Study on Halo Phenomenon in Exotic Nuclei by Complex Momentum Representation Method

近年来，随着放射性核束技术的快速发展，远离β稳定线的奇特原子核的结构引起了人们的普遍关注。在这些奇特原子核中，呈现出许多新的现象，如晕(皮)、集团自组织、非线性多中子关联、连续态耦合、能级反转、幻数移动等新物理现象。自从1985年Tanihata等^[1]第一次发现¹¹Li中的晕现象以来，奇特核的研究引起了广泛关注，核实验及理论工作者就此做了大量的研究^[2-6]。近期，文献[7]利用形变的相对论Hartree-Bogoliubov模型探讨了²²C中晕的形成、形变效应、能级反转以及壳层的演化。

由于奇特核的中子或质子费米面非常接近零势能面，连续阈附近弱束缚和非束缚态的贡献变得十分重要。恰当地处理连续阈附近弱束缚和非束缚态的贡献，尤其是连续谱中共振态的贡献，是一个理论能否成功描述奇特核的关键^[6]。因此，物理学家们已经发展了很多研究单粒子共振态的方法，包括散射相移方法^[8]、Jost 函数方法^[9-10]、格林函数方法^[11-12]、耦合常数解析延拓方法^[13-15]、实稳定化方法^[16-17]以及复标度方法^[18-19]。这些理论方法在描述奇特核方面取得了一定成功，但仍存在缺陷。因此，我们建立了复动量 (CMR) 表象方法^[20]，采用CMR方法，不仅能够统一描述束缚态、共振态和连续谱，而且能够很好地描述窄共振和宽共振^[21]。最近，我们进一步发展了复动量表象(CMR)方法，获得了其它方法难以获得的连续阈附近低轨道角动量宽共振的信息。并且在非相对论框架下采用CMR方法计算得到单粒子能量、单粒子态的主要组分占比随四极形变系数β₂变化的关系以及径向密度分布等，解释了实验上已经发现的³¹Ne^[22]和¹⁹C^[23]中的晕现象，还预测了几个比³⁷Mg^[24]更重的核(⁷⁷Fe、⁷⁵Cr和⁵³Ar)中也存在不同的晕结构。

为了研究晕核的单粒子共振态，我们首先将哈密顿量表示为

这里动量算符$T = {{{{{p}}^2}} / {2m}}$，其中，${{p}} = \hbar {{k}}$(${{k}}$是波矢)，根据文献[25]，相互作用势V由中心势、形变势以及自旋轨道耦合势三部分组成：

上式中$\Lambda $是核子的约化康普顿波长${\hbar / {{m_r}}}c$,

和文献[26]类似，参数$a\!=\!0.67\;{\rm{fm}}$，$R\!=\!{r_0}{A^{{1 / 3}}}$，${r_0}\!=\! $$1.27\;{\rm{fm}}$。

为了获得共振态，我们将薛定谔方程转到动量空间，可以同时得到束缚态、共振态和连续谱：

对于轴对称形变核，宇称$\pi $以及总角动量的第三个分量是个好量子数，动量波函数$\psi ({{k}})$用径向和角向部分来表达，故

这里${f^{lj}}(k)$是波函数的径向分量。波函数的角向部分表示为

将上述的波函数代入薛定谔方程，我们可以得到：

式(6)中的矩阵是不对称的，为了简便计算，我们变为对称矩阵

至此，通过求解对称矩阵的本征解就可以解出薛定谔方程，获得束缚态和共振态的能量，为了获得坐标空间波函数，做如下变换：

假设${\psi _{{m_j}}}({{k}})$具有如下形式

则得到波函数的径向部分

和径向密度分布

基于上面的理论公式，我们对³¹Ne进行了计算^[22]。值得指出的是，2012年文献[27]采用复标度方法对³¹Ne进行过研究，2014年文献[15]在相对论平均场框架下采用耦合常数的解析延拓方法亦对³¹Ne中的晕现象进行了深入的研究。在图1中我们展示了采用CMR方法计算得到的³¹Ne单粒子能量随四极形变参数β₂的变化情况，在该Nilsson能级图中共振态和束缚态分别用虚线和实线标记，β₂=0代表球形核。

我们可以看到所有的束缚态和文献[26]完全相同。对于共振态，在散射相移计算^[26]中只得到1f_7/2能级，在复标度计算^[27]中得到了1f_7/2, 1f_5/2和1g_9/2等共振能级，却仍未得到能级2p_3/2, 2p_1/2和2d_5/2。在CMR模型的计算结果下，我们可以看到，当β₂=0时，共振能级2p_3/2，2p_1/2和2d_5/2的顺序排列与我们所熟知的壳模型结构顺序不同，即产生了p-f反转。核的能级次序与晕态的形成有关，晕态的形成使弱束缚态核子的低轨道角动量降低，形成能级反转。遗憾的是，1/2[301]和5/2[402]轨道由于计算数值的不收敛导致轨道反常增高。由于能级发生了反转，使得³¹Ne的最后一个中子占据在p轨道上，满足了晕形成的必要条件之一。当β₂不等于0的时候，可以看到³¹Ne的第21个中子在不同的形变范围下分别占据不同的能级。考虑到单中子分离能的实验值，我们发现，³¹Ne的第21个中子在0.20$\leqslant $β₂$\leqslant $0.29和0.40$\leqslant $β₂$\leqslant $0.59时分别占据在3/2[321]以及1/2[310]能级。

为了进一步确定³¹Ne是否为晕核，我们画出了单粒子态1/2[310]和3/2[321]的主要组分占比与形变参数的关系。由图2可知，1/2[310]能级的波函数主要是由p_3/2轨道贡献的，其占据几率高达64%。在图3中可以明显地观察到能级3/2[321]主要是由f_7/2和p_3/2轨道构成，p_3/2轨道贡献依然很大。晕结构是由于具有较低分离能的价核子占据在l=0或l=1的轨道形成的，所以当价核子占据在能级1/2[310]和3/2[321]可能会形成晕。

在图4中我们还展示了坐标空间内不同积分路径下单粒子态1/2[310]的径向密度分布随半径的变化曲线。路径1代表k=0.0 fm^–1，k=0.5–i0.2 fm^–1，k=1.0 fm^–1，k=3.0 fm^–1四点构成的三角形路径。路径2代表k=0.0 fm^–1，k=0.2–i0.6 fm^–1，k=1.0 fm^–1，k=3.0 fm^–1四点构成的三角形路径。路径3代表k=0.0 fm^–1，k=0.5–i0.6 fm^–1，k=1.0 fm^–1，k=3.0 fm^–1四点构成的三角形路径。路径4代表k=0.0 fm^–1，k=0.8–i0.6 fm^–1，k=1.0 fm^–1，k=3.0 fm^–1四点构成的三角形路径。我们观察到，径向密度分布并不依赖于计算过程中的积分路径。考虑到³¹Ne的第21个中子在0.40$\leqslant $β₂$\leqslant $0.59时占据1/2[310]能级，因此，单粒子态1/2[310]的形变参数β₂定为0.25。我们发现此时的1/2[310]的径向密度分布较为弥散，这说明当最后一个粒子占据1/2[310]时，晕现象的出现是合理的。而单粒子态3/2[321]的径向密度也有类似的性质，详情可参看文献[22]。综上所得，³¹Ne可能是0.20$\leqslant $β₂$\leqslant $0.29或0.40$\leqslant $β₂$\leqslant $0.59的形变p波晕核。

采用上述分析方法，我们也研究了丰中子核¹⁹C，得到束缚态及共振态的能量随形变参数的变化关系、单粒子态主要组分的占比、密度分布及单中子分离能，结果表明¹⁹C的最后一个中子最有可能占据在0.20$\leqslant $β₂$\leqslant $0.40时的1/2 [211]能级。另外我们还在图5中展示了¹⁹C 中1/2 [211], 5/2[202], 1/2[220]能级的均方根半径随形变参数β₂的变化情况。从图5我们发现1/2 [211]的方均根半径随着形变参数β₂的变大略有降低，但在0.20$\leqslant $β₂$\leqslant $0.40形变范围内，其值均超过6.49 fm，远大于相邻能级方均根半径。综合考虑，¹⁹C最有可能是个β₂介于0.2与0.4之间的长椭形变s波晕核，这与实验结果以及其它理论方法计算的结果相吻合。详细分析过程参考文献[23]。

目前，³⁷Mg是实验上发现的最重的晕核，预测比³⁷Mg更重的晕核得到了很多核理论工作者的关注。文献[28] 将坐标空间的对关联引入到相对论Hartree-Bogoliubov (RHB)计算，在计算中考虑连续谱的贡献，预言在Zr同位素中子滴线附近存在巨晕现象。文献[29]利用Woods-Saxon基发展了考虑连续谱贡献的形变RHB模型，很好地描述了形变晕等奇特现象，并预言了晕与核芯的形状退耦现象^[29-30]。和稳定核相比，我们知道晕核具有一些特点，如：较大的物质均方根半径，较弥散的密度分布，离心势垒较低，价核子具有较小的分离能，反应总截面较大等。结合单中子分离能的实验结果进行分析，可以在核素图上寻找单中子分离能较小的丰中子核。然后通过详尽分析寻找可能存在的中子晕核。通过初步分析，我们发现⁷⁷Fe、⁷⁵Cr和⁵³Ar这三个原子核具备晕核的一些特征。

为了确定⁷⁷Fe到底是不是晕核？我们经过计算得到了⁷⁷Fe的Nillison能级图、单粒子态主要组分的占比和能级密度分布。从实验数据推测，⁷⁷Fe的单中子分离能较小。另外根据图6，最后一个(第51个)中子占据在N=50(幻数)的壳的上方。这些让我们判定⁷⁷Fe是个较好的候选晕核。而通过详尽分析，我们发现当-0.06$\leqslant $β₂$\leqslant $0.13时，最后一个中子占据1/2[400]，单中子分离能小于1.0 MeV，满足晕形成的条件。另外从图7中可以看见，与相邻束缚态9/2[404]和7/2 [413]比较，1/2[400]的径向密度更为弥散。这表明当价核子占据弱束缚能级1/2[400]时，晕的形成是很有可能的。而在其它形变区间，由于各种各样的原因，譬如说：分离能过大，单粒子能级主要组分轨道角动量较大，单粒子态的密度分布收敛较快等，不能满足晕的形成条件。

⁷⁵Cr和⁷⁷Fe相比只是少了两个质子，它们之间的能级结构很相似。⁷⁵Cr的最后一个中子在–0.12$\leqslant $β₂$\leqslant $0.12范围内是占据在能级1/2[400]上的。我们分析⁷⁵Cr可能是一个s波晕核。对于⁵³Ar而言，在0$\leqslant $β₂$\leqslant $0.13时，最后一个中子占据1/2[321]，单中子分离能小于1.0 MeV，满足晕形成的条件。而在其它形变区间，因为种种原因，不能满足晕的形成条件。更为细节的分析过程，可以参考文献[24]。

本文概述了采用复动量表象方法(CMR)方法对共振态的研究。给出了详细理论公式，计算获得了³¹Ne、¹⁹C以及比³⁷Mg更重的核(⁷⁷Fe、⁷⁵Cr和⁵³Ar)的单粒子能级图，以及单粒子态主要组分的占比随形变参数β₂变化的曲线以及径向密度分布。揭示了³¹Ne和¹⁹C晕形成的物理机制，预测了比³⁷Mg更重的核(⁷⁷Fe、⁷⁵Cr和⁵³Ar)可能形成的晕结构。³¹Ne最后一个中子在0.20$\leqslant $β₂$\leqslant $0.29或0.40$\leqslant $β₂$\leqslant $0.59区间内是占据在1/2[310]能级或3/2 [321]能级上，支持p波晕的形成。在¹⁹C最后一个中子在0.2$\leqslant $β₂$\leqslant $0.4形变范围内是占据在1/2[211]能级上的，从能级成分占比可以判定其为s波晕。接下来，还预测⁷⁷Fe、⁷⁵Cr和⁵³Ar可能存在的晕结构。得到⁷⁷Fe(⁷⁵Cr)可能是在–0.06$\leqslant $β₂$\leqslant $0.13(–0.12$\leqslant $β₂$\leqslant $0.12)的s波晕核，而⁵³Ar可能是0.09$\leqslant $β₂$\leqslant $0.13的p波晕核。这一预测对在实验中寻找较重的晕核具有一定的参考价值。

下一步，我们计划发展原子核中的协变密度泛函理论(CDFT)，将CMR和CDFT结合，建立统一描述束缚态、共振态和连续谱的CDFT-CMR理论，研究原子核的单粒子运动，获得单粒子共振态的信息，揭示奇特核的壳层结构及其演化规律；进一步考虑对关联，考虑束缚态和共振态的耦合，探索形变、对关联、共振态及其与束缚态的耦合在奇特现象的形成中所扮演的角色，弄清晕、能级反转、幻数移动等奇特现象的物理机制。