-
原子核β衰变半衰期可利用下式计算得到:
$$ \begin{array}{l} T_{1/2} = \dfrac{2\pi ^{3}{\rm{ln}}2 }{g^{2}}\dfrac{1}{\sum_{0<E_{{\rm{ f}}}<Q_{{{\rm{\beta }}}}}f(Z,R,E_{0}) B(J^{\pi},E_{\mathrm{ f}})}, \end{array} $$ (1) 其中
$ g $ 是弱相互作用耦合常数,满足$2\pi ^{3}\ln 2/g^{2} =$ 4143 s[17]。$ E_0 $ 和$ E_{\rm f} $ 分别是β粒子最大能量和子核的激发能,满足能量关系$E_0 = Q_{{{{\beta }}}} -E_{\rm f}$ 。$Q_{{{\beta }}}$ 是β衰变能,$ f(Z, R, E_{0}) $ 是费米积分函数[27]$$ \begin{array}{l} f(Z, R, E_{0}) = \int\nolimits_{1}^{E_{0}} \mathrm{d} E (E_{0}-E)^{2} E \sqrt{E^{2}-1} F(Z, R, E), \end{array} $$ (2) 其中:
$ E $ 是β粒子的总能量;$ Z $ 和$ R $ 是质子数和子核半径;$ F(Z,\,R,\,E) $ 是描述β粒子和余核之间库仑相互作用的费米函数[28-29]。$ B(J^{\pi}, E_{\rm f}) $ 表示β衰变约化跃迁矩阵元,也叫β衰变强度函数。$ J^{\pi} $ 表示母核的自旋宇称。在本文中,我们利用pn-QRPA模型计算原子核β衰变的约化跃迁矩阵元。pn-QRPA模型的哈密顿量、模型参数和约化跃迁矩阵元计算细节详见文献[30]。本文的工作主要集中在pn-QRPA模型中粒子-粒子和粒子-空穴相互作用的选取上。
根据文献[31-33],对于容许GT跃迁,pn-QRPA模型如果选
$ \delta $ 形式的相互作用,那模型的计算结果主要取决于两个相互作用强度参数,$ g_{\rm{ph}} $ =$ -( g_{0}^{\rm{ph}}+g_{1}^{\rm{ph}} )/(4\pi) $ 和$ g_{\rm{pp}} $ =$ -g^{\rm{pp}}_{1}/(4\pi) $ 。这里$ g^{\rm{ph}}_{0} $ 和$ g^{\rm{ph}}_{1} $ 是分别是$(S, T) = $ $ (1, 0)$ 和$ (0, 1) $ 通道上的粒子-空穴相互作用强度,$ g^{\rm{pp}}_{1} $ 是$(S, T) = (1, 0)$ 通道上的粒子-粒子相互作用强度。为了后续计算方便,在本文中粒子-空穴、粒子-粒子相互作用强度的表达式与文献[30]中式(13)、(14)略有不同,在$ g_{\rm{ph}} $ 和$ g_{\rm{pp}} $ 定义中引入系数$ -{1}/{(4\pi)} $ 。$ g_{\rm{ph}} $ 和$ g_{\rm{pp}} $ 的数值选取对准确计算原子核β衰变半衰期至关重要。为了准确描述r-过程等待点核素的β衰变半衰期,我们对$ g_{\rm{ph}} $ 和$ g_{\rm{pp}} $ 进行了拟合。以 130Cd 为例。图1(a)清楚地表明,130Cd的β衰变半衰期理论值对 粒子-空穴相互作用强度$ g_{\rm{ph}} $ 有较强的依赖关系。图 1 (在线彩图)(a)
$ ^{130}{\rm{Cd}} $ 的β衰变半衰期理论值对粒子-空穴相互作用强度$ g_{\rm{ph}} $ 的依赖关系,计算中取粒子-粒子相互作用强度$g_{\rm{pp}} = 20\, {\rm{MeV}\boldsymbol\cdot{\rm fm}}^3$ ; (b)$ ^{130}{\rm{Cd}} $ 的β衰变半衰期理论值对粒子-粒子相互作用强度$ g_{\rm{pp}} $ 的依赖关系,计算中取粒子-空穴相互作用强度$g_{\rm{ph}} = 200\, {\rm{MeV}\boldsymbol\cdot{\rm fm}}^3$ 文献[34-36]指出,可以利用Gamow-Teller巨共振(GTGR)位置确定
$ g_{\rm{ph}} $ 的数值。理论上,为了拟合32S到208Pb多个核素的GTGR位置实验值[37-43],我们假设$ g_{\rm{ph}} $ 与质子数$ Z $ 和中子数$ N $ 满足如下关系$$ \begin{array}{l} g_{{\rm{ph}}} = -449.44(N+Z)^{-0.3033}+262 \; {\rm{MeV}} \cdot {\rm{fm}}^{3}, \end{array} $$ (3) 其中
$ N $ 、$ Z $ 分别表示母核中子数、质子数。我们选取48Ca,95Zr,208Pb等三个核素验证方程(3)的可靠性。通过计算,得到48Ca,95Zr,208Pb的GTGR位置分别为10.46, 7.04, 19.09 MeV,而相应的实验值为$10(4.5\sim14.5)$ [39],$9(6\sim10)$ [40],$ (15.6\pm 0.2) $ MeV[41],说明方程(3)给出的$ g_{\rm{ph}} $ 可以较好地重复出GTGR位置的实验值。接下来确定
$ g_{\rm{pp}} $ 的取值。利用原子核β衰变半衰期实验值,我们拟合了$ g_{\rm{pp}} $ 随中子数和质子数的变化$$ \begin{array}{l} g_{\rm{pp}} = 25.8+0.25N-0.6399Z \; {\rm{MeV}}\cdot {\rm{fm}}^{3}{\text{。}} \end{array} $$ (4) 从图1(b)可以看出,β衰变半衰期随
$ g_{\rm{pp}} $ 的变化关系大致在$g_{\rm{pp}} = 25\, {\rm{MeV}\boldsymbol\cdot{\rm fm}}^3$ 左右存在一个跃变。这是由于$ g_{\rm{pp}} $ 过大,导致在数值求解pn-QRPA方程时出现非物理解。我们的研究主要关心满壳层$N = 50$ ,$N = 82$ ,$N = 126$ 附近r-过程等待点原子核,利用式(4)得到的$ g_{\rm{pp}} $ 总是小于跃变点。 -
利用改进的pn-QRPA模型,我们首先计算了满壳层
$N = 28$ ,$N = 50$ ,$N = 82$ ,$N = 126$ 附近的偶偶核的β衰变半衰期,并与实验数据和其他理论结果进行比较。在计算β衰变半衰期时,$ Q_{\beta} $ 值取自参考文献[44]。与实验值的比较结果参见图2,易知改进的pn-QRPA模型的计算结果和实验值之间的差别绝大部分 在一个数量级以内,部分结果和实验值的偏差甚至在半个数量级以内。个别几个点偏差超过一个数量级,如44Ar和208Hg,其原因值得后续深入细致的研究。理论结果与实验值之间的平均偏差和均方根偏差分别为$$ \begin{split}& S_{1} = \dfrac{\sum_{i = 1}^{i = K} \left | {\rm{log}}_{10}T^{\rm{exp}}_{1/2}-{\rm{log}}_{10}T^{\rm{th}}_{1/2} \right |}{K} = 0.48,\\& S_{2} = \sqrt{\dfrac{\sum^{i = K}_{i = 1}[{\rm{log}}_{10}T^{\rm{exp}}_{1/2}-{\rm{log}}_{10}T^{\rm{th}}_{1/2}]^2}{K}} = 0.71, \end{split} $$ 其中:
$ K $ 是计算数据个数;$ T^{\rm{exp}}_{1/2} $ 是β衰变半衰期实验值;$ T^{\rm{th}}_{1/2} $ 是β衰变半衰期理论值。平均偏差$S_{1} = 0.48$ 表示实验值和理论值之间的偏差在3倍以内。最近美国国家超导回旋加速器实验室(NSCL)测得原子核102Zr的β衰变半衰期为2.01 s[45],我们利用改进的pn-QRPA模型理论计算了其β衰变半衰期为1.624 s,与最新实验数据的对数比小于$ 0.1 $ ,进一步检验了改进的pn-QRPA模型的可靠性。表1列出了改进的pn-QRPA模型给出的满壳附近原子核β衰变半衰期的理论结果。其中第一列表示核素的质量数,第二列表示核素质子数(
$ Z $ ),第三列是改进的pn-QRPA模型给出的β衰变半衰期,第四列至第七列分别是原先的pn-QRPA(记为Ref. [30])、远离稳定线β衰变半衰期新经验公式(记为EF),FRDM+QRPA(记为FRDM),ETFSI+QRPA(记为ETFSI)的理论计算结果,第八列表示β衰变半衰期实验值[44]。表 1 利用新拟合相互作用强度的pn-QRPA模型计算满壳层附近核素β半衰期,并与其他几种方法的计算结果和实验值做比较
A Z $T^{\rm{th}}_{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[30]} } }_{1/2}$/s $T^{\rm{EF}}_{1/2}$/s $T^{\rm{FRDM}}_{1/2}$/s $T^{\rm{ETFSI}}_{1/2}$/s $T^{\rm{Exp}}_{1/2}$/s 34 10 8.57$\times 10^{-04}$ 1.92$\times 10^{-03}$ 1.35$\times 10^{-03}$ 5.20$\times 10^{-03}$ – 2.00$\times 10^{-03}$ 36 12 3.48$\times 10^{-03}$ 1.66$\times 10^{-02}$ 8.96$\times 10^{-03}$ 1.83$\times 10^{-02}$ – 3.90$\times 10^{-03}$ 38 12 2.01$\times 10^{-03}$ 5.70$\times 10^{-03}$ 5.94$\times 10^{-03}$ 1.06$\times 10^{-02}$ – 2.00$\times 10^{-03}$ 40 12 9.20$\times 10^{-04}$ 2.58$\times 10^{-03}$ 4.17$\times 10^{-03}$ 2.43$\times 10^{-02}$ – 1.00$\times 10^{-03}$ 38 14 9.31$\times 10^{-02}$ 1.12$\times 10^{-01}$ 5.94$\times 10^{-02}$ 5.33$\times 10^{-01}$ – 6.30$\times 10^{-02}$ 40 14 4.79$\times 10^{-02}$ 1.52$\times 10^{-02}$ 3.95$\times 10^{-02}$ 3.68$\times 10^{-02}$ – 3.12$\times 10^{-02}$ 42 14 1.18$\times 10^{-02}$ 5.66$\times 10^{-03}$ 2.78$\times 10^{-02}$ 7.06$\times 10^{-02}$ – 1.25$\times 10^{-02}$ 44 14 1.69$\times 10^{-03}$ 3.22$\times 10^{-03}$ 8.76$\times 10^{-03}$ 1.99$\times 10^{-02}$ – 4.00$\times 10^{-03}$ 40 16 2.68 4.18 3.94$\times 10^{-01}$ 4.85$\times 10^{+01}$ – 8.80 42 16 1.18 4.57$\times 10^{-01}$ 2.63$\times 10^{-01}$ 4.14 – 1.02 44 16 8.16$\times 10^{-02}$ 3.31$\times 10^{-02}$ 1.86$\times 10^{-01}$ 1.11 – 1.00$\times 10^{-01}$ 46 16 8.67$\times 10^{-03}$ 1.45$\times 10^{-02}$ 5.86$\times 10^{-02}$ 4.50$\times 10^{-02}$ – 5.00$\times 10^{-02}$ 48 16 3.03$\times 10^{-03}$ 9.36$\times 10^{-03}$ 8.28$\times 10^{-03}$ 1.41$\times 10^{-02}$ – 1.00$\times 10^{-02}$ 44 18 4.32$\times 10^{+01}$ 5.16$\times 10^{+01}$ 1.75 >100 – 7.12$\times 10^{+02}$ 46 18 2.43 1.64 1.24 >100 – 8.40 48 18 8.17$\times 10^{-02}$ 1.97$\times 10^{-01}$ 3.93$\times 10^{-01}$ 2.46$\times 10^{-01}$ – 4.15$\times 10^{-01}$ 50 18 1.74$\times 10^{-02}$ 1.58$\times 10^{-02}$ 5.56$\times 10^{-02}$ 4.52$\times 10^{-02}$ – 1.06$\times 10^{-01}$ 50 20 8.60 1.52$\times 10^{+03}$ 2.63 7.35$\times 10^{+01}$ – 1.35$\times 10^{+01}$ 52 20 1.61 4.69$\times 10^{-01}$ 3.74$\times 10^{-01}$ 4.55$\times 10^{-01}$ – 4.60 70 24 1.00$\times 10^{-02}$ 7.20$\times 10^{-03}$ 7.06$\times 10^{-03}$ 1.60$\times 10^{-02}$ – 6.00$\times 10^{-03}$ 72 26 2.30$\times 10^{-02}$ 3.46$\times 10^{-02}$ 4.85$\times 10^{-02}$ 8.86$\times 10^{-02}$ – 1.70$\times 10^{-02}$ 74 26 1.37$\times 10^{-02}$ 1.71$\times 10^{-02}$ 2.61$\times 10^{-02}$ 5.16$\times 10^{-02}$ – 5.00$\times 10^{-03}$ 76 26 2.24$\times 10^{-02}$ 7.99$\times 10^{-03}$ 1.03$\times 10^{-02}$ 4.46$\times 10^{-02}$ 1.17$\times 10^{-02}$ 3.00$\times 10^{-03}$ 74 28 2.20$\times 10^{-01}$ 5.45$\times 10^{-01}$ 3.33$\times 10^{-01}$ 1.99 3.32 5.08$\times 10^{-01}$ 76 28 1.08$\times 10^{-01}$ 2.02$\times 10^{-01}$ 1.80$\times 10^{-01}$ 9.56$\times 10^{-01}$ 1.23 2.35$\times 10^{-01}$ 78 28 2.00$\times 10^{-01}$ 8.84$\times 10^{-02}$ 7.15$\times 10^{-02}$ 4.77$\times 10^{-01}$ 4.83$\times 10^{-01}$ 1.22$\times 10^{-01}$ 80 28 1.94$\times 10^{-02}$ 2.38$\times 10^{-02}$ 1.86$\times 10^{-02}$ 1.82$\times 10^{-01}$ – 3.00$\times 10^{-02}$ 82 28 1.00$\times 10^{-02}$ 1.72$\times 10^{-02}$ 3.56$\times 10^{-03}$ 8.68$\times 10^{-02}$ – 1.60$\times 10^{-02}$ 76 30 4.72 1.96$\times 10^{+01}$ 2.28 4.28$\times 10^{+01}$ – 5.70 78 30 7.60$\times 10^{-01}$ 1.37 1.24 2.68$\times 10^{+01}$ – 1.47 80 30 4.20$\times 10^{-01}$ 3.22$\times 10^{-01}$ 4.94$\times 10^{-01}$ 3.07 5.13 5.62$\times 10^{-01}$ 82 30 4.74$\times 10^{-02}$ 1.13$\times 10^{-01}$ 1.29$\times 10^{-01}$ 2.22$\times 10^{-01}$ – 1.78$\times 10^{-01}$ 84 30 2.39$\times 10^{-02}$ 7.51$\times 10^{-02}$ 2.47$\times 10^{-02}$ 6.88$\times 10^{-02}$ – 5.40$\times 10^{-02}$ 80 32 8.92$\times 10^{+01}$ 1.71$\times 10^{+02}$ 8.51 >100 – 2.95$\times 10^{+01}$ 82 32 9.19 3.57 3.41 >100 – 4.31 84 32 5.42$\times 10^{-01}$ 1.04 8.91$\times 10^{-01}$ 1.14 – 9.51$\times 10^{-01}$ 86 32 2.05$\times 10^{-01}$ 4.98$\times 10^{-01}$ 1.72$\times 10^{-01}$ 1.95$\times 10^{-01}$ – 2.22$\times 10^{-01}$ 84 34 1.65$\times 10^{+03}$ 1.44$\times 10^{+03}$ 2.36$\times 10^{+01}$ >100 – 1.96$\times 10^{+02}$ 86 34 3.31$\times 10^{+01}$ 4.88$\times 10^{+01}$ 6.18 1.41$\times 10^{+01}$ – 1.43$\times 10^{+01}$ 88 34 8.03 1.45$\times 10^{+01}$ 1.19 6.03$\times 10^{-01}$ – 1.53 122 44 2.43$\times 10^{-02}$ 2.90$\times 10^{-02}$ 8.34$\times 10^{-03}$ 7.61$\times 10^{-02}$ 7.08$\times 10^{-02}$ 2.50$\times 10^{-02}$ 124 44 5.96$\times 10^{-02}$ 1.90$\times 10^{-02}$ 3.10$\times 10^{-03}$ 5.39$\times 10^{-02}$ 6.04$\times 10^{-02}$ 1.50$\times 10^{-02}$ 126 46 1.94$\times 10^{-01}$ 5.32$\times 10^{-02}$ 2.24$\times 10^{-02}$ 2.50$\times 10^{-01}$ 2.45$\times 10^{-01}$ 2.30$\times 10^{-02}$ 128 46 3.63$\times 10^{-02}$ 3.51$\times 10^{-02}$ 1.40$\times 10^{-02}$ 1.25$\times 10^{-01}$ 7.93$\times 10^{-02}$ 5.80$\times 10^{-06}$ 130 46 8.45$\times 10^{-03}$ 2.50$\times 10^{-02}$ 1.39$\times 10^{-02}$ 9.82$\times 10^{-02}$ 6.77$\times 10^{-02}$ 2.70$\times 10^{-02}$ 126 48 2.30 2.08 4.35$\times 10^{-01}$ 5.37 1.51 5.12$\times 10^{-01}$ 128 48 6.60$\times 10^{-01}$ 4.46$\times 10^{-01}$ 1.66$\times 10^{-01}$ 1.00 6.65$\times 10^{-01}$ 2.46$\times 10^{-01}$ 130 48 3.81$\times 10^{-01}$ 6.49$\times 10^{-02}$ 1.03$\times 10^{-01}$ 1.12 4.88$\times 10^{-01}$ 1.27$\times 10^{-01}$ 132 48 1.40$\times 10^{-02}$ 2.88$\times 10^{-02}$ 1.01$\times 10^{-01}$ 6.33$\times 10^{-01}$ 1.91$\times 10^{-01}$ 8.40$\times 10^{-02}$ 130 50 1.76$\times 10^{+02}$ 2.91$\times 10^{+02}$ 1.38$\times 10^{+02}$ >100 – 2.23$\times 10^{+02}$ 132 50 3.56$\times 10^{+01}$ 2.62$\times 10^{+01}$ 3.90 2.87$\times 10^{+01}$ – 3.97$\times 10^{+01}$ 134 50 4.66$\times 10^{-01}$ 4.38$\times 10^{-01}$ 7.43$\times 10^{-01}$ 3.54 1.92$\times 10^{+01}$ 9.30$\times 10^{-01}$ 136 50 4.48$\times 10^{-01}$ 6.00$\times 10^{-02}$ 2.45$\times 10^{-01}$ 9.52$\times 10^{-01}$ 7.04 3.55$\times 10^{-01}$ 134 52 8.02$\times 10^{+03}$ 1.42$\times 10^{+03}$ 6.29$\times 10^{+02}$ >100 – 2.51$\times 10^{+03}$ 136 52 1.53$\times 10^{+01}$ 7.38 5.50 7.88$\times 10^{+01}$ – 1.76$\times 10^{+01}$ 138 52 1.30$\times 10^{+01}$ 5.74 1.79 3.01$\times 10^{+01}$ 7.23$\times 10^{+01}$ 1.46 138 54 3.24$\times 10^{+03}$ 3.16$\times 10^{+03}$ 3.91$\times 10^{+01}$ >100 – 8.48$\times 10^{+02}$ 202 76 1.00$\times 10^{+01}$ 2.14 3.97 >100 – 2.00 206 78 3.64 1.35 1.19$\times 10^{+01}$ >100 – 5.00$\times 10^{-01}$ 208 78 2.35 9.79$\times 10^{-01}$ 1.66$\times 10^{+01}$ >100 – 2.20$\times 10^{-01}$ 208 80 6.64 2.27 9.28$\times 10^{+01}$ >100 – 1.35$\times 10^{+02}$ 表中第一列表示核素的质量数,第二列表示核素质子数(Z),第三列是用本文改进的pn-QRPA模型计算的半衰期,第四列至第七列分别是原先的pn-QRPA[30]、远离稳定线β衰变半衰期新经验公式[12],FRDM+QRPA[17],ETFSI+QRPA[18]对满壳层原子核β衰变半衰期的理论计算结果,第八列表示β衰变半衰期的实验值。 -
为了利用改进的pn-QRPA模型计算实验上未知的远离稳定线丰中子偶偶核β衰变强度函数和β衰变半衰期,需要首先合理选取β衰变能
$Q_\beta$ ,其决定了β衰变强度函数中β衰变的窗口。图3给出了78Ni的β衰变半衰期理论值与$Q_{\beta}$ 的依赖关系,可见$Q_{\beta}$ 值的选取对于β衰变半衰期有较大的影响。我们利用Duflo-Zuker质量模型来计算原子核β衰变能
$Q_\beta$ [46]。首先利用Duflo-Zuker质量模型计算$N = 28$ ,$N = 50$ ,$N = 82$ ,$N = 126$ 附近已知原子核的β衰变能,并同实验数据进行比较,其均方根偏差 仅为0.69,相较于3.1节所计算的均方根差别不大,说明结合Duflo-Zuker质量模型的计算是可靠的。微小变化的原因可能是Duflo-Zuker质量模型的误差所带来的。但是由于计算β衰变半衰期的复杂性,其偏差对于β衰变来说是可以接受的。结合Duflo-Zuker质量模型给出的β衰变能,我们利用改进的pn-QRPA模型再次计算$N = 28$ ,$N = 50$ ,$N = 82$ ,$N = 126$ 附近已知原子核的β衰变半衰期。根据图4易知,理论计算结果和实验数据符合较好。对于图中个别偏差较大的数据点,可从如下几个方面进行解释:(1) 对于β衰变半衰期较长的原子核,其半衰期受禁戒跃迁的影响较大,而在本文工作中只考虑了GT跃迁,没有计入禁戒跃迁的影响。(2) 相比
$Q_\beta$ 实验值,Duflo-Zuker质量模型预言的$Q_\beta$ 理论值存在误差,会对半衰期计算产生影响。 -
我们进一步利用pn-QRPA模型来预言实验上未知的r-过程等待点原子核β衰变半衰期。相关理论结果参见表2。其中,第一列代表核素的质量数,第二列代表核素的名称,第三列代表本工作的理论预测,第四列至第八列分别代表其他几种方法的理论预测:原先的pn-QRPA[30],FRDM+QRPA[47],HFB+QRPA[48],ETFSI+QRPA[18]和壳模型[49]。
表 2 利用改进的pn-QRPA模型结合Duflo-Zuker质量模型对
$N = 50$ ,82,126 附近r-过程等待点核的半衰期进行理论预测,并与文献[30],文献[47],文献[48],文献[18]和文献[49]的计算结果做对比A 核素 $ T^{\rm{This \; work}}_{1/2} $/s $T^{\rm Ref.~ { [30]} } _{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[47]} } }_{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[48]} } }_{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[18]} } }_{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[49]} } }_{1/2}$/s 124 Mo 0.0087 0.0138 – 0.0079 0.0145 0.0062 126 Ru 0.0122 0.0243 0.0297 0.0184 0.0216 0.0203 128 Pd 0.0363 0.0550 0.0742 0.0559 0.0793 0.0473 186 Nd 0.0069 0.0107 – – 0.0083 – 188 Sm 0.0101 0.0141 – 0.0137 0.0140 – 192 Dy 0.0228 0.0291 0.0197 0.0638 0.0641 0.0101 194 Er 0.0378 0.0486 0.0502 0.2043 0.2064 0.0246 196 Yb 0.0999 0.1453 0.1812 – 0.8577 0.0690 198 Hf 0.2926 0.3653 – – 5.3340 0.1933 表中第一列代表原子核的质量数,第二列代表核的名称,第三列代表本文改进的pn-QRPA模型的理论结果,第四列代表文献[30]的理论结果,第五列代表文献[47]的理论结果,第六列代表文献[48]的理论结果,第七列代表文献[18]的理论结果,第八列代表文献[49]的理论结果。 图5给出了利用改进的pn-QRPA模型计算的
$N = 50$ ,$N = 82$ ,$N = 126$ 附近已知和未知的等待点原子核的β衰变半衰期理论结果,并与HFB+QRPA(记为HFB)[48],ETFSI+QRPA(记为ETFSI)[18],FRDM+QRPA(记为FRDM)[47],壳模型(记为SM)[49],原先的pn-QRPA[30]等其他理论结果进行比较。对于有实验数据$ A = 76 $ ,$ A = 78 $ ,$ A = 80 $ ,$ A = 130 $ 和$ A = 132 $ 的几个原子核,与原有模型相比,本文计算结果与实验值符合更好,最大偏差小于半个数量级。当$N = 82$ 时,我们的结果与其他模型的结果基本一致。
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摘要: r-过程等待点原子核的β衰变半衰期对研究宇宙中重元素起源有重要意义。质子-中子准粒子无规相位近似(pn-QRPA)是研究原子核β衰变的重要理论模型。本工作提出了一个改进的 pn-QRPA 模型,系统研究了满壳附近原子核的 β 衰变性质。与之前的工作相比,改进的模型采用了中子数和质子数依赖的新粒子-粒子和粒子-空穴相互作用形式。本工作首先计算了满壳附近一些已知原子核的 β衰变半衰期和 Gamow-Teller 强度分布,发现理论结果与实验数据符合较好,检验了新模型的可靠性。随后,理论预测了
$N=50$ ,$N=82$ 和$N=126$ 附近未知的等待点原子核的 β衰变半衰期,如124Mo, 126Ru, 128Pd, 186Nd, 188Sm, 192Dy, 194Er, 196Yb, 198Hf等,预测结果与之前的模型相近。这些结果对未来满壳层附近的r-过程物理研究有参考价值。Abstract: β-decay half-lives of r-process waiting-point nuclei are the crucial physical data for understanding the origin of heavy elements in the universe. Proton-neutron quasi-particle random phase approximation (pn-QRPA) is an important theoretical model to study nuclear β decays. In this work, we propose an improved pn-QRPA model to systematically study β decays from nuclei near closed shells. Compared with previous works, new forms of particle-particle and particle-hole interactions are adopted in the improved model, which depend on both the neutron number and the proton number. We first validate our new model by calculating β-decay half-lives and Gamow-Teller strength distributions of some known nuclei around closed shells. The theoretical results agree well with experimental data. We then predict the β-decay half-lives of various unknown waiting points nuclei near$N=50,~N=824$ , and$N=126$ , such as 124Mo, 126Ru, 128Pd, 186Nd, 188Sm, 192Dy, 194Er, 196Yb, 198Hf. The predictions are consistent with the previous model. These results are good references for the future physics research of r-process near the closed shell. -
图 2 (在线彩图)
$ N = 28 $ , 50, 82, 126附近原子核β衰变半衰期的理论值与实验值的对数偏差两条虚线之间的区域表示理论值和实验值的偏差在一个数量级以内。其中计算所使用$ Q_{\beta} $值取自参考文献[44]。
表 1 利用新拟合相互作用强度的pn-QRPA模型计算满壳层附近核素β半衰期,并与其他几种方法的计算结果和实验值做比较
A Z $T^{\rm{th}}_{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[30]} } }_{1/2}$/s $T^{\rm{EF}}_{1/2}$/s $T^{\rm{FRDM}}_{1/2}$/s $T^{\rm{ETFSI}}_{1/2}$/s $T^{\rm{Exp}}_{1/2}$/s 34 10 8.57$\times 10^{-04}$ 1.92$\times 10^{-03}$ 1.35$\times 10^{-03}$ 5.20$\times 10^{-03}$ – 2.00$\times 10^{-03}$ 36 12 3.48$\times 10^{-03}$ 1.66$\times 10^{-02}$ 8.96$\times 10^{-03}$ 1.83$\times 10^{-02}$ – 3.90$\times 10^{-03}$ 38 12 2.01$\times 10^{-03}$ 5.70$\times 10^{-03}$ 5.94$\times 10^{-03}$ 1.06$\times 10^{-02}$ – 2.00$\times 10^{-03}$ 40 12 9.20$\times 10^{-04}$ 2.58$\times 10^{-03}$ 4.17$\times 10^{-03}$ 2.43$\times 10^{-02}$ – 1.00$\times 10^{-03}$ 38 14 9.31$\times 10^{-02}$ 1.12$\times 10^{-01}$ 5.94$\times 10^{-02}$ 5.33$\times 10^{-01}$ – 6.30$\times 10^{-02}$ 40 14 4.79$\times 10^{-02}$ 1.52$\times 10^{-02}$ 3.95$\times 10^{-02}$ 3.68$\times 10^{-02}$ – 3.12$\times 10^{-02}$ 42 14 1.18$\times 10^{-02}$ 5.66$\times 10^{-03}$ 2.78$\times 10^{-02}$ 7.06$\times 10^{-02}$ – 1.25$\times 10^{-02}$ 44 14 1.69$\times 10^{-03}$ 3.22$\times 10^{-03}$ 8.76$\times 10^{-03}$ 1.99$\times 10^{-02}$ – 4.00$\times 10^{-03}$ 40 16 2.68 4.18 3.94$\times 10^{-01}$ 4.85$\times 10^{+01}$ – 8.80 42 16 1.18 4.57$\times 10^{-01}$ 2.63$\times 10^{-01}$ 4.14 – 1.02 44 16 8.16$\times 10^{-02}$ 3.31$\times 10^{-02}$ 1.86$\times 10^{-01}$ 1.11 – 1.00$\times 10^{-01}$ 46 16 8.67$\times 10^{-03}$ 1.45$\times 10^{-02}$ 5.86$\times 10^{-02}$ 4.50$\times 10^{-02}$ – 5.00$\times 10^{-02}$ 48 16 3.03$\times 10^{-03}$ 9.36$\times 10^{-03}$ 8.28$\times 10^{-03}$ 1.41$\times 10^{-02}$ – 1.00$\times 10^{-02}$ 44 18 4.32$\times 10^{+01}$ 5.16$\times 10^{+01}$ 1.75 >100 – 7.12$\times 10^{+02}$ 46 18 2.43 1.64 1.24 >100 – 8.40 48 18 8.17$\times 10^{-02}$ 1.97$\times 10^{-01}$ 3.93$\times 10^{-01}$ 2.46$\times 10^{-01}$ – 4.15$\times 10^{-01}$ 50 18 1.74$\times 10^{-02}$ 1.58$\times 10^{-02}$ 5.56$\times 10^{-02}$ 4.52$\times 10^{-02}$ – 1.06$\times 10^{-01}$ 50 20 8.60 1.52$\times 10^{+03}$ 2.63 7.35$\times 10^{+01}$ – 1.35$\times 10^{+01}$ 52 20 1.61 4.69$\times 10^{-01}$ 3.74$\times 10^{-01}$ 4.55$\times 10^{-01}$ – 4.60 70 24 1.00$\times 10^{-02}$ 7.20$\times 10^{-03}$ 7.06$\times 10^{-03}$ 1.60$\times 10^{-02}$ – 6.00$\times 10^{-03}$ 72 26 2.30$\times 10^{-02}$ 3.46$\times 10^{-02}$ 4.85$\times 10^{-02}$ 8.86$\times 10^{-02}$ – 1.70$\times 10^{-02}$ 74 26 1.37$\times 10^{-02}$ 1.71$\times 10^{-02}$ 2.61$\times 10^{-02}$ 5.16$\times 10^{-02}$ – 5.00$\times 10^{-03}$ 76 26 2.24$\times 10^{-02}$ 7.99$\times 10^{-03}$ 1.03$\times 10^{-02}$ 4.46$\times 10^{-02}$ 1.17$\times 10^{-02}$ 3.00$\times 10^{-03}$ 74 28 2.20$\times 10^{-01}$ 5.45$\times 10^{-01}$ 3.33$\times 10^{-01}$ 1.99 3.32 5.08$\times 10^{-01}$ 76 28 1.08$\times 10^{-01}$ 2.02$\times 10^{-01}$ 1.80$\times 10^{-01}$ 9.56$\times 10^{-01}$ 1.23 2.35$\times 10^{-01}$ 78 28 2.00$\times 10^{-01}$ 8.84$\times 10^{-02}$ 7.15$\times 10^{-02}$ 4.77$\times 10^{-01}$ 4.83$\times 10^{-01}$ 1.22$\times 10^{-01}$ 80 28 1.94$\times 10^{-02}$ 2.38$\times 10^{-02}$ 1.86$\times 10^{-02}$ 1.82$\times 10^{-01}$ – 3.00$\times 10^{-02}$ 82 28 1.00$\times 10^{-02}$ 1.72$\times 10^{-02}$ 3.56$\times 10^{-03}$ 8.68$\times 10^{-02}$ – 1.60$\times 10^{-02}$ 76 30 4.72 1.96$\times 10^{+01}$ 2.28 4.28$\times 10^{+01}$ – 5.70 78 30 7.60$\times 10^{-01}$ 1.37 1.24 2.68$\times 10^{+01}$ – 1.47 80 30 4.20$\times 10^{-01}$ 3.22$\times 10^{-01}$ 4.94$\times 10^{-01}$ 3.07 5.13 5.62$\times 10^{-01}$ 82 30 4.74$\times 10^{-02}$ 1.13$\times 10^{-01}$ 1.29$\times 10^{-01}$ 2.22$\times 10^{-01}$ – 1.78$\times 10^{-01}$ 84 30 2.39$\times 10^{-02}$ 7.51$\times 10^{-02}$ 2.47$\times 10^{-02}$ 6.88$\times 10^{-02}$ – 5.40$\times 10^{-02}$ 80 32 8.92$\times 10^{+01}$ 1.71$\times 10^{+02}$ 8.51 >100 – 2.95$\times 10^{+01}$ 82 32 9.19 3.57 3.41 >100 – 4.31 84 32 5.42$\times 10^{-01}$ 1.04 8.91$\times 10^{-01}$ 1.14 – 9.51$\times 10^{-01}$ 86 32 2.05$\times 10^{-01}$ 4.98$\times 10^{-01}$ 1.72$\times 10^{-01}$ 1.95$\times 10^{-01}$ – 2.22$\times 10^{-01}$ 84 34 1.65$\times 10^{+03}$ 1.44$\times 10^{+03}$ 2.36$\times 10^{+01}$ >100 – 1.96$\times 10^{+02}$ 86 34 3.31$\times 10^{+01}$ 4.88$\times 10^{+01}$ 6.18 1.41$\times 10^{+01}$ – 1.43$\times 10^{+01}$ 88 34 8.03 1.45$\times 10^{+01}$ 1.19 6.03$\times 10^{-01}$ – 1.53 122 44 2.43$\times 10^{-02}$ 2.90$\times 10^{-02}$ 8.34$\times 10^{-03}$ 7.61$\times 10^{-02}$ 7.08$\times 10^{-02}$ 2.50$\times 10^{-02}$ 124 44 5.96$\times 10^{-02}$ 1.90$\times 10^{-02}$ 3.10$\times 10^{-03}$ 5.39$\times 10^{-02}$ 6.04$\times 10^{-02}$ 1.50$\times 10^{-02}$ 126 46 1.94$\times 10^{-01}$ 5.32$\times 10^{-02}$ 2.24$\times 10^{-02}$ 2.50$\times 10^{-01}$ 2.45$\times 10^{-01}$ 2.30$\times 10^{-02}$ 128 46 3.63$\times 10^{-02}$ 3.51$\times 10^{-02}$ 1.40$\times 10^{-02}$ 1.25$\times 10^{-01}$ 7.93$\times 10^{-02}$ 5.80$\times 10^{-06}$ 130 46 8.45$\times 10^{-03}$ 2.50$\times 10^{-02}$ 1.39$\times 10^{-02}$ 9.82$\times 10^{-02}$ 6.77$\times 10^{-02}$ 2.70$\times 10^{-02}$ 126 48 2.30 2.08 4.35$\times 10^{-01}$ 5.37 1.51 5.12$\times 10^{-01}$ 128 48 6.60$\times 10^{-01}$ 4.46$\times 10^{-01}$ 1.66$\times 10^{-01}$ 1.00 6.65$\times 10^{-01}$ 2.46$\times 10^{-01}$ 130 48 3.81$\times 10^{-01}$ 6.49$\times 10^{-02}$ 1.03$\times 10^{-01}$ 1.12 4.88$\times 10^{-01}$ 1.27$\times 10^{-01}$ 132 48 1.40$\times 10^{-02}$ 2.88$\times 10^{-02}$ 1.01$\times 10^{-01}$ 6.33$\times 10^{-01}$ 1.91$\times 10^{-01}$ 8.40$\times 10^{-02}$ 130 50 1.76$\times 10^{+02}$ 2.91$\times 10^{+02}$ 1.38$\times 10^{+02}$ >100 – 2.23$\times 10^{+02}$ 132 50 3.56$\times 10^{+01}$ 2.62$\times 10^{+01}$ 3.90 2.87$\times 10^{+01}$ – 3.97$\times 10^{+01}$ 134 50 4.66$\times 10^{-01}$ 4.38$\times 10^{-01}$ 7.43$\times 10^{-01}$ 3.54 1.92$\times 10^{+01}$ 9.30$\times 10^{-01}$ 136 50 4.48$\times 10^{-01}$ 6.00$\times 10^{-02}$ 2.45$\times 10^{-01}$ 9.52$\times 10^{-01}$ 7.04 3.55$\times 10^{-01}$ 134 52 8.02$\times 10^{+03}$ 1.42$\times 10^{+03}$ 6.29$\times 10^{+02}$ >100 – 2.51$\times 10^{+03}$ 136 52 1.53$\times 10^{+01}$ 7.38 5.50 7.88$\times 10^{+01}$ – 1.76$\times 10^{+01}$ 138 52 1.30$\times 10^{+01}$ 5.74 1.79 3.01$\times 10^{+01}$ 7.23$\times 10^{+01}$ 1.46 138 54 3.24$\times 10^{+03}$ 3.16$\times 10^{+03}$ 3.91$\times 10^{+01}$ >100 – 8.48$\times 10^{+02}$ 202 76 1.00$\times 10^{+01}$ 2.14 3.97 >100 – 2.00 206 78 3.64 1.35 1.19$\times 10^{+01}$ >100 – 5.00$\times 10^{-01}$ 208 78 2.35 9.79$\times 10^{-01}$ 1.66$\times 10^{+01}$ >100 – 2.20$\times 10^{-01}$ 208 80 6.64 2.27 9.28$\times 10^{+01}$ >100 – 1.35$\times 10^{+02}$ 表中第一列表示核素的质量数,第二列表示核素质子数(Z),第三列是用本文改进的pn-QRPA模型计算的半衰期,第四列至第七列分别是原先的pn-QRPA[30]、远离稳定线β衰变半衰期新经验公式[12],FRDM+QRPA[17],ETFSI+QRPA[18]对满壳层原子核β衰变半衰期的理论计算结果,第八列表示β衰变半衰期的实验值。 表 2 利用改进的pn-QRPA模型结合Duflo-Zuker质量模型对
$N = 50$ ,82,126 附近r-过程等待点核的半衰期进行理论预测,并与文献[30],文献[47],文献[48],文献[18]和文献[49]的计算结果做对比A 核素 $ T^{\rm{This \; work}}_{1/2} $/s $T^{\rm Ref.~ { [30]} } _{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[47]} } }_{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[48]} } }_{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[18]} } }_{1/2}$/s $T^{ {\rm{Ref.~[49]} } }_{1/2}$/s 124 Mo 0.0087 0.0138 – 0.0079 0.0145 0.0062 126 Ru 0.0122 0.0243 0.0297 0.0184 0.0216 0.0203 128 Pd 0.0363 0.0550 0.0742 0.0559 0.0793 0.0473 186 Nd 0.0069 0.0107 – – 0.0083 – 188 Sm 0.0101 0.0141 – 0.0137 0.0140 – 192 Dy 0.0228 0.0291 0.0197 0.0638 0.0641 0.0101 194 Er 0.0378 0.0486 0.0502 0.2043 0.2064 0.0246 196 Yb 0.0999 0.1453 0.1812 – 0.8577 0.0690 198 Hf 0.2926 0.3653 – – 5.3340 0.1933 表中第一列代表原子核的质量数,第二列代表核的名称,第三列代表本文改进的pn-QRPA模型的理论结果,第四列代表文献[30]的理论结果,第五列代表文献[47]的理论结果,第六列代表文献[48]的理论结果,第七列代表文献[18]的理论结果,第八列代表文献[49]的理论结果。 -
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