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在此前对132Ba的NPA计算中[6-8],单粒子价空间被局限在
$50 \thicksim 82$ 大壳内。中子被描述为空穴。因此本文的NPA计算仍采用这种模型空间。相应的集体对凝聚组态为$ \left(\varOmega^{\dagger}_{\pi}\right)^3(\varOmega^{\dagger}_{\nu})^3\big|\big\rangle $ 。这里不考虑质子-中子配对,因为在$ A\sim 132 $ 过渡区中,质子-中子关联尚未在核相互作用中占据主导作用。此前的NPA计算也忽略了质子-中子配对。针对这一原子核,可以采用唯象的壳模型哈密顿量:
其中
这里
$q(ab) \!=\! \frac{(-)^{j_a-1/2}}{\sqrt{20\pi}}\sqrt{2j+1}$ $\sqrt{2j'+1}C_{j1/2, j' -1/2}^{20}\!\times \frac{\left\langle n l|r^2 |n l' \right\rangle}{r^2_0}$ 。$ r_0 $ 为核谐振参数,$ \sqrt{\hbar/(m\omega)} $ .$ \varepsilon_{j\sigma} $ ,$ G^{(0)}_{\sigma} $ ,$ G^{(2)}_{\sigma} $ ,$ \kappa_{\sigma}/\kappa_{\pi\nu} $ 分别为单粒子能量、单极对力强度、四极对力强度以及四极-四极相互作用强度。具体参数数值取自文献[6],并列入表1。单粒子能量 $s_{1/2}$ $d_{3/2}$ $d_{5/2}$ $g_{7/2}$ $h_{11/2}$ 两体相互作用强度 $G_{0\pi}$ $G_{2\pi}$ $G_{0\nu}$ $G_{2\nu}$ $\kappa_{\pi}$ $\kappa_{\nu}$ $\kappa_{\pi\nu}$ $\varepsilon_{\pi}$ 2.990 2.708 0.962 0.000 2.793 PAR-1 0.130 0.030 0.130 0.026 0.045 0.065 0.070 $\varepsilon_{\nu}$ 0.332 0.000 1.655 2.434 0.242 PAR-2 0.170 0.040 0.150 0.026 0.030 0.100 0.080 表1中列出的PAR-1和PAR-2两体相互作用参数都可以使NPA重现132Ba的晕带结构,特别是
$ I \!=\! 10 $ 回弯效应。但是在此前工作中它们需要配以不同的集体对:(1) PAR-1需要$ L^{\pi} \!=\! 5^- $ 与$ L^{\pi} \!=\! 6^- $ 集体对[7];(2) PAR-2需要$ H^{L = 0\sim 10} \!=\! (\nu h_{11/2})^{-2} $ 非集体对[6]。 -
使用表1中所列出的哈密顿量参数,通过未耦合的集体对凝聚组态变分,可以得到表2中的计算结果。PAR-1和PAR-2参数都给出
$ \beta\sim 0.1 $ 的极小点,但$ \gamma $ 值有所不同。PAR-1计算认为132Ba低激发态具有轴对称性,但PAR-2则给出了一个三轴变形。表2中,PAR-1和PAR-2所给出的集体对权重非常相似。
$ SD $ 对在优化后的Ω对中占主导地位(超过85%权重)。这说明了在低激发态中$ SD $ 对的重要性,与此前NPA计算经验相吻合。这类图像已在此前的NPA计算中得到了体现[1]。将上述解耦合后的$ SD $ 对引入NPA计算,就可以得如图1(b)所示晕带能谱(标记为PCV,collective-Pair Condensate Variation),并与实验能谱[图1(a)]以及文献[7]中的NPA计算结果进行比较。文献[7]的计算结果标记为PBCS。这是因为其中的集体对源自于投影BCS方法。集体对凝聚变分方法可以提供比PBCS方法更低的0+,2+,4+,甚至$ 6^+ $ 态。相对较低的能级经验上预示着截断子空间中的本征波函数与壳体模型全空间中的本征波函数有更大重叠。因此可以认为,这种变分方法所产生的集体对结构增加了低激发NPA波函数和壳模型函数之间的相似性。参数 值 PRA-1 PRA-2 $E_{\rm{min}}$/MeV –12.334 –15.418 $\beta$ 0.106 0.102 $\gamma$/$(^\circ )$ $<10^{-4}$ 16 中子$S$对权重 0.463 0.428 中子$D$对权重 0.453 0.449 质子$S$对权重 0.447 0.520 质子$D$对权重 0.489 0.444 -
仅使用
$ SD $ 对,计算所得$ 8^+ $ ,$ 10^+ $ 态总是高于实验能级(见图1),并且无法重现基带的回弯效应。此前工作也指出这种回弯效应的合理描述需要引入更多的集体对[6-8]。而现有的变分方法只关注基态附近的原子核性质,对高角动量组态不敏感,无法给出回弯处的重要集体对。因此我们需要在现有变分中引入角动量投影期望值的约束,如下所示其中:
$ \omega_x $ 为角速度,也相当于是约束变分的拉普拉斯乘子;$ J_x $ 为角动量分量。通过调整$ \omega_x $ ,我们就可以近似得到$ \langle J_x\rangle\sim\sqrt{I(I+1)} $ 附近的能级中重要的集体对[20]。实际上,引入推转是在微观模型框架下处理转动带的回弯效应的一种传统手段[21-23]。文献[9]已采用这种想法,在HFB中引入推转项,来描述164Er回弯效应。计算给出的不同
$ I $ 值对应的集体对权重如图2所示。可以看到当$ I\leqslant 4 $ ,$ SD $ 对在$ \varOmega $ 对中占据主导地位。但是当$ I>4 $ 时,这种主导地位逐渐消失。可以认为$ SD $ 对$ I\leqslant 4 $ 能级有更合理的描述,但对$ I>4 $ 能级可能失效,与图1一致。更重要的是,当$ I\geqslant 8 $ 时,中子的$ H^{L = 10} \!=\! (\nu h_{11/2})^{-2} $ 与质子的$ G $ 、$ {\cal{I}}^{L^{\pi} = 4^+} $ 集体对变得越来越重要。将这些中子$ H^{L = 10} $ 对、质子$ G $ ,$ {\cal{I}} $ 对引入NPA计算。相应的计算能谱被画入图1中,被标为“PCV+推转”。通过图1中的对比,在PAR-1参数下,引入推转的变分方法将有助于NPA提供比传统的“PBCS”方法低得多的能谱,特别是针对
$ I\geqslant 6 $ 能级。另一方面,针对PAR-2参数的改进看起来没有那么显著。这是因为图中的“PBCS+$ H $ 对”计算已经引入了$ H^{L = 10} $ 配对[6]。但是可以看到变分方法仍给出了更低的能级。更重要的是,引入推转的变分方法对$ I\!=\! 10 $ 回弯效应的描述是并不需要手动地引入特定配对。这说明了推转的引入是在NPA框架下描述更高自旋状态的一种更为自洽的方法。中子负宇称对的引入也是描述
$ I = 10 $ 回变现象的另一种可行方法[7],如图1“PBCS+负宇称对”所示。但是,对凝聚变分计算结果并不支持负宇称对的引入。为了解释此冲突,可以要求初始$ \varOmega_{\nu} $ 对具有负宇称,然后再次执行变分。根据第2节所中描述的宇称自洽对称性,即对称性3,这种变分必收敛于负宇称的中子Ω对。通过引入推转的变分计算,可以将这种负宇称对凝聚组态的基态能量与形变参数($ \beta $ 、$ \gamma $ ),与此前得到的正宇称结果进行对比(见图3)。在图3(a)与(a′)中,负宇称的基态能量总是高于全局最小值。因此,全局的变分计算并不给出负宇称集体对。另一方面,随着角动量接近$ I \!=\! 10 $ ,正宇称与负宇称对凝聚组态的能量极值越来越接近。这两种凝聚组态也给出了类似的$ \beta $ 参数,如图3(b)与(b′)。在图3(c)与(c′)中,$ \gamma $ 参数演化也被呈现。可以看到两种组态的$ \gamma $ 参数在低$ I $ 区域中有更大的差别,但与能量极值一样,它们也会在回弯点附近接近对方。总之,负宇称中子配对的确在回弯点附近给出与正宇称组态类似的能量与形变。因此它对回弯现象得合理描述是可以理解的。但是仍需强调的是,根据能量极小原则,在此处的变分计算中正宇称集体对仍然优于负宇称集体对。
Variational Approach for Pair Determination in Nucleon Pair Approximation
doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC45
- Received Date: 2020-05-17
- Rev Recd Date: 2020-07-15
- Available Online: 2020-09-30
- Publish Date: 2020-09-20
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Key words:
- nucleon pair approximation /
- collective pair condensate variation /
- triaxial deformation /
- quantitative representation of collective-pair importance
Abstract: We propose a pair-condensation variation approach to evaluate the importance of collective pairs and determine their structure in low-lying states. Based on such a variation, the Nucleon Pair Approximation(NPA) could avoid the collective-pair uncertainty, which the previous NPA calculations have suffered a lot. With the trial calculation for transitional 132Ba, we exemplify the ability of our variation approach. In detail, the variation can be adopted to calculate the quadrupole deformation parameters with non-axisymmetric deformation degree of freedom. It conclusively helps the NPA to decide which collective pair is essential for obtaining a lower yrast level scheme and reproducing the
Citation: | Zhenzhen QIN, Yang LEI. Variational Approach for Pair Determination in Nucleon Pair Approximation[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 516-522. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC45 |