我们知道$ {\text{π}}^{+} $的价夸克由一个u夸克和一个反d夸克构成,因此可以用算符$ \overline{d}_x\gamma_5u_x $来表示$ {\text{π}}^{+} $介子:
这里略写了Dirac指标和色指标。这个算符的厄密共轭为
K介子与$ {\rm{{\text{π}}}}$介子类似,将$ {\rm{{\text{π}}}}$介子中的反d夸克换成反s夸克即可得到K介子算符:$ K^{+}(x) = \overline{s}_x\gamma_5u_x $。下面我们将以$ {\rm{{\text{π}}}}$介子为例说明介子质量的计算过程。
$ {\rm{{\text{π}}}}$介子的关联函数的定义为
这里$ a $和$ b $表示色指标。式(12)的第二行表示对理论的所有规范场$ U $和所有费米子场$ F $求期望值,第三行是利用了Wick定理将对费米子场的期望值写成了相应费米子场的缩并,Tr表示对Dirac旋量指标求迹。这里的费米子场缩并(又称夸克传播子)实际上就是理论中费米子场矩阵的逆。由于费米子矩阵是一个巨大的稀疏矩阵,因此要完全计算它的逆矩阵在数值上几乎是不可能的,但是费米子矩阵的逆矩阵的特定矩阵元可以通过数值方法计算。
我们把夸克场的所有指标统一记为$ A,B,C,\cdots $, 这里的A包括了Dirac指标$ \alpha $,色指标$ a $和时空指标$ (t,{{x}}) $,我们要求的夸克传播子为
上述矩阵元可以通过设定点源,然后求解线性方程得到。定义除了在给定点B之外都等于零的源场$ \phi^{(B)}_{A} $:
这里的$ \delta_{A;B} $表示一系列Kronecker符号的乘积。如果以$ \phi^{(B)} $为源求解线性方程
这个线性方程的解$ X^{(B)} $就是我们要求的传播子[11]
最为简单的零动量的$ {\rm{{\text{π}}}}$介子关联函数经过设源求解线性方程之后可以用线性方程的解表达为式(17)的形式,因此它的数值可以由Monte Carlo计算获得。
另一方面,假定$ \tau = t-t_0>0 $,有
这里的$ \left| \varOmega_n\right\rangle,n = 0,1,\cdots $表示哈密顿量H的一组完备的能量本征态,其能量本征值记为$ E_n $,即$ H\left| \varOmega_n\right\rangle = E_n\left| \varOmega_n\right\rangle $,$ T $为格点上时间方向总长度。 我们约定$ \left| \varOmega_{n = 0}\right\rangle $。对应于QCD真空并且取$ E_0 = 0 $,同时假设其余的能量已经按照n的顺序排列好,即$ 0 = E_0<E_1<E_2\cdots $。
对于$ {\rm{{\text{π}}}}$介子的关联函数,在两个算符之间再插入一组完备的基,得到
因为所有其他$ n\neq 0 $的态都具有比QCD真空更高的能量,上式说明所有这些态的贡献无论是沿着正的$ \tau $方向,还是沿着负的$ \tau $方向一定都是指数衰减的。一般而言,因为$ \left| \langle \varOmega_0\left| \widetilde{{\text{π}}}^{+}(0,{0})\right| \varOmega_0\rangle \right| = 0 $,所以$ n = m = 0 $的项是没有贡献的。所以衰减最慢的项是$ n = 0,\; m = 1 {\text{和}} $$ n = 1,\; m = 0 $的项,即
对于像$ {\rm{{\text{π}}}}$介子这样的强子,它的关联函数对于$ \tau $的依赖是一个双曲余弦的形式,对称点在时间方向的一半,即$ T/2 $的地方。我们可以对Monte Carlo数值模拟中计算得到的$ C^{\text{π}}(\tau) $进行拟合从而获得$ E_1 $的中心值及其误差。
在格点QCD中,我们经常构造一个被称为有效质量的“物理量”,它的具体结构如下:
可以证明,如果$ C^{\text{π}}(\tau) $严格具有双曲余弦的形式,那么这样构造的$ R(\tau) $应当是一个不依赖于$ \tau $的常数$ \cosh(E_1) $。 因此我们可以构造有效质量$ m_{\rm eff}(\tau) $如下:
在上一节中我们提到组态之间可能存在自关联,可以通过对样本做bin之后的误差变化来观察是否存在自关联。假设原有$ N $个样本,对这些样本每$ n $个取平均值,得到$ N/n $个新的样本,$ n $就是Bin size。图4中展示了$ {\rm{{\text{π}}}}$介子的两点关联函数的误差随Bin size的变化趋势,图中横轴是Bin size,纵轴是$ {\rm{{\text{π}}}}$介子两点关联函数在时间$ \tau \!=\! 10 $的误差和信号的比值,即$ \delta C^{\text{π}}(\tau \!=\! 10)/ C^{\text{π}}(\tau \!=\! 10) $。可以看到,随着Bin size的增大,误差一直在增大,直到Bin size等于10左右,趋于稳定。这说明我们产生的组态存在自关联,自关联长度约为10。因此我们取Bin size为10,对原始样本做bin之后来对$ {\rm{{\text{π}}}}$介子的关联函数进行分析。我们总共产生了548个组态,bin之后的样本数为54。
图5是对$ {\rm{{\text{π}}}}$介子的关联函数$ C^{\text{π}}(\tau) $按照$ \cosh $函数形式,即式(20),进行拟合得到的拟合曲线。拟合得到的能量$ aE \!=\! 0.117\pm0.002 $,根据上一节定的格距$ a \!=\! 0.105 $ fm,得到$ {\text{π}}$介子质量为$ (220\pm3) $ MeV。类似地,对K介子关联函数进行拟合,如图6所示,得到K介子质量为$ (490\pm 1) $ MeV,与物理的K介子质量接近。在图7和图8中分别给出了$ {\rm{{\text{π}}}}$介子和K介子的有效质量图。对有效质量做常数拟合得到的$ {\rm{{\text{π}}}}$介子和K介子与用$ \cosh $函数形式拟合关联函数得到的结果相同。