β-decay Properties of Waiting-point Nuclei in an Improved pn-QRPA Model

快中子俘获过程(r-过程)是宇宙中合成重元素的重要方式之一，合成了约半数比铁更重的元素^[1-5]。它主要发生在丰中子的环境中，种子核快速俘获大量中子，形成不稳定的丰中子核素，进而通过β衰变产生重元素。r-过程路径是核天体物理重要的研究内容，和β衰变寿命、原子核质量、中子俘获截面等核物理性质密切相关。近年来，得益于实验技术的快速发展，不稳定原子核物理性质的实验研究取得了重要进展，对$ N = 82 $附近r-过程等待点原子核进行了初步的实验研究，得到了有价值的研究成果 ^[6-7]，但对$N = 126$附近r-过程等待点原子核物理性质的实验研究还非常稀少。因此，提出可靠的理论模型研究实验上未知的等待点原子核的β衰变性质具有重要的物理意义，相关理论结果可以为研究宇宙中重元素起源提供重要的核数据输入。

为了研究β衰变，前人提出过多个理论模型，包括Gross模型^[8-9]，半Gross模型^[10]，经验公式^[11-12]、壳模型^[13-15]、准粒子无规相位近似(QRPA)^[16-21]等。在文献[22]中，本文作者(倪冬冬和任中洲)在质子-中子准粒子无规相位近似(pn-QRPA)的框架内研究了 $N = 50$和$N = 82$ 处原子核的β衰变，不仅考虑了中子-中子和质子-质子关联，还考虑了质子-中子关联。之后，在文献[23-26]中，pn-QRPA 模型被进一步推广到形变核，研究了丰中子 Kr, Sr, Zr, Mo 同位素β 衰变，缺中子Pa, U, Np, Pu 同位素α衰变 和 β衰变的相互竞争等。

对于容许Gamow-Teller(GT)跃迁，pn-QRPA计算结果主要取决于两个相互作用强度参数。在本文中，我们提出了一个改进的pn-QRPA 模型，具有中子数$ N $和质子数$ Z $依赖的新相互作用强度参数，旨在对满壳$N = 50$, $N = 82$和$N = 126$附近等待点原子核β衰变寿命提供改进的理论计算结果。本文的其余部分组织如下：第二节给出改进的pn-QRPA模型。第三节利用改进的pn-QRPA模型研究实验上已知和未知的等待点原子核β衰变。第四节对工作进行总结。本文采用自然单位$\hbar = c = m_e = 1$。

原子核β衰变半衰期可利用下式计算得到：

其中$ g $是弱相互作用耦合常数，满足$2\pi ^{3}\ln 2/g^{2} =$4143 s^[17]。$ E_0 $和$ E_{\rm f} $分别是β粒子最大能量和子核的激发能，满足能量关系$E_0 = Q_{{{{\beta }}}} -E_{\rm f}$。$Q_{{{\beta }}}$是β衰变能，$ f(Z, R, E_{0}) $是费米积分函数^[27]

其中：$ E $是β粒子的总能量；$ Z $和$ R $是质子数和子核半径；$ F(Z,\,R,\,E) $是描述β粒子和余核之间库仑相互作用的费米函数^[28-29]。$ B(J^{\pi}, E_{\rm f}) $表示β衰变约化跃迁矩阵元，也叫β衰变强度函数。$ J^{\pi} $表示母核的自旋宇称。

在本文中，我们利用pn-QRPA模型计算原子核β衰变的约化跃迁矩阵元。pn-QRPA模型的哈密顿量、模型参数和约化跃迁矩阵元计算细节详见文献[30]。本文的工作主要集中在pn-QRPA模型中粒子-粒子和粒子-空穴相互作用的选取上。

根据文献[31-33]，对于容许GT跃迁，pn-QRPA模型如果选$ \delta $形式的相互作用，那模型的计算结果主要取决于两个相互作用强度参数，$ g_{\rm{ph}} $=$ -( g_{0}^{\rm{ph}}+g_{1}^{\rm{ph}} )/(4\pi) $ 和$ g_{\rm{pp}} $=$ -g^{\rm{pp}}_{1}/(4\pi) $。这里$ g^{\rm{ph}}_{0} $和$ g^{\rm{ph}}_{1} $是分别是$(S, T) = $$ (1, 0)$和$ (0, 1) $通道上的粒子-空穴相互作用强度，$ g^{\rm{pp}}_{1} $是$(S, T) = (1, 0)$通道上的粒子-粒子相互作用强度。为了后续计算方便，在本文中粒子-空穴、粒子-粒子相互作用强度的表达式与文献[30]中式(13)、(14)略有不同，在$ g_{\rm{ph}} $和$ g_{\rm{pp}} $定义中引入系数$ -{1}/{(4\pi)} $。$ g_{\rm{ph}} $和$ g_{\rm{pp}} $的数值选取对准确计算原子核β衰变半衰期至关重要。为了准确描述r-过程等待点核素的β衰变半衰期，我们对$ g_{\rm{ph}} $和$ g_{\rm{pp}} $进行了拟合。以 ¹³⁰Cd 为例。图1(a)清楚地表明，¹³⁰Cd的β衰变半衰期理论值对 粒子-空穴相互作用强度$ g_{\rm{ph}} $有较强的依赖关系。

文献[34-36]指出，可以利用Gamow-Teller巨共振(GTGR)位置确定$ g_{\rm{ph}} $的数值。理论上，为了拟合³²S到²⁰⁸Pb多个核素的GTGR位置实验值^[37-43]，我们假设$ g_{\rm{ph}} $与质子数$ Z $和中子数$ N $满足如下关系

其中$ N $、$ Z $分别表示母核中子数、质子数。我们选取⁴⁸Ca，⁹⁵Zr，²⁰⁸Pb等三个核素验证方程(3)的可靠性。通过计算，得到⁴⁸Ca，⁹⁵Zr，²⁰⁸Pb的GTGR位置分别为10.46, 7.04, 19.09 MeV，而相应的实验值为$10(4.5\sim14.5)$^[39]，$9(6\sim10)$ ^[40]，$ (15.6\pm 0.2) $MeV^[41]，说明方程(3)给出的$ g_{\rm{ph}} $可以较好地重复出GTGR位置的实验值。

接下来确定$ g_{\rm{pp}} $的取值。利用原子核β衰变半衰期实验值，我们拟合了$ g_{\rm{pp}} $随中子数和质子数的变化

从图1(b)可以看出，β衰变半衰期随$ g_{\rm{pp}} $的变化关系大致在$g_{\rm{pp}} = 25\, {\rm{MeV}\boldsymbol\cdot{\rm fm}}^3$左右存在一个跃变。这是由于$ g_{\rm{pp}} $过大，导致在数值求解pn-QRPA方程时出现非物理解。我们的研究主要关心满壳层$N = 50$，$N = 82$，$N = 126$附近r-过程等待点原子核，利用式(4)得到的$ g_{\rm{pp}} $总是小于跃变点。

利用改进的pn-QRPA模型，我们首先计算了满壳层$N = 28$，$N = 50$，$N = 82$，$N = 126$附近的偶偶核的β衰变半衰期，并与实验数据和其他理论结果进行比较。在计算β衰变半衰期时，$ Q_{\beta} $值取自参考文献[44]。与实验值的比较结果参见图2，易知改进的pn-QRPA模型的计算结果和实验值之间的差别绝大部分 在一个数量级以内，部分结果和实验值的偏差甚至在半个数量级以内。个别几个点偏差超过一个数量级，如⁴⁴Ar和²⁰⁸Hg，其原因值得后续深入细致的研究。理论结果与实验值之间的平均偏差和均方根偏差分别为

其中：$ K $是计算数据个数；$ T^{\rm{exp}}_{1/2} $是β衰变半衰期实验值；$ T^{\rm{th}}_{1/2} $是β衰变半衰期理论值。平均偏差$S_{1} = 0.48$表示实验值和理论值之间的偏差在3倍以内。最近美国国家超导回旋加速器实验室(NSCL)测得原子核¹⁰²Zr的β衰变半衰期为2.01 s^[45]，我们利用改进的pn-QRPA模型理论计算了其β衰变半衰期为1.624 s，与最新实验数据的对数比小于$ 0.1 $，进一步检验了改进的pn-QRPA模型的可靠性。

表1列出了改进的pn-QRPA模型给出的满壳附近原子核β衰变半衰期的理论结果。其中第一列表示核素的质量数，第二列表示核素质子数($ Z $)，第三列是改进的pn-QRPA模型给出的β衰变半衰期，第四列至第七列分别是原先的pn-QRPA(记为Ref. [30])、远离稳定线β衰变半衰期新经验公式(记为EF)，FRDM+QRPA(记为FRDM)，ETFSI+QRPA(记为ETFSI)的理论计算结果，第八列表示β衰变半衰期实验值^[44]。

为了利用改进的pn-QRPA模型计算实验上未知的远离稳定线丰中子偶偶核β衰变强度函数和β衰变半衰期，需要首先合理选取β衰变能$Q_\beta$，其决定了β衰变强度函数中β衰变的窗口。图3给出了⁷⁸Ni的β衰变半衰期理论值与$Q_{\beta}$的依赖关系，可见$Q_{\beta}$值的选取对于β衰变半衰期有较大的影响。

我们利用Duflo-Zuker质量模型来计算原子核β衰变能$Q_\beta$^[46]。首先利用Duflo-Zuker质量模型计算$N = 28$，$N = 50$，$N = 82$，$N = 126$附近已知原子核的β衰变能，并同实验数据进行比较，其均方根偏差 仅为0.69，相较于3.1节所计算的均方根差别不大，说明结合Duflo-Zuker质量模型的计算是可靠的。微小变化的原因可能是Duflo-Zuker质量模型的误差所带来的。但是由于计算β衰变半衰期的复杂性，其偏差对于β衰变来说是可以接受的。结合Duflo-Zuker质量模型给出的β衰变能，我们利用改进的pn-QRPA模型再次计算$N = 28$，$N = 50$，$N = 82$，$N = 126$附近已知原子核的β衰变半衰期。

根据图4易知，理论计算结果和实验数据符合较好。对于图中个别偏差较大的数据点，可从如下几个方面进行解释：(1) 对于β衰变半衰期较长的原子核，其半衰期受禁戒跃迁的影响较大，而在本文工作中只考虑了GT跃迁，没有计入禁戒跃迁的影响。(2) 相比$Q_\beta$实验值，Duflo-Zuker质量模型预言的$Q_\beta$理论值存在误差，会对半衰期计算产生影响。

我们进一步利用pn-QRPA模型来预言实验上未知的r-过程等待点原子核β衰变半衰期。相关理论结果参见表2。其中，第一列代表核素的质量数，第二列代表核素的名称，第三列代表本工作的理论预测，第四列至第八列分别代表其他几种方法的理论预测：原先的pn-QRPA^[30]，FRDM+QRPA^[47]，HFB+QRPA^[48]，ETFSI+QRPA^[18]和壳模型^[49]。

图5给出了利用改进的pn-QRPA模型计算的$N = 50$，$N = 82$，$N = 126$附近已知和未知的等待点原子核的β衰变半衰期理论结果，并与HFB+QRPA(记为HFB)^[48]，ETFSI+QRPA(记为ETFSI)^[18]，FRDM+QRPA(记为FRDM)^[47]，壳模型(记为SM)^[49]，原先的pn-QRPA^[30]等其他理论结果进行比较。对于有实验数据$ A = 76 $，$ A = 78 $，$ A = 80 $，$ A = 130 $和 $ A = 132 $的几个原子核，与原有模型相比，本文计算结果与实验值符合更好，最大偏差小于半个数量级。当 $N = 82$ 时，我们的结果与其他模型的结果基本一致。

本文利用改进的pn-QRPA模型研究了满壳层附近核子的β衰变性质，并结合Duflo-Zuker质量模型预言了$N = 50$，$N = 82$，$N = 126$附近未知的r-过程等待点核的β衰变半衰期。相比之前的工作，改进的pn-QRPA模型引入了中子数和质子数依赖的新的粒子-粒子和粒子-空穴相互作用形式，发现利用改进的pn-QRPA模型得到的计算结果与实验结果符合较好，可以可靠给出原子核β衰变半衰期。我们利用pn-QRPA模型进一步预言了满壳附近实验上未知的r-过程等待点原子核的β衰变半衰期，相关计算结果对r-过程的理论研究有参考价值。