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Volume 37 Issue 3
Sep.  2020
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Zhenzhen QIN, Yang LEI. Variational Approach for Pair Determination in Nucleon Pair Approximation[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 516-522. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC45
Citation: Zhenzhen QIN, Yang LEI. Variational Approach for Pair Determination in Nucleon Pair Approximation[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 516-522. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC45

Variational Approach for Pair Determination in Nucleon Pair Approximation

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC45
Funds:  Sichuan Science and Technologhy Program(2019JDRC0017); Doctoral Program of Southwest University of Science and Technology(18zx7147); Education Reformation Program of Southwest University of Science and Technology (19xn0044); High-education Research Program of Southwest University of Science and Technology(19GJZX19)
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  • Corresponding author: E-mail: leiyang19850228@gmail.com.
  • Received Date: 2020-05-17
  • Rev Recd Date: 2020-07-15
  • Available Online: 2020-09-30
  • Publish Date: 2020-09-20
通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com
  • 1. 

    沈阳化工大学材料科学与工程学院 沈阳 110142

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Variational Approach for Pair Determination in Nucleon Pair Approximation

doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC45
Funds:  Sichuan Science and Technologhy Program(2019JDRC0017); Doctoral Program of Southwest University of Science and Technology(18zx7147); Education Reformation Program of Southwest University of Science and Technology (19xn0044); High-education Research Program of Southwest University of Science and Technology(19GJZX19)

Abstract: We propose a pair-condensation variation approach to evaluate the importance of collective pairs and determine their structure in low-lying states. Based on such a variation, the Nucleon Pair Approximation(NPA) could avoid the collective-pair uncertainty, which the previous NPA calculations have suffered a lot. With the trial calculation for transitional 132Ba, we exemplify the ability of our variation approach. In detail, the variation can be adopted to calculate the quadrupole deformation parameters with non-axisymmetric deformation degree of freedom. It conclusively helps the NPA to decide which collective pair is essential for obtaining a lower yrast level scheme and reproducing the $I\!=\!10$ backbending. With the optimized condensation of neutron negative-parity pairs, we explain why the neutron negative-parity pairs have a large impact on the backbending behavior.

Zhenzhen QIN, Yang LEI. Variational Approach for Pair Determination in Nucleon Pair Approximation[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 516-522. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC45
Citation: Zhenzhen QIN, Yang LEI. Variational Approach for Pair Determination in Nucleon Pair Approximation[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 516-522. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC45
    • 原子核配对近似(Nucleon Pair Approximation,NPA)[1]是一种壳模型的有效近似。在相互作用玻色子模型(Interacting Boson Model,IBM)[2]的启发下,NPA一般使用正宇称的$ SD $集体对作为截断模型空间基矢的组成基元。这两种集体对分别带有角动量$ 0\hbar $$ 2\hbar $,对应于IBM中的$ sd $玻色子。这样的集体对所张成的子空间是比较小的,可以给出非常清晰的壳模型主导组态。NPA研究一般集中于过渡区原子核。这是因为过渡区原子核形变并不大,且具有$ \gamma $不稳定性,平均场理论在处理它们时需要相对更多的理论考虑;而传统壳模型在处理它们时又面临巨大的组态空间维数。这为充分利用NPA模型空间小、组态结构清晰等优势提供了机会。

      除了$ SD $对以外,还可以在NPA空间中引入其它的集体对(比如说$ G $对,$ L^{\pi} \!=\! 4^+ $),以提高与壳模型全空间计算结果的近似程度。这种提高一般对非晕带、高角动量能级、负宇称能级更为显著。某种程度,这种手段的有效性是不证自明的,但是其实际应用却有可能偏离了NPA的初衷。这是因为之前并没有比较好的办法来确定哪些集体对在低激态中有更重要的贡献。在实际计算中可能需要引入很多不重要的集体对才能达成对低激发态相对合理的描述。这就导致了模型空间维数过大,组态结构与组态混合过于复杂,反而不能充分发挥出NPA的种种优势。因此事先判断给定集体对在低激发态中是否有重要贡献,长期以来是配对理论需要解决的重要问题。此外,如果不能事先对于集体对贡献做出合适的评价,NPA计算结果的解释可能会引起争议。例如,在132Ba晕带中 中有一个$ I \!=\! 10 $的回弯现象[3-5]$ (\nu h_{11/2})^{-2} $对与一些负宇称配对,都可以重现这种回弯现象,但是给出了不同的NPA波函数[6-8]

      在20世纪80年代初,就已经有很多工作采用Hartree-Fock-Bogolyubov(HFB)方法,证明$ SD $对在原子核低激发态的重要性[9-10],并与IBM框架中的$ sd $玻色子相对照。在这些工作的启发下可以发展一种类平均场的方法,专门提供NPA集体对重要性的定量判别依据。这种方法应该满足四方面NPA计算要求:

      ● 它应该保持粒子数守恒。NPA主要适用于过渡区原子核。其核形状随着粒子数的增加显著变化。粒子数不守恒将使得多个原子核波函数混合在一起,导致不准确的描述。

      ● 它应该包含三轴形变自由度。这是理解软$ \gamma $特性,$ \gamma $不稳定性,以及过渡区原子核形状共存与形状混合的关键。

      ● 它应该适用于空穴表象。为了降低哈密顿量与跃迁矩阵元计算的复杂性,NPA以及其它壳模型框架下的模型计算有时采用空穴表象,如在$ (N<126{\text ,} Z \!= \!82) $$ (N<82{\text ,}Z\! =\! 50) $核区中的壳模型计算。新方法可以在空穴表象下进行计算。

      ● 它应该能够评估负宇称集体对的重要性。在$ A\sim100 $, 132和208区域中,$ g_{9/2} $$ h_{11/2} $$ i_{13/2} $中子闯入态具有相对较低的单粒子能量,有可能构建较低能量的负宇称集合对。这些负宇称对的重要性也需要加以判别。

      本文将介绍一种基于集体对凝聚组态试探波函数的变分方法(collective-Pair Condensate Variation,PCV)。它具有上述四方面特征。在这种变分计算中,集体对没有好的角动量量子数。这与传统的NPA是不一样的。我们将这种变分方法对132Ba进行尝试性计算。因为 132Ba在$ 50 \thicksim 82 $单粒子价空间中具有6个质子和6个中子空穴,是典型的过渡区原子核,也具有软$ \gamma $特性。作为一个实例,我们将基于PCV方法在对角化壳模型哈密顿量矩阵之前确定132Ba原子核的$ I\! =\! 10 $回弯处的主导配对组分。

    • 集体对凝聚组态变分方法基于集体对凝聚组态试探波函数,其主要的公式已呈现于文献[11]中。最初这种集体对凝聚组态主要是用来构建具有O(6)对称性的微观波函数,以简化蒙特卡罗壳模型计算[12-13]。集体对是构建集体对凝聚组态的基元,可定义为

      其中$ C_i $$ C^{\dagger}_j $是单粒子湮灭与产生算符。$ i $$ j $标记相应的单粒子量子数。$ \omega_{ij} $$ \varOmega $集体对的对结构系数。一般要求$ \omega_{ij} \!=\! \omega_{ji} $以确保$ \omega_{ij} $系数的唯一性。因此所有$ \omega_{ij} $系数可以映射到一个反对称矩阵$ \omega $

      $ \omega $矩阵的反对称性是使用英特尔数学内核库(intel Math Kernel Library,MKL)库中优化后的基本线性代数子程序(Basic Linear Algebra Subprograms,BLAS)来加速集体对凝聚组态矩阵元计算的关键。因此,如果某些集体对结构系数矩阵不是反对称的,需要先行反对称化。

      式(2)定义中的集体对没有角动量、角动量第三分量以及宇称等好的量子数。由于不涉及角动量耦合,因此本文将这种集体称为“非耦合集体对”,以区别于NPA中 具有给定角动量和宇称的传统集体对。可以看到,非耦合集体对包括所有可能的两体组态自由度。因此,我们能够从变分所得到的Ω配对中投影出各种NPA集体配对,并得到相应的定量组份,以体现这些集体对的重要性。

      变分的试探波函数正是由数个全同的无角动量耦合的集体对凝聚而成,可表为$ \left.(\varOmega^{\dagger})^N|\right\rangle $。这里2N是模型空间中的核子数。给定一个任意的壳模型哈密顿量$ H $,其期望值可以用文献[11]公式计算得到。通过变分,可以将哈密顿期望值最小化,并收敛于

      对这种多维非线性最小化,目前已有许多有效的算法。本文采用Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno算法[14-17]。同时还需注意,这种算法需要哈密顿量期望值的一阶导。而文献[11]也已证明上述集体对凝聚组态的任意算符期望值沿$ \Gamma $对方向的一阶导可表为

      其中$ \hat O $是任意的线性算符,$ \tilde {\cal{O}}\! =\! \hat O+\hat O^{\dagger} $。根据式(4),哈密顿期望值的一阶导数可依律求得。

    • 文献[11]公式并不引入递归计算。因此对凝聚变分的代码将具有多项式时间的复杂性。而传统的NPA计算一般引入递归运算。时间复杂度的增长速度将超过指数增长规律。因此,随着价核子数的增加,这种变分方法将比传统NPA的计算速度快很多,是一种可以容忍的额外计算开销。

      与Hartree-Fock方法类似,对凝聚变分计算会破坏空间旋转不变性,但是也存在着一类自洽对称性(self-consistent symmetry)。这些自洽对称性是指在平均场计算迭代中,由于迭代的初始试探波函数与哈密顿量的特殊对易关系,仍然得以保留的一些特定的对称性[18]。具体到对凝聚变分,可以证明其中存在着三种自洽对称性:

      (1) Seniority:如果初始Ω只有$ S $对分量($ L^{\pi} \!=\! 0^+ $),则此后迭代过程所产生的Ω只存在$ S $对;

      (2) 角动量三分量:如果初始Ω有好的角动量三分量量子数,那么在其后变分过程中,角动量三分量保持不变;

      (3) 宇称:如果初始Ω有好的宇称量子数,则此后变分不会改变宇称,也不会引入宇称混合。

      如果在Ω对初始化中加入对称性1或2的约束,就可以分别进行球形或轴对称形变下的变分运算。

    • 对凝聚组态变分可使NPA集体对与四极形变参数相联系。因此在变分之后,可以遵循文献[19]所给出的方法计算变分基态的四极变形参数,并将无角动量耦合的集体对Ω分解为一系列适用于NPA计算的,有角动量、宇称好量子数的集体对。

      为了计算变形参数$ \beta $$ \gamma $,定义四极算符为$ \hat Q \!=\! \hat Q_{\pi}-\hat Q_{\nu} $。在这里,下标$ \pi $$ \nu $分别对于质子与中子;中子四极算符$ \hat Q_{\nu} $,前的负号代表着在132Ba中中子将使用价空穴表象进行描述。在笛卡尔坐标架中,四极算符可具体化为$ Q_{ij} \!=\! 3x_ix_j-r^2\delta_{ij} $。其中$ i $$ j $指示空间中三个正交的坐标轴$ X $$ Y $$ Z $,而$ \delta $为克罗内克符号。那么对凝聚组态的四极算符期望$ \langle (\varOmega)^N|Q_{ij}|(\varOmega^{\dagger})^N\rangle $对应于一个3维矩阵,有3个本征值,2个自由度。不妨设3个本征值为$ {\cal {Q}}_1<{\cal {Q}}_2<{\cal {Q}}_3 $$ \beta $$ \gamma $参数与这些本征值的关系为

      其中

      NPA计算所使用的集体对具有确定的角动量L、宇称以及角动量三分量M,定义如下:

      其中$ a $$ b $为球形单粒子基矢的量子数$ nlj $。如果无角动量耦合的集体对$ \varOmega $也定义在球形单粒子基下,则对结构系数$ \beta^{LM}_{ab} $将由CG系数的正交性所确定:

      由于哈密顿量的空间旋转不变性,变分中的角动量投影主轴并不确定。因此$ \beta^{LM}_{ab} $系数将随空间旋转欧拉角的不同而发生改变。如果将$ \{\beta^{LM}_{a_1b_1},\beta^{LM}_{a_1b_2},\beta^{LM}_{a_1b_3},\cdots\} $写作一个用LM作标记的矢量。那么由于空间旋转,不同M相同L的矢量之间可能存在着线性相关。可以引入一个线性变换将这些$ {\beta^{LM}} $矢量正交化,使得正交化后的$ \tilde\beta^{LK} $如果有$ K\neq K^{\prime} $,那么$ \sum_{a\leqslant b}\tilde\beta^{LK}_{ab}\tilde\beta^{LK^{\prime}}_{ab}\equiv 0 $。在此后的NPA计算中,就可以采用$ \tilde\beta^{LK} $矢量作为具有确定角动量L的集体对结构系数。

      上述K指标仅是为了区分不同的线性独立$ \tilde\beta^{LK} $矢量。它不是角动量投影。此外,如果迭代后就将对结构系数规范化,即$ \sum_{i<j}(\omega_{ij})^2 \!=\! 1 $,容易证明$ \sum_{L,K,a\leqslant b} (\tilde\beta^{LK}_{ab})^2 \!=\! 1 $,这意味着$ \tilde\beta^{LK} $矢量的长度对应着相应NPA集体对$ A^{L\dagger} $在无角动量耦合的集体对$ \varOmega $中的权重。也就是说,它可以作为集体对重要性判别的定量依据。

    • 在此前对132Ba的NPA计算中[6-8],单粒子价空间被局限在$50 \thicksim 82$大壳内。中子被描述为空穴。因此本文的NPA计算仍采用这种模型空间。相应的集体对凝聚组态为$ \left(\varOmega^{\dagger}_{\pi}\right)^3(\varOmega^{\dagger}_{\nu})^3\big|\big\rangle $。这里不考虑质子-中子配对,因为在$ A\sim 132 $过渡区中,质子-中子关联尚未在核相互作用中占据主导作用。此前的NPA计算也忽略了质子-中子配对。

      针对这一原子核,可以采用唯象的壳模型哈密顿量:

      其中

      这里$q(ab) \!=\! \frac{(-)^{j_a-1/2}}{\sqrt{20\pi}}\sqrt{2j+1}$$\sqrt{2j'+1}C_{j1/2, j' -1/2}^{20}\!\times \frac{\left\langle n l|r^2 |n l' \right\rangle}{r^2_0}$$ r_0 $为核谐振参数,$ \sqrt{\hbar/(m\omega)} $. $ \varepsilon_{j\sigma} $, $ G^{(0)}_{\sigma} $, $ G^{(2)}_{\sigma} $, $ \kappa_{\sigma}/\kappa_{\pi\nu} $分别为单粒子能量、单极对力强度、四极对力强度以及四极-四极相互作用强度。具体参数数值取自文献[6],并列入表1

      单粒子能量$s_{1/2}$$d_{3/2}$$d_{5/2}$$g_{7/2}$$h_{11/2}$两体相互作用强度$G_{0\pi}$$G_{2\pi}$$G_{0\nu}$$G_{2\nu}$$\kappa_{\pi}$$\kappa_{\nu}$$\kappa_{\pi\nu}$
      $\varepsilon_{\pi}$2.9902.7080.9620.0002.793PAR-10.1300.0300.1300.0260.0450.0650.070
      $\varepsilon_{\nu}$0.3320.0001.6552.4340.242PAR-20.1700.0400.1500.0260.0300.1000.080

      表1中列出的PAR-1和PAR-2两体相互作用参数都可以使NPA重现132Ba的晕带结构,特别是$ I \!=\! 10 $回弯效应。但是在此前工作中它们需要配以不同的集体对:(1) PAR-1需要$ L^{\pi} \!=\! 5^- $$ L^{\pi} \!=\! 6^- $集体对[7];(2) PAR-2需要$ H^{L = 0\sim 10} \!=\! (\nu h_{11/2})^{-2} $非集体对[6]

    • 使用表1中所列出的哈密顿量参数,通过未耦合的集体对凝聚组态变分,可以得到表2中的计算结果。PAR-1和PAR-2参数都给出$ \beta\sim 0.1 $的极小点,但$ \gamma $值有所不同。PAR-1计算认为132Ba低激发态具有轴对称性,但PAR-2则给出了一个三轴变形。

      表2中,PAR-1和PAR-2所给出的集体对权重非常相似。$ SD $对在优化后的Ω对中占主导地位(超过85%权重)。这说明了在低激发态中$ SD $对的重要性,与此前NPA计算经验相吻合。这类图像已在此前的NPA计算中得到了体现[1]。将上述解耦合后的$ SD $对引入NPA计算,就可以得如图1(b)所示晕带能谱(标记为PCV,collective-Pair Condensate Variation),并与实验能谱[图1(a)]以及文献[7]中的NPA计算结果进行比较。文献[7]的计算结果标记为PBCS。这是因为其中的集体对源自于投影BCS方法。集体对凝聚变分方法可以提供比PBCS方法更低的0+,2+,4+,甚至$ 6^+ $态。相对较低的能级经验上预示着截断子空间中的本征波函数与壳体模型全空间中的本征波函数有更大重叠。因此可以认为,这种变分方法所产生的集体对结构增加了低激发NPA波函数和壳模型函数之间的相似性。

      参数
      PRA-1PRA-2
      $E_{\rm{min}}$/MeV–12.334–15.418
      $\beta$0.1060.102
      $\gamma$/$(^\circ )$$<10^{-4}$16
      中子$S$对权重0.4630.428
      中子$D$对权重0.4530.449
      质子$S$对权重0.4470.520
      质子$D$对权重0.4890.444
    • 仅使用$ SD $对,计算所得$ 8^+ $$ 10^+ $态总是高于实验能级(见图1),并且无法重现基带的回弯效应。此前工作也指出这种回弯效应的合理描述需要引入更多的集体对[6-8]。而现有的变分方法只关注基态附近的原子核性质,对高角动量组态不敏感,无法给出回弯处的重要集体对。因此我们需要在现有变分中引入角动量投影期望值的约束,如下所示

      其中:$ \omega_x $为角速度,也相当于是约束变分的拉普拉斯乘子;$ J_x $为角动量分量。通过调整$ \omega_x $,我们就可以近似得到$ \langle J_x\rangle\sim\sqrt{I(I+1)} $附近的能级中重要的集体对[20]。实际上,引入推转是在微观模型框架下处理转动带的回弯效应的一种传统手段[21-23]。文献[9]已采用这种想法,在HFB中引入推转项,来描述164Er回弯效应。

      计算给出的不同$ I $值对应的集体对权重如图2所示。可以看到当$ I\leqslant 4 $$ SD $对在$ \varOmega $对中占据主导地位。但是当$ I>4 $时,这种主导地位逐渐消失。可以认为$ SD $$ I\leqslant 4 $能级有更合理的描述,但对$ I>4 $能级可能失效,与图1一致。更重要的是,当$ I\geqslant 8 $时,中子的$ H^{L = 10} \!=\! (\nu h_{11/2})^{-2} $与质子的$ G $$ {\cal{I}}^{L^{\pi} = 4^+} $集体对变得越来越重要。将这些中子$ H^{L = 10} $对、质子$ G $$ {\cal{I}} $对引入NPA计算。相应的计算能谱被画入图1中,被标为“PCV+推转”。

      通过图1中的对比,在PAR-1参数下,引入推转的变分方法将有助于NPA提供比传统的“PBCS”方法低得多的能谱,特别是针对$ I\geqslant 6 $能级。另一方面,针对PAR-2参数的改进看起来没有那么显著。这是因为图中的“PBCS+$ H $对”计算已经引入了$ H^{L = 10} $配对[6]。但是可以看到变分方法仍给出了更低的能级。更重要的是,引入推转的变分方法对$ I\!=\! 10 $回弯效应的描述是并不需要手动地引入特定配对。这说明了推转的引入是在NPA框架下描述更高自旋状态的一种更为自洽的方法。

      中子负宇称对的引入也是描述$ I = 10 $回变现象的另一种可行方法[7],如图1“PBCS+负宇称对”所示。但是,对凝聚变分计算结果并不支持负宇称对的引入。为了解释此冲突,可以要求初始$ \varOmega_{\nu} $对具有负宇称,然后再次执行变分。根据第2节所中描述的宇称自洽对称性,即对称性3,这种变分必收敛于负宇称的中子Ω对。通过引入推转的变分计算,可以将这种负宇称对凝聚组态的基态能量与形变参数($ \beta $$ \gamma $),与此前得到的正宇称结果进行对比(见图3)。在图3(a)(a′)中,负宇称的基态能量总是高于全局最小值。因此,全局的变分计算并不给出负宇称集体对。另一方面,随着角动量接近$ I \!=\! 10 $,正宇称与负宇称对凝聚组态的能量极值越来越接近。这两种凝聚组态也给出了类似的$ \beta $参数,如图3(b)(b′)。在图3(c)(c′)中,$ \gamma $参数演化也被呈现。可以看到两种组态的$ \gamma $参数在低$ I $区域中有更大的差别,但与能量极值一样,它们也会在回弯点附近接近对方。总之,负宇称中子配对的确在回弯点附近给出与正宇称组态类似的能量与形变。因此它对回弯现象得合理描述是可以理解的。但是仍需强调的是,根据能量极小原则,在此处的变分计算中正宇称集体对仍然优于负宇称集体对。

    • 本文提出的对凝聚组态变分方法可有效改进NPA波函数与壳模型波函数之间的近似程度。这种变分方法具有粒子数守恒特征,可以更准确地描述过渡区原子核。这也是NPA的主要应用核区。它还考虑到所有两体组态自由度,适用于非轴对称变形原子核,并能够评估负宇称集体对的重要性。这种变分方法被证明还具有三方面自洽对称性(self-consistent symmetry)。

      针对132Ba这一典型过渡区原子核,使用对凝聚变分方法可以给出适用于NPA计算的集体对,并合理地描述了132Ba的三轴形变。这证明了变分方法描述非轴对称形变的能力。通过引入推转,这种变分方法还表明中子$ H^{L = 10} $对、质子$ G $$ {\cal{I}} $可以对$ I \!=\! 10 $回弯现象有更合理的描述,并且可以解释为什么负宇称集体对也可以对这一回弯现象进行合理描述。

      传统的NPA计算(如文献[6-8])一般需要首先基于经验选择集体对组态,通过数值实验进一步优化集体对结构以及配对组态空间。而本文提出的对凝聚变分方法可以在NPA计算之前,自洽地优化集体对结构系数,定量地评估集体对的重要性,为NPA在集体对选择方面提供了新思路。

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