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Volume 37 Issue 3
Sep.  2020
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Kaiyu FU, Hengfei ZHAO, Jiangshan LAN, Xingbo ZHAO. A Study of the Kaon from the Basis Light-Front Quantization Approach[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 470-477. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC31
Citation: Kaiyu FU, Hengfei ZHAO, Jiangshan LAN, Xingbo ZHAO. A Study of the Kaon from the Basis Light-Front Quantization Approach[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 470-477. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC31

A Study of the Kaon from the Basis Light-Front Quantization Approach

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC31
Funds:  National Natural Science Foundation of China (11850410436); New Faculty Startup Funding by Institute of Modern Physics, Chinese Academy of Sciences(ZDBS-LY-7020); Strategic Priority Research Program of Chinese Academy of Sciences(XDB34000000)
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  • Corresponding author: E-mail: jiangshanlan@impcas.ac.cn.
  • Received Date: 2020-07-17
  • Rev Recd Date: 2020-08-14
  • Available Online: 2020-09-30
  • Publish Date: 2020-09-20
  • We study the properties of the kaon through the light-front wave function(LFWF) obtained from the Basis Light-front Quantization(BLFQ) approach. Our Hamiltonian contains the kinetic energy terms, a transverse confining potential motivated by the light-front holographic quantum chromodynamics(LFHQCD) model, a complementary longitudinal confining potential, and the quark-gluon interactions based on quantum chromodynamics (QCD). Our basis space includes the lowest two Fock sectors. Based on the previous work, we tune the only additional strange quark mass parameter to match the resulting kaon mass with the experimental data. Based on the obtained leading Fock sector LFWF, we calculate the parton distribution amplitude(PDA) of the kaon which is in reasonable agreement with the one calculated from perturbative QCD in the massless quark limit. The obtained kaon form factor (FF) agrees with results from the Super Proton Synchrotron(SPS) experiment at the European Organization for Nuclear Research (CERN) and the Fermi National Accelerator Laboratory(FNAL) experiment. The electromagnetic radius (at the leading order Fock sector) is comparable to the one from the particle data group(PDG). In addition, the kaon parton distribution function(PDF), after QCD evolution, can be used to calculate the ratio of the kaon up quark PDF to that of the pion whose trend qualitatively agrees with that of the CERN-NA-003 experimental data. The obtained kaon PDF shows that the ratio between longitudinal momentum fractions of valence quarks, $ \langle x_{uv}\rangle/\langle x_{sv}\rangle $, is around 2/3, which agrees with results from the Bethe-Salpeter equation(BSE) model and the lattice QCD calculation in the Michigan State University(MSULat). We also calculate the structure function of the kaon which shows disagreement with the one from BLFQ-NJL calculation. This disagreement would be investigated in the future Electron-Ion Collider experiment(EIC).
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A Study of the Kaon from the Basis Light-Front Quantization Approach

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC31
Funds:  National Natural Science Foundation of China (11850410436); New Faculty Startup Funding by Institute of Modern Physics, Chinese Academy of Sciences(ZDBS-LY-7020); Strategic Priority Research Program of Chinese Academy of Sciences(XDB34000000)

Abstract: We study the properties of the kaon through the light-front wave function(LFWF) obtained from the Basis Light-front Quantization(BLFQ) approach. Our Hamiltonian contains the kinetic energy terms, a transverse confining potential motivated by the light-front holographic quantum chromodynamics(LFHQCD) model, a complementary longitudinal confining potential, and the quark-gluon interactions based on quantum chromodynamics (QCD). Our basis space includes the lowest two Fock sectors. Based on the previous work, we tune the only additional strange quark mass parameter to match the resulting kaon mass with the experimental data. Based on the obtained leading Fock sector LFWF, we calculate the parton distribution amplitude(PDA) of the kaon which is in reasonable agreement with the one calculated from perturbative QCD in the massless quark limit. The obtained kaon form factor (FF) agrees with results from the Super Proton Synchrotron(SPS) experiment at the European Organization for Nuclear Research (CERN) and the Fermi National Accelerator Laboratory(FNAL) experiment. The electromagnetic radius (at the leading order Fock sector) is comparable to the one from the particle data group(PDG). In addition, the kaon parton distribution function(PDF), after QCD evolution, can be used to calculate the ratio of the kaon up quark PDF to that of the pion whose trend qualitatively agrees with that of the CERN-NA-003 experimental data. The obtained kaon PDF shows that the ratio between longitudinal momentum fractions of valence quarks, $ \langle x_{uv}\rangle/\langle x_{sv}\rangle $, is around 2/3, which agrees with results from the Bethe-Salpeter equation(BSE) model and the lattice QCD calculation in the Michigan State University(MSULat). We also calculate the structure function of the kaon which shows disagreement with the one from BLFQ-NJL calculation. This disagreement would be investigated in the future Electron-Ion Collider experiment(EIC).

Kaiyu FU, Hengfei ZHAO, Jiangshan LAN, Xingbo ZHAO. A Study of the Kaon from the Basis Light-Front Quantization Approach[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 470-477. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC31
Citation: Kaiyu FU, Hengfei ZHAO, Jiangshan LAN, Xingbo ZHAO. A Study of the Kaon from the Basis Light-Front Quantization Approach[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 470-477. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC31
    • K+介子是含有奇异夸克的介子系统中质量最轻的,可以在粒子物理实验中大量产生,是人们认识电荷共轭宇称不守恒(CPV)的重要媒介[1-3]。与$ \pi $介子相似,组分夸克模型认为K+介子的组成部分包括一个上夸克u以及一个反奇异夸克$ \bar{s} $。实际上,K+介子是由价夸克、海夸克以及胶子共同组成的,这些组分(夸克和胶子)称为部分子。部分子携带强子纵向动量分数x的概率分布函数称为PDF。它描述了强子的内部结构。通过计算强子的PDF来研究其内部结构在国际上已有广泛应用 [4-25]。然而,由于测量K+介子的实验数据很少,目前只测出了K+介子中的价夸克(上夸克)u的分布与$ \pi $介子中的价夸克u的分布之比,且误差较大[7]。对于K+介子中的两个价夸克,u$ \bar{s} $,携带的动量差的定量描述仍不清楚,因此对K+介子的研究意义重大。在国际上,目前已经有BSE模型[19]、MSULat模型[26]、手征组分夸克模型[8]和BLFQ-NJL 模型[25]来计算K+介子的PDF。这些模型之间的显著差别在于奇异夸克携带动量的大小,BSE模型以及MSULat模型支持奇异夸克携带的动量多,而手征组分夸克模型和BLFQ-NJL模型中奇异夸克携带的动量相对前两个模型较少。

      值得一提的是,在之前的BLFQ-NJL模型计算中,我们采用BLFQ方法,使用包含Nambu-Jona-Lasinio(NJL)有效相互作用的光前哈密顿量,计算出了K+介子领头阶Fock空间的LFWF,并以此计算了K+介子的初始PDF,借助QCD演化,得到了在实验能标下的PDF[24-25]。在本工作中,我们使用了最低的两个Fock空间,并将NJL有效相互作用换为更基本的夸克胶子相互作用,对K+介子进行研究(以下简称K介子)。BLFQ方法[27-30]结合了光前动力学[31]以及哈密顿理论框架的优势,旨在非微扰地求解量子场论多体系统。本方法已经成功地求解了 电子系统[28,32]、介子系统[24-25,33-40] 和重子系统[41-43]。其中,BLFQ-NJL工作[24-25]是第一个通过光前哈密顿量方法计算轻介子PDF的工作。本文结构安排如下:在第二节中简要介绍BLFQ方法;在第三节中,将展示计算出的K介子PDA及衰变常数(DC);在第四节中,将计算出的K介子的电磁FF以及电磁半径与实验值做对比;在第五节中,展示计算出的K介子的PDF;最后是总结和展望。

    • 我们利用BLFQ方法,通过对角化光前哈密顿量矩阵得到K介子的LFWF。BLFQ方法在上一工作中(通过基矢光前量子化方法对$ \pi $介子的研究[38])已详细介绍,本文不再赘述。对于K介子,我们截断到次领头阶Fock空间,即$ \vert K^+\rangle = a \vert u\bar{s}\rangle +b\vert u\bar{s}g\rangle $。我们使用的光前哈密顿量$ P^- $由QCD哈密顿量$ P^-_{\rm QCD} $与唯象禁闭势$ P^-_{\rm C} $两部分构成:

      其中,QCD哈密顿量为[44]

      唯象禁闭势为[33]

      这里,QCD哈密顿量中的头两项分别对应为夸克以及胶子的动能项,后两项分别为矢量顶点相互作用以及瞬时胶子交换相互作用,下标$ f,g = u,\bar{s} $是对味道求和,$ m_{ f} $是味道为$ f $的夸克的裸质量,$ x^{\perp} $$ x^- $为横向坐标和纵向坐标,$ \gamma^+ = \gamma^0+\gamma^3 $[28]$ T^a $$ {\rm SU(3)} $规范群的八个伴随矩阵,$ g $为强相互作用常数,$ \Psi $是夸克场,$ A $是胶子场。唯象禁闭势中的第一项是横向禁闭势,$ \kappa_T $是横向禁闭势的强度,$ {\xi}_{\perp}\equiv \sqrt{x_1(1-x_1)}{r}_{\perp} $称为全息变量[44](其中$ {r}_{\perp} = {r}_{1\perp}- {r}_{2\perp} $是相对坐标,$ {r}_1 $$ {r}_2 $为正反夸克的单粒子坐标),第二项是纵向禁闭势,$ \kappa_L $是纵向禁闭势强度,本次计算中设成$ \kappa_T = \kappa_L = \kappa $$ m_{\rm u} $是上夸克质量参数,$ m_{\bar{\rm s}} $是反奇异夸克的质量参数。

      在Fock空间中,K介子的LFWF可表示为

      $ \Psi_{2}^{s_1 s_2}(p_1,p_2) $$ \Psi_{3}^{s_1s_2s_3}(p_1,p_2,p_3) $分别是K介子领头阶和次领头阶Fock空间的LFWF。约定$[{\rm d}^3p_i]\equiv \dfrac{{\rm d}x_{i}{\rm d}^2{p}_{i\perp}}{(2\pi)^3}$$ p_i\equiv (x_i,{p}_{i\perp}) $$ b^{\dagger} $$ {d}^{\dagger} $以及$ a^{\dagger} $分别是夸克、反夸克以及胶子的产生算符,$ |0\rangle $是Fock真空。

    • 强子的DC由从强子到真空的矩阵元计算出,公式是:

      这里,式(5)左边$ \Psi(0) $是在$ r = 0 $处的夸克场算符,$ f_{P} $是DC[45],它出现在$ K^+ \rightarrow \mu^+\; \nu $($ K^- \rightarrow \mu^-\; \bar{\nu} $)的弱衰变中。将式(5)用LFWF写出,得式(6)。这里$\Psi_{2}^{\uparrow\downarrow- \downarrow\uparrow} (p_1,p_2)\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\Big[\Psi_{2}^{\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}(p_1,p_2) -\Psi_{2}^{\frac{-1}{2}\frac{1}{2}}(p_1,p_2)\Big]$,是领头Fock空间LFWF的$ \uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow $自旋组分,色因子$ N_C = 3 $。根据DC的定义式(5),DC只与领头Fock空间LFWF的$ \uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow $自旋组分有关。

      在本工作中我们使禁闭势强度、强相互作用耦合常数、轻夸克质量、胶子质量、特征动量标度以及正规化参数等参数与上一工作[38]一致,通过调节奇异夸克质量使得K介子的质量与PDG上的值[46]匹配。

      在横向截断为$ N_{\rm max} = 8 $、纵向截断$ K = 9 $以及$ M_J = 0 $时,所采用的参数取值:$ m_{\bar{\rm s}} = 0.506\; {\rm GeV} $。其它参数与上一工作[38]一致:$ u $夸克质量取$ m_{\rm u} = 0.200\; {\rm GeV} $,禁闭势强度均为$ \kappa = 0.643\; {\rm GeV} $,强相互作用耦合常数$ g = 1.82 $,胶子质量$ m_{\rm g} = 0.01\; {\rm GeV} $,特征动量标度$ b = 0.4\; {\rm GeV} $,正规化参数$ b_{\rm inst} = 12.0\; {\rm GeV} $。采用这组输入参数得到的K介子的质量为 $ 493.7\; \mathrm{MeV} $,与PDG上K介子的质量$ 493.68\pm0.02\; \mathrm{MeV} $[46] 一致。此时,领头Fock空间所占的概率为$ N_{q\bar{q}} = 0.94 $$ N_ {q\bar{q}} $是由领头Fock空间的LFWF计算出的,公式为

      这里,$ p_1 $$ p_2 $是两个价夸克的动量,$ s_1 $$ s_2 $是两个价夸克的自旋,公式右边是对自旋求和。我们可以得到LFWF的所有自旋组分,这里我们列出领头Fock空间LFWF中各自旋组分占的比重,$ N_{q\bar{q}, \uparrow\uparrow} = 3.629\times 10^{-6} $$ N_{q\bar{q}, \downarrow\downarrow} = 1.643\times 10^{-6} $$ N_{q\bar{q}, \uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow} = 0.963 $$ N_{q\bar{q}, \uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow} = 0.037 $

      通过在式(6)中代入所得的K介子的领头Fock空间的LFWF,我们可以计算出K介子的DC为$ 230.4\; {\rm MeV} $,与PDG提供的数据$ 155.6\pm1.7\; {\rm MeV} $[46] 相比,有一定程度的偏差,这是因为DC只与领头Fock空间的LFWF有关。目前在所得LFWF中领头Fock空间所占概率为$ N_{q\bar{q}} = 0.94 $,比重较大。未来随着基矢空间的扩大(加入更大的$ N_{\rm max} $K),以及加入更高的Fock空间,预期会减小领头Fock空间所占比重,相应计算出的DC与实验数据的符合程度将会有所改善。

      因为在所得LFWF中领头Fock空间占主导地位$ (N_{q\bar{q}} = 0.94 $),所以在接下来可观测量的计算中,我们只使用领头Fock空间LFWF(包含所有自旋组分)。计算时我们使用$ N_{q\bar{q}} $对领头Fock空间LFWF重新进行归一。

      PDA的定义是

      这里,$ \Psi(z) $表示在$ z $处的夸克场算符,$ \phi_P (x) $是PDA,$ f_{P} $是DC,见式(5)。将式(8)以LFWF的形式重写为

      其中:$ N_{q\bar{q}} = 0.94 $ 为领头Fock空间所占概率,$ x $$ p_\perp $$ u $夸克的纵向动量分数和横向动量。约定$ [{\rm d}^2 p_\perp] = \dfrac{{\rm d}^2 p_{\perp}}{(2\pi)^2} $。色因子$ N_C = 3 $。数值计算结果如图1所示,蓝色方块对应的数值点是我们计算出的K介子PDA,紫色线是对数值结果的简单连线。在微扰QCD中,味道SU(3)对称性零夸克质量极限下给出K介子的PDA为$ 6x(1-x) $[45],如图中的黑色虚线所示。我们发现K介子的PDA的数值计算结果与经典的PDA 相近。这反映了所得K介子的LFWF的合理性。

    • 现在,我们研究K介子的电磁FF和电磁半径。K介子的电磁FF定义为[47]

      这里,$ J $为对应的总角动量,对于K介子$ J = 0 $$ P $$ P' $分别为对应K介子的初态和末态动量,而$ \Delta = P'- P $为四动量转移,$ Q^2 = -\Delta^2 $,其$ j^+(0) = \bar{\Psi}(0) \gamma^+ \Psi(0) $ 来自于矢量流$ j^{\mu}(0) $

      基于领头Fock空间的LFWF,$ \Psi^{s_1 s_2}_2(p_1,p_2) $,我们计算了电磁FF与电磁半径,它们的表达式分别为[47]

      其中,领头Fock空间所占的概率为$ N_{q\bar{q}} = 0.94 $,电磁半径与电磁FF在$ Q^2 = 0 $处的导数相关。我们直接通过式(11)数值计算得到K介子的FF随转移动量$ Q^2 $的分布,如图2所示。红色方块为CERN SPS 1986 年的实验数据[48],紫色三角为FNAL 1980年的实验数据[49],黑色实线为我们的数值计算结果。我们发现,在小$ Q^2 $区域,我们的结果和CERN SPS 1986年的实验结果[48] 以及FNAL 1980年的实验结果[49] 一致。我们也给出了$ Q^2\sim 1\; \mathrm {GeV^2} $区域的预言,从$ Q^2 $乘以FF 的图来看,在这个区域的值约为$ 0.5 \; \mathrm {GeV^2} $

      根据式(12),我们可以通过计算图2中FF在$ Q^2 $趋近于0处的导数,得到基于领头Fock空间的K介子的电磁半径。我们的计算结果$ \sqrt{\langle r^2_c \rangle} $$ 0.649 \; {\rm fm} $ 与PDG的结果$ 0.560\pm0.031 \; {\rm fm} $[46]相近。

      K介子的电磁FF以及电磁半径与实验数据以及PDG的结果相近,进一步地反映了所得的K介子LFWF的合理性。在这基础上,我们将通过该K介子的LFWF,研究K介子的PDF。

    • PDF是强子中发现一个携带纵向动量分数为$ x $的部分子(夸克或胶子)的概率密度分布。参考文献[33],我们可以得到基于领头Fock空间LFWF的PDF为

      其中,约定$[{\rm d}^2 {p}_{i \perp}] = \dfrac{{\rm d}^2{p}_{i \perp}}{(2\pi)^2}$。这里,我们使用K介子 领头Fock空间的LFWF,对横向动量积分,并对它的自旋部分求和,再用$ N_{q\bar{q}} $归一,即可得到基于领头Fock空间的初始PDF。因为所用LFWF是归一的,得到K介子的初始价夸克PDF $ f_{vu} $以及$ f_{v\bar{s}} $满足如下求和规则:

      这里$ f_s(x) $表示海夸克的PDF,$ f_g(x) $表示胶子的PDF,因为我们使用了归一化后的领头Fock区间的LFWF,所以这里$ f_s(x) = 0 $, $ f_g(x) = 0 $。未来考虑次领头阶Fock空间$ \vert u\bar{s}g\rangle $时,$ f_g(x)\ne 0 $。这说明基于领头Fock空间LFWF得到K的初始PDF是由两个价夸克组成,一个上夸克以及一个反奇异夸克,介子总纵向动量是这两个价夸克纵向动量之和。

      图3所示,蓝色方块为基于领头Fock空间的K介子中价夸克$ u $的初始PDF的数值结果,蓝色圆为基于领头Fock空间的K介子中价夸克$ \bar{s} $的初始PDF的数值结果,紫色线是对数值结果的简单连线;短虚线(长虚线)为BLFQ-NJL模型计算出K介子中价夸克$ u $(价夸克$ \bar{s} $)的初始PDF。目前我们的结果显示,价夸克中的上夸克的PDF在动量分数$ x $小于0.5的区域较大,在动量分数$ x $大于0.5的区域较小;而奇异夸克正好与之相反,奇异夸克的PDF主要分布在动量分数$ x $大于0.5的区域。相比于BLFQ-NJL模型的结果,在我们的结果中,上夸克携带更少的纵向动量,而奇异夸克携带更多的纵向动量。初始PDF中,上夸克和奇异夸克分别携带了K介子0.40和0.60的纵向动量,这与BSE模型[19]以及MSULat模型[26]的结果相符。

      为进一步研究K介子的PDF,下面我们将考虑PDF随能标的演化。

    • 为将我们的结果与实验做对比,我们需要将计算出的初始PDF演化到实验能标下。这个过程是通过QCD演化方程[50-52]来完成的。这里采用高阶微扰部分子演化包(HOPPET)[53]来数值求解该QCD演化方程,并用初始PDF作为输入将之演化,得到对应实验能标的PDF。

      与BLFQ-NJL工作[24]一样,我们需要选择一个起始能标$ \mu_0^2 $和次次领头阶(NNLO)的跑动耦合函数,将K介子基于领头Fock空间LFWF的初始PDF演化到实验能标$ \mu^2 = 20\; {\rm GeV^2} $。确定K介子起始能标$ \mu_0^2 $的步骤如下:首先,我们猜测一个可能的$ \mu_0^2 $的值,以此出发计算实验能标下K介子 与$ \pi $介子中价夸克$ u $的PDF之比,然后将该结果与实验数据[7]做对比,求$\chi^2/{\rm d.o.f.} = \frac{1}{N-f}\sum_{i}^{N}\left(\frac{F^{\rm data}_i-F^{\rm th}_i}{F^{\rm err}_i}\right)^2$,其中$ N $是实验数据中数据点的个数,$ F^{\rm data}_i $是第$ i $个实验数据的值,$ F^{\rm th}_i $是第$ i $个实验数据对应的理论值,而$ F^{\rm err}_i $是第$ i $个实验数据的值对应的误差,$ f $是理论模型的参数个数。通过调节起始能标$\mu_0^2 ,\;$使得$ \chi^2/{\rm d.o.f.} $最小。以此来确定K介子的起始能标。K介子的起始能标取$ \mu^2_0 = 0.36\;{\rm GeV^2} $时,$ \chi^2/ {\rm d.o.f.} $最小,最小值为15.72。这里,我们使用本工作中计算的K介子价夸克$ u $的PDF和上一工作中[38]计算的$ \pi $介子价夸克$ u $的PDF来计算比值,上一工作中[38]使用的$ \pi $介子的起始能标为$ 0.24\; {\rm GeV^2} $$ \pi $介子的起始能标的确定方式是通过调节起始能标使得实验能标下的$ \pi $介子中的$ u $夸克的第一平均动量$ \langle x\rangle $[定义见式(15)]匹配实验数据。这里,K介子的起始能标比$ \pi $介子的起始能标高。在夸克偶素系统[39]的工作中,我们也发现了类似的趋势,即含有更重的夸克的体系会有更高的起始能标。

      结果如图4所示,图4(a)为实验能标下K介子与$ \pi $介子中价夸克$ u $的PDF之比,紫色虚线是BSE模型[19]的计算结果,黑色长虚线是BLFQ-NJL模型[24]的结果,带误差棒的浅蓝色方块为CERN-NA-003的实验结果[7]。我们的结果与其他工作的结果存在一定差距,由于目前我们使用的模型过于简单,导致轻夸克的质量过轻($ 0.200 \;\rm GeV $)[24,41]。又由于我们计算K介子使用的参数与之前$ \pi $介子工作中使用的参数一致,只增加了一个奇异夸克质量作为唯一可调参数,导致奇异夸克质量较重($ 0.506\; \rm GeV $)。从而导致轻夸克和奇异夸克的质量差太大,使得K介子中价夸克$ u $的PDF相对于$ \pi $介子中的价夸克$ u $的PDF过窄,因此所得PDF比值与实验数据有一定偏差。随着未来我们考虑更真实的相互作用,更大的截断参数($ N_{\rm max} $K),以及加入更多的Fock空间,预期我们的结果与实验数据的符合程度将得到改善。图4(b)为实验能标下的价夸克PDF,蓝色实线和蓝色长虚线分别为本工作的反奇异夸克和上夸克的PDF;黑色点虚线和黑色短虚线分别为BLFQ-NJL模型对应K+介子的反奇异夸克和上夸克的PDF[25];红色细线为同能标下上一工作[38]计算出的$ \pi $介子的价夸克$ u $的PDF[25]。我们计算的结果显示K介子中两个价夸克的PDF差别较大,这与BSE模型[19]和MSULat模型[26]的结果一致。

      为描述K介子的PDF,我们计算了PDF的头三个平均动量(矩):

      其中下标$ i $为部分子指标,这里指K介子的价夸克,上夸克$ u_v $和反奇异夸克$ \bar{s}_v $。我们得到K介子在$ \mu^2 = 20\; {\rm GeV^2} $能标时,价夸克$ u_v $的头三个平均动量是$ \{0.219,\; 0.081,\; 0.037\} $,而$ \bar{s}_v $ 的头三个平均动量是$ \{0.329,\; 0.162,\; 0.094\} $。价夸克中上夸克和奇异夸克第一个平均动量的比值约为$ 2/3 $,比BLFQ-NJL模型[25]$ \sim 8/9 $”的结果小。

    • K介子寿命短,寿命在$ 10^{-8} \rm s $量级,实验上,获得K介子束流比获得质子电子等稳定带电粒子束流难得多。在文献[54-55]中,利用电子质子对撞中的中子产生过程,$ ep\rightarrow e^{'} Xn $,通过额外夸克模型(AQM)[54]、有效单$ \pi $介子交换通量模型(EF)[54]以及光锥表示模型[55]计算质子中的$ \pi $介子通量,从而得到$ \pi $ 介子的结构函数。类似地,基于介子云模型,质子有一定几率可以看成$ \Sigma^0 (\Lambda^0) $K+的组合。实验上可以利用电子质子对撞中的$ \Sigma^0 (\Lambda^0) $产生过程,$ ep\rightarrow e^{'} X\Sigma^0 (\Lambda^0) $,来得到K介子的结构函数,$ F_2(\beta,\mu^2) $,其中$ \beta = x_p/(1-X_L) $是K介子中部分子的纵向动量分数,$ x_p $是质子中部分子的动量分数,$ x_L $$ \Sigma^0 (\Lambda^0) $相对于质子的动量分数。

      这里我们利用上一节得到的PDF计算出了K介子的结构函数,我们希望将来实验上能测量出K介子的结构函数以检验我们的计算结果。领头阶结构函数的定义为

      其中,$ e^2_i $为夸克的电荷平方,取值为4/9或1/9,下标i代表夸克和反夸克的味道,这里对K介子中的所有夸克味道进行求和。

      图5展示了K介子的结构函数,黑色实线为本工作的计算结果,红色虚线为BLFQ-NJL模型对应的计算结果[25]

      图5显示,本工作的结果与BLFQ-NJL模型的计算结果[25]有显著差别。在$ \beta>0.1 $区域,介子的结构函数中价夸克的贡献占主导,这里的结构函数的差别主要来源于两模型计算出的K介子价夸克PDF的差别。在$ \beta<0.1 $区域,介子的结构函数中海夸克的贡献占主导,这里的差别主要来源于初始能标的不同。本工作和BLFQ-NJL工作中海夸克成分都是通过QCD动力学演化产生的。由于本工作选择的初始能标$ \mu^2_0 = 0.36\; {\rm GeV^2} $比BLFQ-NJL模型[25]的初始能标高一些,从而导致了两者计算的结构函数在小$ \beta $区域的差别。

      如果能在将来的电子离子对撞机上通过电子质子对撞测量K介子的结构函数,并获得一些大动量分数区域的数据结果,那将有助于我们认识K介子的PDF。值得一提的是,由中国科学院近代物理研究所牵头的合作组将在未来HIAF的基础上增加一条电子加速环以建成中国的电子离子对撞机(EicC)[56]。该EIC计划用$ 2.8\sim5 $ GeV电子束流和$ 15\sim20 $ GeV的质子束流进行对撞实验,K介子的结构函数未来将有望得到测量。

    • 借助BLFQ方法计算了K介子的LFWF以及一些常见可观测量,所用的基矢空间包括领头和次领头Fock空间 ($ |u\bar{s}\rangle $$ |u\bar{s}g\rangle $),哈密顿量包括动能项、横向与纵向禁闭势以及夸克-胶子相互作用。输入参数与上一工作[38]一致,仅引入了一个奇异夸克的质量作为唯一额外参数,使计算所得K介子的 质量与PDG上K介子的质量相匹配,便得到K介子的LFWF。通过所得LFWF计算,我们得到:(1) K介子的DC为230 MeV,与PDG上的数据$ 155.6\pm1.7 $ MeV[46]相比有一定差距,未来在加入更大的$ N_{\rm max} $K时预期符合程度会有所改善;(2) K介子基于领头Fock空间的PDA与微扰QCD预言的PDA接近;(3) K介子基于领头Fock空间的电磁FF与已有的实验数据[48-49]相符;(4) K介子基于领头Fock空间的电磁半径$ 0.649 $ fm与PDG上的数据$ 0.560\pm 0.031 $ fm[46]相接近。最后,计算了K介子的PDF,计算结果显示两个价夸克,$ u $$ \bar{s} $的PDF差别较大,这与其它模型[19,26]的结果相符。同时,计算出的实验能标下K介子和$ \pi $介子中价夸克u的PDF之比与CERN-NA-003的实验数据[7] 在整体趋势上大体相符。我们也给出了K介子的结构函数以及BLFQ-NJL模型的K介子的结构函数,发现两结构函数有显著差异。

      未来希望通过采用更真实的相互作用,扩大基矢空间,并在可观测量的计算 中包括$ \vert u\bar{s}g\rangle $Fock空间波函数的贡献,以期得到对轻介子系统内部结构更准确的描述。除此之外,希望未来我们的结果能在EicC[56]上得到检验。

      致谢 感谢王荣副研究员、高翔博士和徐思琦博士提供的启发性建议,感谢甘肃省超算中心提供的计算资源。

Reference (56)

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