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为了在相对论框架下用CMR方法研究形变核33Mg的结构和性质,在本小节中将介绍其理论形式。核子运动的Dirac方程为
$$ [\boldsymbol \alpha \boldsymbol\cdot \boldsymbol p + V(\boldsymbol r) + \beta (M + S(\boldsymbol r))]\psi (\boldsymbol r) = \varepsilon \psi (\boldsymbol r) , $$ (1) 式(1)中
$\boldsymbol \alpha$ 和β是Dirac矩阵,M和$\boldsymbol P$ 分别代表核子的质量和动量,$ \psi $ 为波函数。在Dirac方程中引入四级形变,矢量势$V(\boldsymbol r)$ 和标量势$S(\boldsymbol r)$ 写成如下形式:$$ \begin{split} & V(\boldsymbol r) = {V_0}f(r) - {\beta _2}{V_0}K(r){Y_{20}}(\vartheta ,\varphi ), \\ & S(\boldsymbol r) = {S_0}f(r) - {\beta _2}{S_0}K(r){Y_{20}}(\vartheta ,\varphi ), \end{split} $$ (2) 径向函数f(r)和K(r)采用Woods-Saxon形式
$ f(r) = \frac{1}{{1 + \exp [(r - R)/a]}} $ 和$ K(r) = \frac{{r{\text{d}}f(r)}}{{{\text{d}}r}} $ 。为了得到式(2)中势的共振态,在复动量表象中求解Dirac方程:$$ \int {{\text{d}}{{\boldsymbol k}^{'}}\left\langle {\boldsymbol k\left| H \right|{{\boldsymbol k}^{'}}} \right\rangle } \psi ({\boldsymbol k^{'}}) = \varepsilon \psi (\boldsymbol k) , $$ (3) 这里
$H = \boldsymbol \alpha \boldsymbol\cdot \boldsymbol p + V(\boldsymbol r) + \beta (M + S(\boldsymbol r))$ ,$\psi (\boldsymbol k)$ 是动量空间的波函数。为了求解形变系统的Dirac方程式(3),采用耦合通道法,把波函数$\psi (\boldsymbol k)$ 展开为$$ \psi (\boldsymbol k) = {\psi _{{m_j}}}(\boldsymbol k) = \sum\limits_{lj} {\left( \begin{gathered} {f^{lj}}(k){\phi _{lj{m_j}}}({\Omega _k}) \\ {g^{lj}}(k){\phi _{\tilde lj{m_j}}}({\Omega _k}) \\ \end{gathered} \right)} , $$ (4) 角向部分波函数是二维旋量,
${\phi _{ljm_j}}({\Omega _k}) = \sum\limits_{{m_s}} {\left\langle {\left. {lm\frac{1}{2}{m_s}} \right|j{m_j}} \right\rangle } {Y_{lm}}({\Omega _k}){\chi _{{m_s}}}$ 。Dirac旋量的大小旋量分别用轨道量子数$ l $ ,$ \tilde l $ 来表示,两个量子数和总角动量之间的关系为$ \tilde l = 2j - l $ 。需要强调的是,对于轴对称形变系统,总角动量$ {m_j} $ 的第三分量和宇称$ \pi $ 都是好量子数。将式(4)的波函数带入式(3)中,即可得到耦合道Dirac方程:$$ \begin{array}{l} M{f^{lj}}(k) - k{g^{lj}}(k) + \\ \qquad \sum\limits_{{l^`}{j^`}} {\int {{k^{'2}}} } {\text{d}}{k^{'}}{V^ + }({l^{'}},{j^{'}},p,q,l,j,{m_j},k,{k^{'}}){f^{{l^{'}}j}}^{'}({k^{'}}) = \varepsilon {f^{lj}}(k), \\ - k{f^{lj}}(k) - M{g^{lj}}(k) +\\ \qquad \sum\limits_{{l^`}{j^`}} {\int {{k^{'2}}} } {\text{d}}{k^{'}}{V^ - }({{\tilde l}^{'}},{j^{'}},p,q,\tilde l,j,{m_j},k,{k^{'}}){g^{{l^{'}}j}}^{'}({k^{'}}) = \varepsilon {g^{lj}}(k), \\[-6pt] \end{array} $$ (5) 其中
$$ \begin{split} {V^ + }({l^{'}},{j^{'}},p,q,&l,j,{m_j},k,{k^{'}}) = {( - 1)^l}{i^{l + {l^{'}}}}\frac{2}{\pi } \int {{r^2}} {\text{d}}r\big[V(r) + S(r)\big] \times \\& {j_l}(kr) {j_{{l^{'}}}}({k^{'}}r) \sum\limits_{{m_s}} {\Big\langle {lm} } \left| {{Y_{pq}}({\Omega _r})} \right| {{l^{'}}{m^{'}}} \Big\rangle \times \\& \Big\langle {lm\frac{1}{2}{m_s}} \Big| {j{m_j}} \Big\rangle\Big\langle {{l^{'}}{m^{'}}\frac{1}{2}{m_s}} \Big| {{j^{'}}{m_j}} \Big\rangle , \\[-14pt] \end{split} $$ (6) $$ \begin{split} {V^ - }({{\tilde l}^{'}},{j^{'}},p,& q,\tilde l,j,{m_j},k,{k^{'}}) = {( - 1)^{\tilde l}}{i^{\tilde l + {{\tilde l}^{'}}}}\frac{2}{\pi }\int {{r^2}} {\text{d}}r\big[V(r) - S(r)\big]\times \\& {j_{\tilde l}}(kr){j_{{{\tilde l}^{'}}}}({k^{'}}r) \sum\limits_{{m_s}} {\left\langle {\tilde l\tilde m} \right.} \left| {{Y_{pq}}({\Omega _r})} \right|\left. {{{\tilde l}^{'}}{{\tilde m}^{'}}} \right\rangle \times \\& \Big\langle {\tilde l\tilde m\frac{1}{2}{m_s}} \Big| {j{m_j}} \Big\rangle \Big\langle {{{\tilde l}^{'}}{{\tilde m}^{'}}\frac{1}{2}{m_s}} \Big| {{j^{'}}{m_j}} \Big\rangle , \\[-14pt] \end{split}$$ (7) 式(6)中的V+S和式(7)中的V-S分别代表平均势场Σ和Δ。在复动量空间中求解方程式(5),可以同时得到束缚态和共振态。详情见参考文献[31]。在坐标表示中,波函数的上下分量可以通过以下公式计算:
$$ \begin{split} & {f^l}^j(r) = {i^l}\sqrt {\frac{2}{\pi }} \sum\limits_a {\sqrt {{w_a}} {k_a}} {j_l}({k_a}r){{\boldsymbol f}^{lj}}({k_a}), \\& {g^l}^j(r) = {i^{\tilde l}}\sqrt {\frac{2}{\pi }} \sum\limits_a {\sqrt {{w_a}} {k_a}} {j_{\tilde l}}({k_a}r){{\boldsymbol g}^{lj}}({k_a}) 。 \end{split} $$ (8) -
本工作在相对论框架下采用CMR方法来研究33Mg的基态性质。在不丢失一般性的情况下,采用以下形式的Woods-Saxon势:
$$ V(r) = \frac{{{V_0}}}{{1 + [{\rm exp}\left( {r - R} \right)/a]}}, $$ (9) 式中:V0, a和R分别为势阱深度、扩散系数和势场的范围。在式(5)中,Σ势场有三个参数,Δ势场有三个参数,类似于文献[32-33],Σ势场和Δ势场中的a和R被设定为相同值。这些参数的初始值是通过拟合33Mg中相对论平均场(Relativistic Mean-Field, RMF)计算的平均场确定的。它们分别是:Δ0=712 MeV,Σ0=−65.9 MeV,R=3.68 fm和a=0.66 fm。
确定这些参数后,在复动量空间中求解Dirac方程式(5)。CMR方法获得的共振态的能量和宽度与其它方法相比,虽然结果相似,但CMR方法能够统一处理束缚态、共振态和连续谱,而且能够很好地描述窄共振和宽共振[27]。我们可以准确得到不同形变时33Mg所有束缚态和共振态单粒子能量,这对分析单粒子能级占据情况以及基态性质有着至关重要的作用。遗憾的是,本工作尚不能计算得到基态的能量,这是由于将CMR方法应用到描述形变核的RMF理论框架,并自洽考虑原子核的形变、对关联、连续谱的贡献,探索统一描述轴对称形变核的RMF-CMR理论还未完全建立。
在图1中展示了在形变参数为−0.4≤β2≤0.6时,33Mg所有相关的单粒子能量随形变参数β2的变化情况。在图中可以清晰地观察到每个单粒子能级的位置,有利于观察能级反转现象。图中的实线代表正宇称能级,虚线代表负宇称能级。从图1中可以得到,在β2=0(球形核)时,1d3/2壳层以下的能级排序与标准壳层的能级排序是一样的。但是,位于1d3/2壳层上面的fp壳层,与标准壳层的排序不同,其中2p3/2壳层的能量为0.28 MeV,1f7/2壳层的能量为0.37 MeV,2p3/2壳层反转到了1f7/2 壳层的下面,使2p2/3壳层更靠近阈值。这表明2p3/2壳层的降低有可能会影响33Mg的基态宇称。当β2=0(球形核)时,从图1中可以看到,33Mg的最后一个价中子占据在2p3/2壳层上,并有效的给出一个负宇称基态。但由于33Mg是反转岛区域内的原子核,这类原子核通常具有反常大形变的性质[3, 34],那么33Mg更可能是一个形变核。
当系统的球对称性被打破(β2≠0)时,各个壳层分别分裂出它们的Nilsson轨道。1d3/2壳层分裂成1/2[211]和3/2[202]轨道,2p3/2壳层分裂成1/2[310]和3/2[301]轨道,2p1/2壳层分裂成1/2[301]轨道,1f7/2 壳层分裂成1/2[330]、3/2[321]、5/2[312]和7/2[303]轨道。在图1中用不同颜色的“21”对应在每个形变区间下,33Mg的第21个中子即最后一个价中子占据的轨道。从图1中可以看到,当形变参数为−0.4≤β2≤−0.33、−0.33≤β2≤0、0≤β2≤0.38、0.38≤β2≤0.49、0.49≤β2≤0.55、0.55≤β2≤0.6时,最后一个价中子分别占据在单粒子轨道1/2[211]、7/2[303]、1/2[310]、3/2[202]、3/2[321]、1/2[211]上。当β2<0(扁椭形)时,33Mg的最后一个价中子可能占据在单粒子轨道1/2[211]和7/2[303]上,从文献[11-13]中可知,实验上已经得出了33Mg的自旋宇称为3/2−,所以33Mg的最后一个价中子不会占据在1/2[211]和7/2[303]这两个轨道上。当β2>0(长椭形)时,33Mg的最后一个价中子可能占据在单粒子轨道1/2[310]、3/2[202]、3/2[321]、1/2[211]上,和β2<0(扁椭形)时的情况一样,由于我们已经得知33Mg基态的自旋宇称为3/2−,那么33Mg基态的最后一个价中子不会占据在1/2[310]、3/2[202]、1/2[211]这三个轨道上。而单粒子轨道3/2[321]符合实验得到的自旋宇称。综上所述,33Mg的最后一个价中子最合适占据的轨道是3/2[321]。这一结果表明33Mg的基态宇称主要来自1f7/2壳层分裂出的3/2[321]轨道。从图1中可以看到,当33Mg的最后一个价中子占据在轨道3/2[321]上时,对应的形变参数为0.49≤β2≤0.55,由此推测33Mg的形变参数大约处于0.49与0.55之间。从实验上得知33Mg的附近同位素28Mg, 30Mg, 32Mg和34Mg的形变值分别为0.484 2, 0.413, 0.515和0.556[35],因此33Mg也可能具有较大的长椭形变,同时印证了反转岛核具有大形变的明显特征。
值得注意的是,我们通过计算得到了33Mg所有束缚态和共振态单粒子能级的能量,同时绘制出Nilsson能级图。球形时,我们观察到1f7/2和2p3/2发生了能级反转,此时在β2>0的情况,2p3/2分裂出的Nilsson轨道很自然地反转到了1f7/2分裂出的Nilsson轨道下方,从而影响最后一个核子占据的轨道。需要强调的是,33Mg是N=20反转岛区域内具有较大形变的原子核,对于形变核,当 |β| 从零开始增加时,最后填充的主壳中大多数单粒子能级的能量下降[36]。即使球形时1f7/2和2p3/2没有发生了能级反转,随着β2的增加,1f7/2分裂出的3/2[321]轨道也会下降,N=20的闭壳层消失。通过分析,同样可以得出33Mg具有大形变的3/2-基态。
通过以上的分析已经确定了33Mg的最后一个价中子占据在单粒子轨道3/2[321]上。通过计算单粒子态主要组分的占比
$ {p^{{m_j}}} $ 来评估Nilsson轨道${\psi _{{m_j}}}(\boldsymbol k)$ 中每个单粒子态$\psi (\boldsymbol k)$ 的权重[37]。即$$ {P^{{m_j}}} = {Re} \left( {\int {\sum\limits_{lj} {[{f^{lj}}(k){f^{lj}}(k) + {g^{lj}}(k){g^{lj}}(k)]{k^2}{\text{d}}k} } } \right) 。 $$ (10) 在图2中给出了由1f7/2壳层分裂而成的3/2[321]轨道主要组分的占比
$ {p^{{m_j}}} $ 。从图中可以看到,在β2=0时,f7/2分量占据着3/2[321]轨道的主导地位。但随着形变参数β2的增加,f7/2分量的占比逐渐下降,p3/2分量的占比逐渐升高,在β2=0.08时,p3/2分量的占比超过了f7/2分量的占比。在0.49≤β2≤0.55处,p3/2的占比达到了73%。这表明由1f7/2壳层分裂而成的3/2[321]轨道逐渐被p3/2壳层占据,并且入侵能级p3/2最终占据了3/2[321]轨道的主导地位。由上述分析可知,3/2[321]轨道在β2=0.5附近的主要组分为p3/2,这为形成晕现象提供了有利条件[38]。为了进一步判断33Mg中是否存在晕,我们画出了3/2[321]轨道的径向密度分布。图3显示了在β2=0.5时3/2[321]能级的径向密度分布,为了更好地观察结果,我们也画出了相邻两个能级1/2[211]和1/2[310]的径向密度分布。从图中可以看到,在β2=0.5时,能级3/2[321]的径向密度分布与相邻的两个能级相比弥散程度有限,相对比较集中。如果一个原子核是晕核,那么它最外层价核子的结合能非常小,原子核的密度分布比较弥散。同时,对于33Mg,我们看到3/2[321]轨道在β2=0.5附近的能量过于束缚。由此可以推测33Mg可能不存在晕的奇特结构。
最终,通过分析得出了33Mg基态宇称主要来自由1f7/2壳层分裂而成的3/2[321]轨道。该轨道在0.49≤β2≤0.55时,入侵能级p3/2占据着3/2[321]轨道的主导地位。由于能级3/2[321]的径向密度分布相对比较集中,则33Mg可能不是一个晕核。同时,可以预测出33Mg具有大的长椭形变,形变大约处于0.49与0.55之间。
Study on 'Island of Inversion' Nucleus 33Mg Ground State Properties by Complex Momentum Representation Method
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摘要: 反转岛内原子核奇特结构的研究一直是现代核物理学研究的热点。应用复动量表象(CMR)方法来研究原子核的共振态,计算了33Mg束缚态和共振态的单粒子能量及其随形变参数β2的变化情况。在最后一个价中子占据的能级上检验了主要构型的占据几率,并计算其径向密度分布。结果表明,33Mg的基态发生了单粒子能级的p-f反转,其最后一个价中子占据在入侵的能级上。同时,预测了33Mg的形变区间处于0.49与0.55之间,这一预测结果与33Mg附近同位素的形变值相近。Abstract: The study of the exotic structure of nuclei in the island of inversion has always been a hot topic in modern nuclear physics. In this paper, we apply the Complex Momentum Representation(CMR) method to study the resonant states of nuclei. We calculate the single particle bound and resonant energies of 33Mg and their variation with the deformation parameter β2. The occupancy probabilities of the main configurations are tested at the energy level occupied by the last valence neutron and the radial density distributions are calculated. The results show that the ground state of 33Mg has undergone a p-f inversion of the single particle level, and its last valence neutron occupies the intruder energy level. Meanwhile, the deformation range of 33Mg is about 0.49≤β2≤0.55, which is similar to the deformation values of isotopes around 33Mg.
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