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本文先根据底事件的发生概率计算静态子树M2、M5~M8、M12~M15的发生概率,再采用Markov模型求解三种不同冗余模式下顶事件T的发生概率。
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Markov模型[13]由一组概率Pij来定义,Pij表示系统由状态i转移到状态j的概率。根据状态方程:
$$ P(t + 1) = P(t) \times A , $$ (1) 再确定时间t即可求得事件在t时刻发生的概率。式中:P(t)为t时刻各状态概率的行向量;P(t+1)为t+1时刻各状态概率的行向量;A为Pij构成的齐次状态转移矩阵。
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为了便于动态故障树的求解,本文采用最小割集法[7]先计算完整故障树的静态子树发生概率。以RCV003PO失效的故障子树M5为例,可求得M5的最小割集为C1={X3};C2={X4};C3={X5},其中Xi(i=3, 4, 5)为图6中故障子树M5对应标号的基本事件,由此可得M5的发生概率PM5:
$$ \begin{split} {P_{{M_5}}} &= P({C_1} + {C_2} + {C_3}) \\ & = 1 - (1 - {P_{{X_3}}})(1 - {P_{{X_4}}})(1 - {P_{{X_5}}}) \end{split}。 $$ (2) 同理可得:
$$\begin{split} & {P_{{M_2}}} = 1 - (1 - {P_{{X_1}}})(1 - {P_{{X_2}}}) , \\ & {P_{{M_6}}} = 1 - (1 - {P_{{X_1}}})(1 - {P_{{X_5}}}) , \\ & {P_{{M_7}}} = 1 - (1 - {P_{{X_3}}})(1 - {P_{{X_4}}})(1 - {P_{{X_6}}}) , \\ & {P_{{M_8}}} = 1 - (1 - {P_{{X_1}}})(1 - {P_{{X_6}}}) , \\ & {P_{{M_{12}}}} = 1 - (1 - {P_{{X_3}}})(1 - {P_{{X_4}}})(1 - {P_{{X_5}}}) , \\ & {P_{{M_{13}}}} = 1 - (1 - {P_{{X_3}}})(1 - {P_{{X_4}}}) ,\\ & {P_{{M_{14}}}} = 1 - (1 - {P_{{X_3}}})(1 - {P_{{X_4}}})(1 - {P_{{X_6}}}) , \\ & {P_{{M_{15}}}} = 1 - (1 - {P_{{X_3}}})(1 - {P_{{X_4}}}) 。 \end{split} $$ (3) -
对于动态故障树的求解,本文采用Markov模型。动态故障树模型中包含的动态逻辑门为优先与门。本文考虑到热备用的切换失效、运行失效两种失效状态以及冷备用的启动失效、切换失效、运行失效三种失效状态,比只考虑一种或两种失效状态建立的Markov链更复杂,但求解顶事件的失效概率更准确。
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此模式下的Markov链如图11所示,图中圆圈代表系统当前时刻的状态,有向线段代表状态的转移方向。每个状态均有如状态S1处表示转移后状态不变的有向线段,为使Markov链便于观察,除状态S1外其他状态处的此类有向线段均未画出。
图中共有18种状态,与设备状态一一对应的关系见表1。根据图11可得18×18状态转移矩阵,如式(4)所示。
表 1 双热备用冗余模式下Markov链中各状态说明
状态 002PO 003PO(热备用) 001PO(热备用) S0 运行正常 未切换/运行正常 未切换/运行正常 S1 运行正常 未切换/运行正常 未切换/运行失效 S2 运行正常 未切换/运行失效 未切换/运行正常 S3 运行正常 未切换/运行失效 未切换/运行失效 S4 运行失效 切换成功/运行正常 未切换/运行正常 S5 运行失效 切换成功/运行正常 未切换/运行失效 S6 运行失效 切换成功/运行失效 切换成功/运行正常 S7 运行失效 切换成功/运行失效 切换成功/运行失效 S8 运行失效 切换成功/运行失效 切换失效/运行正常 S9 运行失效 切换成功/运行失效 切换失效/运行失效 S10 运行失效 切换失效/运行正常 切换成功/运行正常 S11 运行失效 切换失效/运行正常 切换成功/运行失效 S12 运行失效 切换失效/运行正常 切换失效/运行正常 S13 运行失效 切换失效/运行正常 切换失效/运行失效 S14 运行失效 切换失效/运行失效 切换成功/运行正常 S15 运行失效 切换失效/运行失效 切换成功/运行失效 S16 运行失效 切换失效/运行失效 切换失效/运行正常 S17 运行失效 切换失效/运行失效 切换失效/运行失效 $${\begin{array}{*{20}{l}} {A}_{1}=\left[\begin{array}{cccccccc}1-{P}_{{M}_{2}}-{P}_{{M}_{6}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{6}}& & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{5}})& & & \\[2.8pt] & 1-{P}_{{M}_{2}}-{P}_{{M}_{6}}& & {P}_{{M}_{6}}& & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{5}})& & \\[2.8pt] & & 1-{P}_{{M}_{2}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{5}})(1-{P}_{{M}_{7}})& \\[2.8pt] & & & 1-{P}_{{M}_{2}}& & & & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{5}})(1-{P}_{{M}_{7}})\\[2.8pt] & & & & 1-{P}_{{M}_{6}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{6}}(1-{P}_{{M}_{7}})& \\[2.8pt] & & & & & 1-{P}_{{M}_{6}}& & {P}_{{M}_{6}}(1-{P}_{{M}_{7}})\\[2.8pt] & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}\\[2.8pt] & & & & & & & 1\\[2.8pt] & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & \\[2.8pt] \vdots & {\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}}& & & & & & \\[2.8pt] 0& \cdots & & & & & & \end{array}\right. \\[2.8pt] \left.\begin{array}{cccccccccc}& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{5}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{5}}{P}_{{M}_{7}}& & & & & \\[2.8pt] & & & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{5}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{5}}{P}_{{M}_{7}}& & & & \\[2.8pt] {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{5}}){P}_{{M}_{7}}& & & & & & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{5}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{5}}{P}_{{M}_{7}}& \\[2.8pt] & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{5}}){P}_{{M}_{7}}& & & & & & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{5}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{5}}{P}_{{M}_{7}}\\[2.8pt] {P}_{{M}_{6}}{P}_{{M}_{7}}& & & & & & & & & \\[2.8pt] & {P}_{{M}_{6}}{P}_{{M}_{7}}& & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & & & \\[2.8pt] & & & & & & & & & \\[2.8pt] 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & & & & & & \\[2.8pt] & 1& & & & & & & & \\[2.8pt] & & 1-{P}_{{M}_{6}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & {P}_{{M}_{6}}& & & \\[2.8pt] & & & 1-{P}_{{M}_{6}}& & & & {P}_{{M}_{6}}& & \\[2.8pt] & & & & 1-{P}_{{M}_{6}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & {P}_{{M}_{6}}& \\[2.8pt] & & & & & 1-{P}_{{M}_{6}}& & & & {P}_{{M}_{6}}\\[2.8pt] & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & \\[2.8pt] & & & & & & & 1& & \\[2.8pt] & & & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}\\[2.8pt] & & & & & & & & & 1\end{array}\right] \text{,} \end{array}} $$ (4) -
此模式下的Markov链如图12所示,每个状态均有如状态S1处表示转移后状态不变的有向线段,为使Markov链便于观察,除状态S1外其他状态处的此类有向线段均未画出。
图中共有22种状态,与设备状态一一对应的关系见表2。根据图12可得22×22状态转移矩阵,如式(5)所示。
表 2 双冷备用冗余模式下Markov链中各状态说明
状态 002PO 003PO(冷备用) 001PO(冷备用) S0 运行正常 未启动/未切换/未运行 未启动/未切换/未运行 S1 运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 未启动/未切换/未运行 S2 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 S3 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 S4 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 S5 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 S6 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动失效/未切换/未运行 S7 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动成功/切换成功/运行正常 S8 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动成功/切换成功/运行失效 S9 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动成功/切换失效/运行正常 S10 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动成功/切换失效/运行失效 S11 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动失效/未切换/未运行 S12 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 S13 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 S14 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 S15 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 S16 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动失效/未切换/未运行 S17 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动成功/切换成功/运行正常 S18 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动成功/切换成功/运行失效 S19 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动成功/切换失效/运行正常 S20 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动成功/切换失效/运行失效 S21 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动失效/未切换/未运行 $${\begin{array}{*{20}{l}} {A}_{2}=\left[\begin{array}{ccccccccc}1-{P}_{{M}_{2}}& {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}})(1-{P}_{{M}_{13}})& & & & & & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}}){P}_{{M}_{13}}(1-{P}_{{M}_{14}})(1-{P}_{{M}_{15}})& \\ & 1-{P}_{{M}_{6}}& {P}_{{M}_{6}}(1-{P}_{{M}_{14}})(1-{P}_{{M}_{15}})& & {P}_{{M}_{6}}(1-{P}_{{M}_{14}}){P}_{{M}_{15}}& & {P}_{{M}_{6}}{P}_{{M}_{14}}& & \\ & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & & & \\ & & & 1& & & & & \\ & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & \\ & & & & & 1& & & \\ & & & & & & 1& & \\ & & & & & & & 1-{P}_{{M}_{6}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}\\[-3.2pt] & & & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}\\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & \\ \vdots & {\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}}& & & & & & & \\ 0& \cdots & & & & & & & \end{array}\right. \\ \left.\begin{array}{ccccccccccccc}{P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}}){P}_{{M}_{13}}(1-{P}_{{M}_{14}}){P}_{{M}_{15}}& & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}}){P}_{{M}_{13}}{P}_{{M}_{14}}& & & & & & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{12}}(1-{P}_{{M}_{14}})(1-{P}_{{M}_{15}})& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{12}}(1-{P}_{{M}_{14}}){P}_{{M}_{15}}& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{12}}{P}_{{M}_{14}}\\ & & & & & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & & & & & & & & & & \\[-3.2pt] & & & {P}_{{M}_{6}}& & & & & & & & & \\ & & & & {P}_{{M}_{6}}& & & & & & & & \\ 1-{P}_{{M}_{6}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & & {P}_{{M}_{6}}& & & & & & & \\ & 1-{P}_{{M}_{6}}& & & & & {P}_{{M}_{6}}& & & & & & \\ & & 1-{P}_{{M}_{6}}& & & & & {P}_{{M}_{6}}& & & & & \\ & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & & & & & & \\ & & & & 1& & & & & & & & \\ & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & & & & \\ & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & & 1& & & & & \\ & & & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & \\ & & & & & & & & & 1& & & \\ & & & & & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& \\ & & & & & & & & & & & 1& \\ & & & & & & & & & & & & 1\end{array}\right] \text{,} \end{array}} $$ (5) -
此模式下的Markov链如图13所示,每个状态均有如状态S1处表示转移后状态不变的有向线段,为使Markov链便于观察,除状态S1外其他状态处的此类有向线段均未画出。
图中共有20种状态,与设备状态一一对应的关系见表3。根据图13可得20×20状态转移矩阵,如式(6)所示。
表 3 冷热备用冗余模式下Markov链中各状态说明
状态 002PO 003PO(冷备用) 001PO(热备用) S0 运行正常 未启动/未切换/未运行 未切换/运行正常 S1 运行正常 未启动/未切换/未运行 未切换/运行失效 S2 运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 未切换/运行正常 S3 运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 未切换/运行失效 S4 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 切换成功/运行正常 S5 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 切换成功/运行失效 S6 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 切换失效/运行正常 S7 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 切换失效/运行失效 S8 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 切换成功/运行正常 S9 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 切换成功/运行失效 S10 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 切换失效/运行正常 S11 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 切换失效/运行失效 S12 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 切换成功/运行正常 S13 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 切换成功/运行失效 S14 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 切换失效/运行正常 S15 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 切换失效/运行失效 S16 运行失效 启动失效/未切换/未运行 切换成功/运行正常 S17 运行失效 启动失效/未切换/未运行 切换成功/运行失效 S18 运行失效 启动失效/未切换/未运行 切换失效/运行正常 S19 运行失效 启动失效/未切换/未运行 切换失效/运行失效 $$ {\begin{array}{*{20}{l}} {A}_{3}=\left[\begin{array}{ccccccccc}1-{P}_{{M}_{2}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}})(1-{P}_{{M}_{13}})& & & & & & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}}){P}_{{M}_{13}}(1-{P}_{{M}_{7}})\\ & 1-{P}_{{M}_{2}}& & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}})(1-{P}_{{M}_{13}})& & & & & \\ & & 1-{{P}_{{M}_{6}}-P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{6}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{6}}{P}_{{M}_{7}}& & \\ & & & 1-{P}_{{M}_{6}}& & {P}_{{M}_{6}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{6}}{P}_{{M}_{7}}& \\ & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & \\ & & & & & 1& & & \\ & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& \\ & & & & & & & 1& \\ & & & & & & & & 1-{{P}_{{M}_{6}}-P}_{{M}_{8}}\\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ \vdots & {\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}}& & & & & & & \\ 0& \cdots & & & & & & & \end{array}\right. \\ \left.\begin{array}{ccccccccccc}& {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}}){P}_{{M}_{13}}{P}_{{M}_{7}}& & & & & & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{12}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{12}}{P}_{{M}_{7}}& \\ {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}}){P}_{{M}_{13}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{2}}(1-{P}_{{M}_{12}}){P}_{{M}_{13}}{P}_{{M}_{7}}& & & & & & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{12}}(1-{P}_{{M}_{7}})& & {P}_{{M}_{2}}{P}_{{M}_{12}}{P}_{{M}_{7}}\\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ {P}_{{M}_{8}}& & & {P}_{{M}_{6}}& & & & & & & \\ 1-{P}_{{M}_{6}}& & & & {P}_{{M}_{6}}& & & & & & \\ & 1-{P}_{{M}_{6}}-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & {P}_{{M}_{6}}& & & & & \\ & & 1-{P}_{{M}_{6}}& & & & {P}_{{M}_{6}}& & & & \\ & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & & & & \\ & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & & & \\ & & & & & & 1& & & & \\ & & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}& & \\ & & & & & & & & 1& & \\ & & & & & & & & & 1-{P}_{{M}_{8}}& {P}_{{M}_{8}}\\ & & & & & & & & & & 1\end{array}\right] \text{,} \end{array}} $$ (6) -
设初始条件:
$$ \begin{split} & {P_1}(0) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &0 \end{array}} \right] \\& {P_2}(0) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &0 \end{array}} \right] \\& {P_3}(0) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &0 \end{array}} \right] \end{split}$$ (7) 式中,P1(0)为1×18矩阵,P2(0)为1×22矩阵,P3(0)为1×20矩阵。
将初始条件P1(0)、P2(0)、P3(0)与状态转移矩阵A1、A2、A3代入式(1),可得到各个状态随时间变化的失效概率。其中,冗余泵组在双热备用冗余模式下运行失效的发生概率P1(t)为该模式下状态S7~S9、S11~S13、S15~S17的时间函数之和;其在双冷备用冗余模式下运行失效的发生概率P2(t)为该模式下状态S3~S6、S8~S11、S13~S16、S18~S21的时间函数之和;其在冷热备用冗余模式下运行失效的发生概率P3(t)为该模式下状态S5~S7、S9~S11、S13~S15、S17~S19的时间函数之和。
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本文以压水堆核电厂RCV系统上充回路上充泵为例,运用上文构建的冗余泵组数字化控制系统可靠性模型,结合上充泵的运行方式[14]和上充泵数字化控制的逻辑[8],对RCV系统上充泵数字化控制的可靠性进行评估。
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假定设备失效率为常数,如果计算使命时间内设备的不可靠性,则对于i部件的故障概率公式[2]为
$$ P(t) = 1 - {{\text{e}}^{ - {\lambda _i}t}} \text{,} $$ (8) 式中:λi表示i部件的失效率。设备的可靠度公式[2]为
$$ R(t) = 1 - P(t) 。 $$ (9) -
本文对RCV系统上充泵数字化控制可靠性的分析中,考虑了三台上充泵的动态特性,相较于未考虑上充泵冷、热备用的系统静态故障树的可靠性分析,动态故障树对系统的可靠性分析更符合核电厂的实际情况。以下定量分析上充泵数字化控制在不同冗余模式下的可靠度。
基本事件失效率列于表4,其中各控制柜的失效率参考了文献[3]中机柜代表单元内含模块的数量及其失效率。
表 4 基本事件失效率
将表4的失效率和式(8)代入式(2)、式(3)中,得到静态子树M2、M5~M8、M12~M15的发生概率函数如下:
$$ \begin{split} & {P_{{M_2}}} = {P_{{M_6}}} = {P_{{M_8}}} = 1 - {{\rm e}^{ - ({\lambda _1} + {\lambda _2})t}} \text{,} \\& {P_{{M_5}}} = {P_{{M_7}}} = {P_{{M_{12}}}} = {P_{{M_{14}}}} = 1 - {{\rm e}^{ - ({\lambda _2} + {\lambda _3} + {\lambda _4})t}} \text{,} \\& {P_{{M_{13}}}} = {P_{{M_{15}}}} = 1 - {{\rm e}^{ - ({\lambda _3} + {\lambda _4})t}}。 \end{split}$$ (10) 将式(10)代入状态转移矩阵A1、A2、A3,可得到上充泵在三种冗余模式下运行失效的发生概率P1(t)、P2(t)、P3(t),再利用式(9)可求出上充泵在三种冗余模式下的可靠度R1(t)、R2(t)、R3(t)随时间变化的曲线,如图14所示。可观察到在0~200 000 h运行时间内,上充泵数字化控制在三种冗余模式下的可靠度有明显区别,且在双热备用冗余模式下的可靠度最高;在200 000~600 000 h运行时间内,该控制在三种冗余模式下的可靠度区别不明显,说明模型对于此段运行时间内不同冗余模式下控制可靠度的区分度较低,仍有改进空间。
Research on Digital Control Reliability of Pump Groups Under Different Redundancy Modes
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摘要: 冗余泵组广泛存在于核电厂各关键部分,对于核电安全方面极为重要。为提高其可靠性,对冗余泵组数字化控制在不同冗余模式下的可靠性进行建模并比较分析。首先根据冗余泵组数字化控制系统在三种冗余模式下不同的运行和控制逻辑建立泵组失效的动态故障树模型。其次,采用最小割集法并建立Markov模型得到三种模式下动态故障树的求解方式。最后,以核电厂RCV系统上充泵数字化控制系统为例,对其在三种冗余模式下的可靠性进行定量分析。研究结果表明:在正常运行工况下,上充泵数字化控制的双热备用冗余模式可靠性为三者最高,冷热备用冗余模式的可靠性居中,双冷备用冗余模式的可靠性最低。本文的研究可以为提高冗余泵组数字化控制的可靠性提供参考。Abstract: Redundant pump groups are widely used in various critical parts of nuclear power plants and play a vital role in ensuring nuclear safety. To enhance their reliability, this study models and analyzes the reliability of digital control of redundant pump groups under different redundancy modes. Firstly, a dynamic fault tree model of pump group failure is established based on the different operation and control logic of the digital control system for redundant pump groups under three redundancy modes. Secondly, the minimum cut-set method is employed, and a Markov model is constructed to obtain the solution approach for the dynamic fault tree under three modes. Finally, taking the digital control system for charging pumps in the RCV system of a nuclear power plant as a case study, the reliability of the system is quantitatively analyzed under the three redundancy modes. The research results indicate that, under normal operating conditions, the double hot standby redundancy mode exhibits the highest reliability for the digital control of charging pumps, followed by the cold-hot standby redundancy mode, while the double cold standby redundancy mode shows the lowest reliability. The present study provides valuable insights for improving the reliability of digital control for redundant pump groups.
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Key words:
- redundant pump group /
- digital control system /
- reliability /
- dynamic fault tree /
- Markov model
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表 1 双热备用冗余模式下Markov链中各状态说明
状态 002PO 003PO(热备用) 001PO(热备用) S0 运行正常 未切换/运行正常 未切换/运行正常 S1 运行正常 未切换/运行正常 未切换/运行失效 S2 运行正常 未切换/运行失效 未切换/运行正常 S3 运行正常 未切换/运行失效 未切换/运行失效 S4 运行失效 切换成功/运行正常 未切换/运行正常 S5 运行失效 切换成功/运行正常 未切换/运行失效 S6 运行失效 切换成功/运行失效 切换成功/运行正常 S7 运行失效 切换成功/运行失效 切换成功/运行失效 S8 运行失效 切换成功/运行失效 切换失效/运行正常 S9 运行失效 切换成功/运行失效 切换失效/运行失效 S10 运行失效 切换失效/运行正常 切换成功/运行正常 S11 运行失效 切换失效/运行正常 切换成功/运行失效 S12 运行失效 切换失效/运行正常 切换失效/运行正常 S13 运行失效 切换失效/运行正常 切换失效/运行失效 S14 运行失效 切换失效/运行失效 切换成功/运行正常 S15 运行失效 切换失效/运行失效 切换成功/运行失效 S16 运行失效 切换失效/运行失效 切换失效/运行正常 S17 运行失效 切换失效/运行失效 切换失效/运行失效 表 2 双冷备用冗余模式下Markov链中各状态说明
状态 002PO 003PO(冷备用) 001PO(冷备用) S0 运行正常 未启动/未切换/未运行 未启动/未切换/未运行 S1 运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 未启动/未切换/未运行 S2 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 S3 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 S4 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 S5 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 S6 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 启动失效/未切换/未运行 S7 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动成功/切换成功/运行正常 S8 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动成功/切换成功/运行失效 S9 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动成功/切换失效/运行正常 S10 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动成功/切换失效/运行失效 S11 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 启动失效/未切换/未运行 S12 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 S13 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 S14 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 S15 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 S16 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 启动失效/未切换/未运行 S17 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动成功/切换成功/运行正常 S18 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动成功/切换成功/运行失效 S19 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动成功/切换失效/运行正常 S20 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动成功/切换失效/运行失效 S21 运行失效 启动失效/未切换/未运行 启动失效/未切换/未运行 表 3 冷热备用冗余模式下Markov链中各状态说明
状态 002PO 003PO(冷备用) 001PO(热备用) S0 运行正常 未启动/未切换/未运行 未切换/运行正常 S1 运行正常 未启动/未切换/未运行 未切换/运行失效 S2 运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 未切换/运行正常 S3 运行失效 启动成功/切换成功/运行正常 未切换/运行失效 S4 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 切换成功/运行正常 S5 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 切换成功/运行失效 S6 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 切换失效/运行正常 S7 运行失效 启动成功/切换成功/运行失效 切换失效/运行失效 S8 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 切换成功/运行正常 S9 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 切换成功/运行失效 S10 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 切换失效/运行正常 S11 运行失效 启动成功/切换失效/运行正常 切换失效/运行失效 S12 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 切换成功/运行正常 S13 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 切换成功/运行失效 S14 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 切换失效/运行正常 S15 运行失效 启动成功/切换失效/运行失效 切换失效/运行失效 S16 运行失效 启动失效/未切换/未运行 切换成功/运行正常 S17 运行失效 启动失效/未切换/未运行 切换成功/运行失效 S18 运行失效 启动失效/未切换/未运行 切换失效/运行正常 S19 运行失效 启动失效/未切换/未运行 切换失效/运行失效 -
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