Study of α Decay and Proton Radioactivity Half-lives Based on Improved Gamow-like Model

1899年，Rutherford首次观测到了原子核的$ {\alpha} $衰变现象。1970年，Jackson等^[1]首次观测到了原子核的质子放射现象。自这两种衰变现象被发现以来，人们在理论和实验方面对它们进行了深入的研究。例如研究不同同位素链或者壳附近的$ {\alpha} $衰变半衰期^[2-7]、$ {\alpha} $衰变能^[8-10]、超重核与新元素的$ {\alpha} $衰变^[11-13]、丰质子核的$ {\alpha} $衰变与质子放射性之间的竞争^[14]、原子核质子放射性的规律^[15-18]以及在$ ^{151} {\rm{Lu}}$^[19]和$ ^{147} {\rm{Tm}}$^[20]中发现核基态的质子发射。$ {\alpha} $衰变是研究超重核的重要工具，可以提供大量有关超重核的核结构和稳定性的信息^[21]。研究质子发射可以提取有关质子滴线以外的核结构的重要信息，例如壳结构^[22]。如今，有很多用于研究$ {\alpha} $衰变的理论模型、方法以及公式，包括结团模型^[23]，液滴模型^[24]，两势方法^[25]，经验公式^[10]以及其他模型^[26]。也有许多用于研究质子放射衰变的理论模型以及用于构建这些模型的不同形式的相互作用，例如依赖密度的M3Y(DDM3Y)有效相互作用^[27]、折叠势模型^[28]、推广的液滴模型^[29]、Yukawa形式的有限范围有效相互作用^[30]、R矩阵方法^[31]、Skyrme相互作用^[32]、统一裂变模型^[33]以及其他模型^[34]。这些模型、方法以及公式不同程度地再现了$ {\alpha} $衰变和质子放射半衰期的实验数据。

在原子核放射粒子的过程中，由于电荷的叠加效应，发出的粒子运动会产生磁场，而且原子核的电荷分布不均匀，放射粒子-子核的电势在短距离内表现为库仑电势，而在远距离上呈指数下降，即屏蔽的静电效应^[35]。静电势的这种现象可以用Hulthen势来描述，它广泛用于原子核物理、原子物理、分子物理和固态物理学^[36-37]。最近，Budaca等^[35]使用基于WKB近似的简单模型，比较了被发射的质子-子核库仑势与Hulthen势之间的差异。结果表明，纯库仑势垒和Hulthen势垒的粒子的衰变动能与势能曲线的交点即外转折点之间的差异随着质子数$ Z $的增加而增加。在他们的模型中，只有一个参数$ a $用于描述Hulthen势的静电屏蔽效应。Zdeb等^[38-39]提出了Gamow-like模型，该模型是基于Gamow理论的简单唯象模型，可以用来计算$ {\alpha} $衰变半衰期。在该模型中，核势是方势阱，并忽略了离心势。因为质子放射与$ {\alpha} $衰变有相同的机制，他们还扩展了该模型，用于研究原子核的质子放射现象^[40]。由于使用Gamow-like模型计算的理论半衰期对外转折点的位置敏感，因此获得准确的势能图像对半衰期的计算有很重要的意义。在本工作中，Gamow-like模型中核势被看作为方势阱，离心势对于总的势能图像有比较大的影响，所以为了更准确地计算外转折点的位置，我们考虑了库仑势的屏蔽效应和离心势的影响，改进了Zdeb等^[38]提出的Gamow-like的模型，并使用此模型系统地研究$ {\alpha} $衰变和质子放射半衰期。最新核数据表NUBASE2016^[41]给出了许多原子核质子放射性半衰期，但还有部分原子核已经被证实可以发生质子放射性且它们的质子放射性半衰期的值尚未定量。因此，我们扩展了本模型，预测了16个原子核的质子放射半衰期。此外，在超重核研究领域中，下一个即将合成的新核素为120号元素，为了给超重核的研究提供支持，我们也用此模型预测$ Z = 120 $的七个偶-偶超重核的$ {\alpha} $衰变半衰期，以及这七个偶-偶超重核$ {\alpha} $衰变链中一些未合成的原子核的$ {\alpha} $衰变半衰期。

本文的结构安排如下：第二部分，详细地给出了用于计算$ {\alpha} $衰变以及质子放射的Gamow-like模型理论框架。第三部分，给出了详细的计算结果，并进行讨论和预测。最后的总结在第四节中给出。

在Gamow-like模型中，$ {\alpha} $衰变半衰期和质子放射半衰期可以用衰变常数$ \mathcal{\lambda} $表示^[42-43]

其中$ h $是阻碍因子，用于描述$ {\alpha} $衰变中奇质子和/或奇中子的影响。在原子核的质子放射性中$ h $ = 0，在原子核的$ {\alpha} $衰变中，对于偶-偶核，$ h $ = 0，对于奇-A核，$ h_{\rm{p}} = h_{\rm{n}} = h $，对于奇-奇核，$ h_{\rm{np}} = 2h $，$ h $值通过拟合$ {\alpha} $衰变实验数据与Gamow-like模型计算的$ {\alpha} $衰变理论值得到。衰变常数$ \lambda $可以表示为^[44]

式(2)中的$ P $表示放射的粒子穿过势垒的概率，它通过经典WKB近似计算得出，在Gamow-like模型中具体表示为

这里$ E_{\rm{k}} = Q{\frac{A-A'}{A}} $是放射粒子带走的动能。$ Q $是衰变能量，$ A $和$ A' $分别是母核和放射粒子的质量数。$ b $是外转折点，它满足条件$ V(b) = E_{\rm{k}} $。$\mu = \frac{M_{\rm{d}}M'} {(M_{\rm{d}} + M')}$是折合质量，$ M_ {{\rm{d}}} $和$ M' $是子核和放射粒子的质量。$ V(r) $是放射粒子-子核相互作用的总势能。

一般情况下，放射粒子-子核之间的电势表示为库仑势：

其中$ Z' $和$ Z_{\rm{d}} $是放射粒子和子核的质子数。在考虑静电屏蔽效应后，我们使用Hulthen势来代替这种屏蔽效应的库仑势，它表示为

其中$ a $是静电屏蔽参数。

总的放射粒子-子核相互作用势$ V(r) $由下式给出：

其中$ V_0 $是方势阱的深度。$ V_{\rm{h}}(r) $和$ V_{\rm{l}}(r) $分别表示Hulthen势和离心势。球形方阱半径$ R $等于子核和放射粒子的半径之和，表示为

其中$ A_{\rm{d}} $是子核的质量数，半径常数$ r_{0} $是可调参数。

对于偶偶核基态到基态的$ {\alpha} $衰变，角动量为零，不用考虑离心势的影响，但对于非偶偶核的$ {\alpha} $衰变以及原子核的质子放射性的一维问题，$ l(l +1)\rightarrow(l + 1/2)^2 $是必要的修正^[45]，所以本工作中的离心势$ V_{\rm{l}}(r) $的表达式为

其中$ l $是放射粒子带走的轨道角动量。根据角动量守恒定律和选择定则，可以确定放射粒子带走的最小角动量$ l_{\text {min}} $:

其中$ {\Delta}_j = |j_{\rm{p}}-j_{\rm{d}}| $。$ j_{\rm{p}} $, $ {\pi}_{\rm{p}} $, $ j_{\rm{d}} $, $ {\pi}_{\rm{d}} $分别表示母核和子核的自旋和宇称。

$ \nu $表示放射粒子的碰撞频率，它可以用振荡频率$ \omega $来计算，并表示为^[46]

其中$ R_{\rm{n}} = \sqrt{3/5}R_{0} $是原子核均方根(rms)半径，$ R_0 = 1.28A^{1/3}-0.76+0.8A^{-1/3} $是母核的半径。$ G = 2n_{\rm{r}}+l $是主要量子数，其中$ n_{\rm{r}} $和$ l $分别是径向量子数和角量子数。$ G $的值可以通过下式获得^[47]：

首先，我们根据$ {\alpha} $衰变以及质子放射的一些实验数据拟合出静电屏蔽参数$ a $和半径常数$ r_0 $。半衰期、自旋和宇称的实验数据取自最新核数据表NUBASE2016^[41]，衰变能实验数据取自最新的原子质量表AME2016^[48-49]。对于$ {\alpha} $衰变，在拟合过程中，首先使用169个偶-偶核的实验数据拟合得到$ a^{\alpha} $和$ r^{\alpha}_0 $的值，然后再使用132个奇$ N $偶$ Z $核、94个偶$ N $奇$ Z $核和66个奇-奇核拟合得到$ h $的值，且$ h_{\rm{n}} = h_{\rm{p}} = \frac{1}{2}h_{\rm{np}} = h $。对于质子放射，使用41个质子放射的实验数据拟合得到相应的$ a^{\rm{p}} $和$ r^{\rm{p}}_0 $。拟合的结果如下：

为了直观地给出Hulthen势对外转折点的影响，在图1中，我们描绘了不同的动能$ E_{\rm{k}} $值对应于纯库仑势和Hulthen势的外转折点的值之差，其中$ b_{\rm{c}} $和$ b_{\rm{h}} $分别代表使用纯库仑势和Hulthen势计算的外转折点的值。从该图可以发现，子核的动能越小，质子数越大，纯库仑势和Hulthen势的经典转折点外转折点的值之差就越大。

对于质子发射，由于衰变的质子数据只有41个，所以每一个核使用Hulthen势与库仑势计算的转折点的差值都可以被直接描绘。在图2中，库仑势对应的转折点势$ R_{\rm{out}}^{\rm{C}} $，Hulthen势对应的转折点是$ R_{\rm{out}}^{\rm{H}} $。从图2中可以看出，质子放射性的屏蔽效应相当大。静电排斥的屏蔽将该半径缩短了百分之几。此外，在库仑势的情况下，$ R^{\rm{C}}_{\rm{out}} $是$ Z_{\rm{d}}/Q_{\rm{p}} $的解析函数，因此势垒的差值取决于$ Z_{\rm{d}}/Q_{\rm{p}} $，它在图2中随$ Z_{\rm{d}}/Q_{\rm{p}} $增加。

使用改进的Gamow-like模型，我们系统地计算了偶-偶核，奇-A核，奇-奇核$ {\alpha} $衰变半衰期以及41个原子核的质子放射半衰期。对于原子核的$ {\alpha} $衰变，我们也基于最新的数据重新拟合了原Gamow-like模型，并计算得到了原Gamow-like模型对应的参数$ r^{\alpha'}_0 = 1.2\; \text{fm}, h' = 0.5135 $，计算的详细结果如图3~6所示。图3给出了169个偶-偶核的$ {\alpha} $衰变半衰期的实验数据以及使用Gamow-like和改进的Gamow-like计算的$ {\alpha} $衰变半衰期的理论值。X轴表示原子核质量数，Y轴表示对数形式的$ {\alpha} $衰变半衰期。$ \text{lg}T_{1/2}^{\text{exp}} $代表$ {\alpha} $衰变实验数据的对数形式，$ \text{lg}T_{1/2}^{\text{cal1}} $代表使用改进的Gamow-like计算的$ {\alpha} $衰变半衰期的对数形式，$ \text{lg}T_{1/2}^{\text{cal2}} $代表使用Gamow-like计算的$ {\alpha} $衰变半衰期的对数形式。图4~6分别代表了奇数$ N $偶数$ Z $原子核，偶数$ N $奇数$ Z $原子核和奇-奇核的计算结果。

从图3~6可以看出，相比于原Gamow-like模型，我们的方法与实验数据符合得更好。为了更直观地比较两种模型的差异，我们在表1中给出了$ {\alpha} $衰变理论半衰期和实验数据的标准差$ \sigma = \sqrt{\sum ({\text{lg}{T^{\text{expt}}_{1/2}}}-{\text{lg}{T^{\text{cal}}_{1/2}}})^2/n} $。在表1的第一列中，$ {\pi_\text{z}} $和$ {\pi_{\rm{n}}} $分别表示质子和中子的奇偶性，第二列是相应的原子核总数，第三列与第四列分别表示了改进的Gamow-like模型和Gamow-like模型对应的$ h $值。第五列和第六列分别是改进的Gamow-like模型和Gamow-like模型与实验数据的均方根偏差，其中$ {\text{lg}{T^{\text{cal1}}_{1/2}}} $和$ {\text{lg}{T^{\text{cal2}}_{1/2}}} $与$ {\text{lg} {T^{\text{expt}}_{1/2}}} $之间的标准差用$ \sigma_1 $和$ \sigma_2 $分别表示。通过表1可以看出，对于Gamow-like模型，考虑库仑势的屏蔽效应和离心势可以更好地再现$ \alpha $实验数据。

对于41个质子发射核，我们在表2详细地列出了使用Gamow-like和改进的Gamow-like模型计算得到的计算结果。从表2可以计算得出我们的模型和Gamow-like模型与实验数据的均方根差分别为0.468和0.559，同样地可以看出我们的工作更加符合实验数据。

如今超重核的合成和研究已成为核物理领域的热门话题。作为应用，现在我们将该模型推广到预测$ Z = 120 $的原子核和它们的$ \alpha $衰变链上的一些未合成核的$ \alpha $衰变半衰期，以及16个原子核的放射性半衰期，这些原子核的质子放射性已经被观测到，但尚未准确定量。

对于$ Z = 120 $的偶偶超重核从文献中[50]可以获得这些原子核的$ \alpha $衰变链，即$^{296}120\to^{292}\text{Og}\to^{288}\text{Lv}\to ^{284}\text{Fl}\!\to ^{280}\!\text{Cn}\!\to^{276}\! \text{Ds}\!\to^{272}\!\text{Hs}\!\to^{268}\!\text{Sg}$, $^{298}120\to ^{294}\text{Og}\to ^{290}\text{Lv}\!\to^{286}\!\text{Fl}\!\to^{282}\!\text{Cn}\!\to^{278} \!\text{Ds}\!\to^{274}\!\text{Hs}$, $^{300}120\to^{296}\text{Og}\to ^{292}\text{Lv}\to^{288}\text{Fl}\to^{284}\text{Cn}$, $ ^{302}120\to\!^{298}{\text{Og}}\!\to^{294}\!\text{Lv}\!\to^{290}\!\text{Fl} $, $ ^{304}120\!\to^{300}\!\text{Og}\!\to^{296}\!\text{Lv}\!\to^{294}\!\text{Fl} $, $^{306}120\!\to^{302}\!\text{Og}\!\to ^{298}\!\text{Lv}$, $ ^{308}120\to^{304}\text{Og}\to^{300}\text{Lv} $。在我们先前对超重核的研究中^[51-52]，$ {\alpha} $衰变能是计算$ {\alpha} $衰减半衰期的关键。同时，Sobiczewski^[53]发现，WS3+^[54]计算的$ {\alpha} $衰变能可较好地重现$ {\alpha} $衰变能的实验数据。在本工作中，我们使用来自WS3+的$ {\alpha} $衰变能来计算质子数为$ Z = 120 $的偶-偶核素及其$ \alpha $衰变链的核的$ {\alpha} $衰变半衰期。衰变链有五个已知的原子核的$ \alpha $实验半衰期，即$ ^{294} {\rm{Og}}$, $ ^{290} {\rm{Lv}}$, $ ^{286} {\rm{Fl}}$, $ ^{292} {\rm{Lv}}$和$ ^{288} {\rm{Fl}}$，这些核的数据来自 NUBASE2016^[41]。

作为对比，我们还分别使用库仑势和亲和势模型(CPPM-Bass73)^[55]，Viola-Seaborg-Sobiczewski (VSS)经验公式^[56]，通用曲线(UNIV)^[44]，Royer公式^[57]，通用衰变定律(UDL)^[58]以及Ni-Ren-Dong-Xu(NRDX)经验公式^[59]系统地计算了质子数$ Z = 120 $的偶-偶及其$ {\alpha} $衰变链上的核的$ {\alpha} $衰变半衰期。计算的结果分别列在了表3和表4中，其中能量的单位为MeV，使用库仑势和亲和势模型、VSS经验公式、UNIV、Royer公式、UDL、NRDX经验公式以及改进的Gamow-like模型得到地对数形式的预测结果分别用$ {\text{lg}{T^{\text{CPPM}}_{1/2}}} $、$ {\text{lg}{T^{\text{VSS}}_{1/2}}} $、$ {\text{lg}{T^{\text{UNIV}}_{1/2}}} $、$ {\text{lg}{T^{\text{Royer}}_{1/2}}} $、$ {\text{lg}{T^{\text{UDL}}_{1/2}}} $、$ {\text{lg}{T^{\text{NRDX}}_{1/2}}} $以及$ {\text{lg}{T^{\text{Gamow}}_{1/2}}} $表示，$ \text{lg}{T^{\text{expt}}_{1/2}} $则代表了部分已知原子核的$ \alpha $衰变半衰期。为了更直观地展示预测结果，我们将不同理论计算得到的理论$ {\alpha} $衰变半衰期以及部分已知的实验值描绘在图7~11中。在这些图中，衰变链以质子数$ Z = 120 $的原子核开始，每个衰变链末端的原子核的衰变模式为自发裂变，其余原子核的衰变模式均为$ {\alpha} $衰变。X轴表示相应的$ {\alpha} $衰变链中的衰变母核的质量数，Y轴表示$ {\alpha} $衰变半衰期的对数。

从这些图中我们可以清楚地看到，由于模型依赖，同一个原子核的不同模型对$ {\alpha} $衰变半衰期的理论计算是不同的，但是所有理论上计算出的$ {\alpha} $衰变半衰期曲线都具有相同的趋势。我们的模型预测结果在这些结果中靠近中间位置。对于16个尚未测出半衰期的质子放射的质子放射半衰期预测，我们选择质子的放射衰变定律(UDLP)^[31]与改进的Gamow-like模型作比较，预测结果列在表5中。

由于我们前面的工作发现41个质子放射的$ \sigma = 0.468 $，因此预测的质子放射半衰期与实验的误差可能会在2.94的范围内。此外，为了更直观地与UDLP模型比较，我们在图12中绘制了使用我们的模型和UDLP模型预测的质子放射半衰期与母核质子数的关系，图中UDLP和Calc分别代表了使用UDLP模型与我们的模型预测的质子放射半衰期。结果表明，UDLP的预测结果与我们的模型是一致的。

本工作中，基于考虑离心势和静电屏蔽效应的Gamow-like模型系统地研究了$ {\alpha} $衰变和质子放射的半衰期。研究结果表明：改进的模型可以更好地再现实验数据。利用该模型预测16个尚未确定的质子放射半衰期以及$ Z = 120 $的七个偶-偶核的$ {\alpha} $衰变链上的原子核的$ {\alpha} $衰变半衰期。本工作可以为$ {\alpha} $衰变和质子放射的实验和理论研究提供参考。