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我们使用了一系列不同参数化的手征有效场(
$ \chi $ EFT)核力来计算$ \mu^2 {\rm{H}} $ 中的$ \delta_{\rm{TPE}} $ [10-11]。在$ \chi $ EFT各参数化计算下的平均值与唯象势能模型[25-26](Argonne V18,AV18)和零力程核力模型[15,27](Zero-Range Interaction)下的计算结果高度一致,并且也符合色散关系分析下的结果[18]。基于有效场下的幂数展开原理,核力在低能附近的逐阶展开可用于分析手征核力的理论精度。在$ \mu^2 {\rm{H}} $ 中,$ \delta_{\rm{TPE}} $ 中由核力模型的不确定度产生的理论误差为$ 0.6\% $ 。作为对比,由于在低动量和小散射角范围内缺乏高精度的电子-氘核准弹性散射数据,色散关系分析下的结果的不确定性为$ 20\% $ ,远大于$ \chi $ EFT计算的不确定度。CREMA合作组在2016年发表了
$ \mu^2 {\rm{H}} $ 兰姆位移的测量结果,并从中提取出氘核的电荷半径$ r_{\rm{d}} \!=\! 2.12562(78) $ fm[28]。它的系统误差主要来源于$ \delta_{\rm{TPE}} $ 理论预测的不确定性。这一新的氘核半径结果比CODATA标准值[1]小$ 6.0 \sigma $ 。它与$ e^2 {\rm{H}} $ 原子光谱测量中的结果[29]也相差$ 3.5 \sigma $ 。同时,$ \mu {\rm{H}} - \mu^2 {\rm{H}} $ 的核半径同位素位移$ r_{\rm{d}}^2-r_{\rm{p}}^2 $ 的测量值$ e {\rm{H}} - e^2 {\rm{H}} $ 的结果相差$ 2.6\sigma $ [30]。最近,我们重新研究了
$ \mu^2 {\rm{H}} $ 能谱中双光子交换的贡献部分,分析了源自$ \chi $ EFT理论的不确定度[11]。多参数协同拟合优化的方法[31],我们发现$ \chi $ EFT中参数拟合的统计误差相比于$ \chi $ EFT本身的系统误差可忽略不计。系统误差可由$ \chi $ EFT中的核力在幂数展开下逐阶收敛性(从领头阶到第4次领头阶)来估算。我们发现$ \delta_{\rm{TPE}} $ 的系统误差在运用参数协同优化的手征核力下的结果与未做统计优化的手征核力下的计算近乎一致,两者均偏离从$ \mu^2 {\rm{H}} $ 实验中直接提取出的$ \delta_{\rm{TPE}} $ 数值。在过去的六年中,我们运用从头算理论预测了
$ \mu^3 $ H,$ \mu^{3,4} $ He$ ^{+} $ 中的$ \delta_{\rm{TPE}} $ [12-13]。我们可以完整分析这些$ \mu $ 原子中由于核结构理论的不确定性对$ \delta_{\rm{TPE}} $ 产生的系统误差。在这些计算中,我们采用了两种核力模型。一种是唯象两体/三体核力AV18+UIX[32-33];另一种是具有某一特定参数化的两体/三体手征核力$ \chi $ EFT[34-35]。运用多体计算,我们可以研究三核子和四核子系统在不同核力下的动力学性质,及与$ \mu $ 子间的双光子交换过程。综合大量彼此独立的理论工作,CREMA合作组总结了QED和核结构效应对
$ \mu^{3,4} {\rm{He}}^+ $ 中兰姆位移的贡献[36-37]。这为未来分析实验数据并确定$ {}^{3,4} {\rm{He}} $ 的核半径提供了准备。这些实验还可用于准确获得氦核半径的同位素位移,因而引起了原子物理学家们极大的兴趣与关注[38]。我们在表1中列出了不同
$ \mu $ 原子中$ \delta_{\rm{TPE}} $ 在从头算理论下的预测结果和理论误差[14],并分解为弹性部分和非弹性部分,以及原子核部分和核子部分。从表中可见,$ \delta_{\rm{TPE}} $ 中核子部分的贡献通常小于相应的原子核的贡献。因此,计算原子核的双光子交换贡献并分析其理论误差具有重要价值。我们发现从$ \mu^2 {\rm{H}} $ 到$ \mu^{3,4} {\rm{He}}^+ $ ,核结构模型产生的理论误差随着核的增大而逐渐增加。然而原子物理的理论误差在每个$ \mu $ 原子中差别较小。$\delta^{N}_{\rm{Zem}}$ $\delta^{N}_{\rm{pol}}$ $\delta^{A}_{\rm{Zem}}$ $\delta^{A}_{\rm{pol}}$ $\delta_{\rm{TPE}}$ $\mu^2{\rm{H}}$ –0.030(02) –0.020(10) –0.423(04) –1.245(13) –1.718(17) $\mu^3{\rm{H}}$ –0.033(02) –0.031(17) –0.227(06) –0.480(11) –0.771(22) $\mu^3{\rm{He}}^{+}$ –0.52(03) –0.25(13) $-$10.49(23) –4.23(18) –15.49(33) $\mu^4{\rm{He}}^{+}$ –0.54(03) –0.34(20) –6.14(31) –2.35(13) –9.37(44) 结果被分解为弹性部分和非弹性部分,以及原子核部分和核子部分。表来源于文献[14]。 计算
$ \delta_{\rm{TPE}} $ 并严格量化其理论误差对准确从$ \mu $ 原子实验数据中提取核半径至关重要。因此,我们研究了其理论误差的所有可能来源。对于原子核部分$ \delta_{\rm{TPE}}^A $ ,误差来自数值精度(NA),核模型依赖性(NM),同位旋对称性破缺(ISB),核子结构修正(NS),相对论修正(R),库仑修正(C),以及多极矩展开($ \eta $ E)和$ {Z \alpha} $ 展开的高阶修正。文献[14]对不同$ \mu $ 原子中理论误差来源做出了详细评估。表2总结了$ \delta_{\rm{TPE}}^A $ 的各项误差来源。对于核子部分$ \delta_{\rm{TPE}}^N $ ,不同$ \mu $ 原子的理论误差可通过它们与$ \mu $ H间的线性关系来估算其误差在不同$ \mu $ 原子中的改变。$ \delta_{\rm{TPE}} $ 的总误差是$ \delta^{A}_{\rm{TPE}} $ 和$ \delta^{N}_{\rm{TPE}} $ 误差的平方求和。$\mu^2{\rm{H}}$ $\mu^3{\rm{H}}$ $\mu^3{\rm{He}}^+$ $\mu^4{\rm{He}}^+$ $\delta_{\rm{Zem}}^A$ $\delta_{\rm{pol}}^A$ $\delta_{\rm{TPE}}^A$ $\delta_{\rm{Zem}}^A$ $\delta_{\rm{pol}}^A$ $\delta_{\rm{TPE}}^A$ $\delta_{\rm{Zem}}^A$ $\delta_{\rm{pol}}^A$ $\delta_{\rm{TPE}}^A$ $\delta_{\rm{Zem}}^A$ $\delta_{\rm{pol}}^A$ $\delta_{\rm{TPE}}^A$ NA 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1 0.4 0.1 0.3 0.4 0.4 NM 0.5 0.3 0.4 2.4 1.3 1.7 1.8 0.7 1.5 4.6 3.9 4.4 ISB 0.2 0.2 0.2 0.2 0.7 0.5 0.2 1.8 0.5 0.5 2.2 0.5 NS 0.8 0.3 0.0 0.9 0.6 0.2 1.3 1.2 0.9 2.0 2.7 1.2 R – 0.0 0.0 – 0.1 0.1 – 0.4 0.1 – 0.1 0.0 C – 0.4 0.3 – 0.5 0.3 – 3.0 0.9 – 0.4 0.1 $\eta$E – 0.4 0.3 – 1.3 0.9 – 1.1 0.3 – 0.8 0.2 $(Z\alpha)^6$ – 0.7 0.5 – 0.7 0.5 – 1.5 0.4 – 1.5 0.4 Total 0.9 1.0 0.8 2.7 2.3 2.0 2.2 4.2 2.1 5.1 5.5 4.6 总的理论误差通过平方求和各项误差获得。表来源于文献[14]。 -
在文献[10-14]中,核极化效应的计算基于电磁多极展开,其展开因子
$ \eta $ 与核激发能以及质子在吸收与释放光子间移动的距离相关$ \eta \!=\! \sqrt{2 m_r \omega}|{{R}}-{{R}}'| $ (称之为$ \eta $ 展开)。利用测不准原理中质子移动距离与激发能的关系可估算出$ \eta\sim \sqrt{m_\mu/m_N}\approx 0.3 $ ,因此该展开具备收敛性。然而在实际计算中我们发现,$ \eta $ 展开在不同$ \mu $ 原子中的收敛速率存在差异,这与各原子核各异的激发态结构直接相关。从式 (3)可见,核极化效应的求和规则包含若干电磁多极跃迁响应函数,后者在各原子核中以及各多极跃迁中共振的位置和结构不尽相同,从而导致各$ \mu $ 原子中$ \eta $ 多极展开效率的差异性。从表1中的$ \eta{\rm{E}} $ 项可以看出,$ \eta $ 展开在次次领头阶截断的系统误差在$ \mu ^2{\rm{H}} $ 中最小(0.4%),而在$ \mu ^3{\rm{He}} $ 中最大(1.3%)。利用核电荷、电流密度算符在低动量下的展开,可避开
$ \eta $ 展开,是计算双光子交换的另一种途径[39-40]。结合Lanczos迭代算法,我们可将这一方法(称之为$ \eta $ -less展开)用于计算核极化效应。$ \eta $ -less展开下的求和规则是动量与能量的双重积分,其中纵向极化的贡献可表示为其中
$ S_L $ 是广义纵向极化响应函数,$ K_L $ 是积分权重函数。前者在$ \eta $ -less展开下是电磁多极响应函数之和:其中
$ EJ $ 对应电多极跃迁类型(E1为电偶极跃迁)。结合式 (6)和 (7)可知,$ \eta $ -less展开需要计算众多电磁多极响应函数,因而需要较大的数值计算量。结合Lanczos迭代方法,可以直接计算求和规则,从而避开对响应函数在各动量和能量的单独求解,极大地提升了计算的效率[22]。$ \eta $ -less展开的收敛性在$ \mu^2{\rm{H}} $ 中有很好的展现[15]。利用光学原理,我们进一步证实纵向极化响应函数
$ S_L $ 与双虚光子康普顿散射振幅的虚部直接相关。后者在2H中的振幅$ {\cal{T}}_{\mu \nu} $ 可由图2表示。我们利用无$ \pi $ 介子有效场理论($ {\not \pi } {\rm{{EFT}}} $ )分别在领头阶(LO)、次领头阶(NLO)和次次领头阶(NNLO)下求得$ ^2 $ H的纵向极化响应函数$ S_{L}(\omega,q) $ 。当固定$ q $ 后,$ S_{L} $ 随$ \omega $ 变化的函数可见图3。从图中可见,该计算在有效场理论的各阶展开下具有一致的连续收敛性。为对比不同算法的结果,我们在
$ \eta $ 展开和$ \eta $ -less展开中选取零力程核子-核子相互作用模型,分别在非相对论(NR)和相对论极限下(R)下计算$ \mu^2 $ H在点状核近似下的核纵向极化效应$ \delta_{{\rm{pol}},L} $ ,并与$ {\not \pi} {\rm{EFT}} $ 下的计算结果相比较(见表3)。在$ \eta $ -less展开中,当$ J_{\rm{max}} \!=\! 12 $ 时,$ \delta_{{\rm{pol}},L} $ 收敛至与$ \eta $ 展开十分相近的结果。$ {\not \pi} {\rm{EFT}} $ 的计算结果比前两种在非相对论极限下大0.9%,在相对论极限下大0.7%。这一差别由$ {\not \pi} {\rm{EFT}} $ 中引入的高阶核反冲效应修正所导致。通过比较三种计算方法,我们验证了多极展开在计算$ \mu^2 $ H核极化效应中的收敛性与高精度。$\delta_{{\rm{pol}},L}$ $\eta$展开 $\eta$-less展开 ${\not \pi} {\rm{EFT}} $ NR –1.590 –1.590 –1.605 R –1.561 –1.562 –1.574
Application of Photonuclear Reaction to Evaluating Nuclear Polarizability in Muonic Atoms
doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC56
- Received Date: 2020-01-18
- Rev Recd Date: 2020-05-18
- Available Online: 2020-09-30
- Publish Date: 2020-09-20
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Key words:
- proton radius puzzle /
- nuclear polarizability /
- photonuclear reaction /
- ab initio calculation
Abstract: Recent measurements by CREMA Collaboration in Paul Scherrer Institute (Switzerland) determined the proton radius in Lamb shift spectroscopy of muonic hydrogen with a significantly improved precision. However, they discovered that this determination differs from the well-accepted CODATA value by 5.6 standard deviation. This discovery is named the “proton radius puzzle”, and attracted interests of many physicists. Inspired by this work, the CREMA Collaboration extended their experiments in muonic hydrogen to a series of light muonic atoms/ions, including
Citation: | Chen JI. Application of Photonuclear Reaction to Evaluating Nuclear Polarizability in Muonic Atoms[J]. Nuclear Physics Review, 2020, 37(3): 605-610. doi: 10.11804/NuclPhysRev.37.2019CNPC56 |