATZ K. Phys Rev C, 2003, 67: 055802. doi: 10.1103/PhysRevC.67.055802 [22] MARKETIN T, HUTHER L, MARTÍNEZ-PINEDO G. Phys Rev C, 2016, 93: 025805. doi: 10.1103/PhysRevC.93.025805 [23] NIU Z M, NIU Y F, LIANG H Z, et al. Phys Lett B, 2013, 723: 172. doi: 10.1016/j.physletb.2013.04.048 [24] ENGEL J, BENDER M, DOBACZEWSKI J, et al. Phys Rev C, 1999, 60: 014302. doi: 10.1103/PhysRevC.60.014302 [25] NI D D, REN Z Z. Phys Rev C, 2014, 89: 064320. doi: 10.1103/PhysRevC.89.064320 [26] SARRIGUREN P. Phys Rev C, 2017, 95: 014304. doi: 10.1103/PhysRevC.95.014304 [27] YOSHIDA K. Prog Theor Exp Phys, 2013, 113: D02. doi: 10.1093/ptep/ptt091 [28] MUSTONEN M T, ENGEL J. Phys Rev C, 2016, 93: 014304. doi: 10.1103/PhysRevC.93.014304 [29] MARTINI M, PÉRU S, GORIELY S. Phys Rev C, 2014, 89: 044306. doi: 10.1103/PhysRevC.89.044306 [30] NIKŠIĆ T, MARKETIN T, VRETENAR D, et al. Phys Rev C, 2005, 71: 014308. doi: 10.1103/PhysRevC.71.014308 [31] MINATO F, BAI C L. Phys Rev Lett, 2013, 110: 122501. doi: 10.1103/PhysRevLett.110.122501 [32] DROŻdŻ S, NISHIZAKI S, SPETH J, et al. Phys Rep, 1990, 197: 1. doi: 10.1016/0370-1573(90)90084-F [33] GAMBACURTA D, GRASSO M, CATARA F. Phys Rev C, 2011, 84: 034301. doi: 10.1103/PhysRevC.84.034301 [34] LITVINOVA E, BROWN B A, FANG D L, et al. Phys Lett B, 2014, 730: 307. doi: 10.1016/j.physletb.2014.02.001 [35] ROBIN C, LITVINOA E. Phys Rev C, 2018, 98: 051301. doi: 10.1103/PhysRevC.98.051301 [36] ROBIN C, LITVINOVA E. Eur Phys J A, 2016, 52: 205. doi: 10.1140/epja/i2016-16205-0 [37] NIU Y F, COLÒ G, BRENNA M, et al. Phys Rev C, 2012, 85: 034314. doi: 10.1103/PhysRevC.85.034314 [38] BARTEL J, QUENTIN P, BRACK M, et al. Nucl Phys A, 1982, 386: 79. doi: 10.1016/0375-9474(82)90403-1 [39] WAKASA T, OKAMOTO M, DOZONO M, et al. Phys Rev C, 2012, 85: 064606. doi: 10.1103/PhysRevC.85.064606 [40] BAI C L, SAGAWA H, ZHANG H Q, et al. Phys Lett B, 2009, 675: 28. doi: 10.1016/j.physletb.2009.03.077 [41] BROWN B A, WILDENTHAL B H. Nucl Phys A, 1987, 474: 290. doi: 10.1016/0375-9474(87)90619-1 [42] NIU Y F, COLÒ G, VIGEZZI E. Phys Rev C, 2014, 90: 054328. doi: 10.1103/PhysRevC.90.054328 [43] YASUDA J, SASANO M, ZEGERS R G T, et al. Phys Rev Lett, 2018, 121: 132501. doi: 10.1103/PhysRevLett.121.132501 [44] SASANO M, PERDIKAKIS G, ZEGERS R G T, et al. Phys Rev Lett, 2011, 107: 202501. doi: 10.1103/PhysRevLett.107.202501 [45] NIU Y F, NIU Z M, COLÒ G, et al. Phys Rev Lett, 2015, 114: 142501. doi: 10.1103/PhysRevLett.114.142501 [46] AUDI G, KONDEV F G, WANG M, et al. Chin Phys C, 2017, 41: 030001. doi: 10.1088/1674-1137/41/3/030001 [47] NIU Y F, NIU Z M, COLÒ, et al. Phys Lett B, 2018, 780: 325. doi: 10.1016/j.physletb.2018.02.061 [48] SASANO M, SAKAI H, YAKO K, et al. Phys Rev C, 2009, 79: 024602. doi: 10.1103/PhysRevC.79.024602