The Influence of the Momentum Dependence Potential on the Directed Flow and Elliptic Flow

动量相关势来源于核子-核子相互作用的交换项，其对于合理地描写重离子碰撞的集体流十分重要^[1-4]。目前，重离子碰撞相关输运模型中常用的动量相关势可以分为三种形式^[5]。第一种是平方形式的动量相关势，其来源于Skyrme相互作用，能够用来研究Skyrme能量密度泛函与核子有效质量劈裂等问题，该形式适用范围为300 AMeV以内的重离子碰撞^[6]。第二种是对数形式的唯象动量相关势，这种动量相关势是通过符合1983年Arnold等^[7]给出的核子与核反应的光学势实验数据得到的。通过极端相对论量子分子动力学(UrQMD)模型分析和研究中子、质子和氢同位素集体流时采用了第二种形式的动量相关势^[8]。第三种是Lorentz形式的动量相关势。此形式的动量相关势是根据1991年Hama等^[9]的光学势实验数据计算得到的。由于Hama等提供的实验数据更为丰富，能量范围更宽，因此被很多模型采用，如T$ \ddot{u} $QMD模型，IBUU模型，$ \chi $BUU模型等^[10-12]。需要注意的是在粒子动能大于155 MeV条件下第三种形式的动量相关势对于动量的依赖比第二种形式的动量相关势要强。近年来基于第二种和第三种动量相关势，也发展出相应的同位旋依赖的动量相关势^[13-17]，并研究了其对于对称能约束的影响。考虑到不同输运模型所采用的动量相关势存在差异，理解这些差异对于重离子碰撞观测量的描写、状态方程的约束等的影响是非常必要的。

本文将在UrQMD模型的框架下，研究两种动量相关势对于0.4 AGeV Au+Au碰撞中发射的中子、质子、氢同位素和带电荷粒子的直接流$ v_1 $和椭圆流$ v_2 $的影响。在研究中，我们仔细分析碰撞参数的影响，并采用与实验相同的中心度处理方式来计算集体流。全文安排如下：第二节，对UrQMD模型及两种不同强度的动量相关势进行介绍；第三节，分析集体流形成机制和动量相关势对集体流造成的影响；最后一节是总结。

在UrQMD模型框架下，核子用具有一定宽度的高斯波包来表示，其时间演化由平均场和碰撞项共同决定^{[2, 5]}。

平均场作用下，粒子的波包中心坐标$ {r}_{i} $及动量$ {p}_{i} $的时间演化遵循哈密顿运动方程：

其中：H是体系哈密顿量，由动能T和有效相互作用势能U组成。其中，动能$ T = \sum_i( \sqrt{m_i^2+p_i^2}-m_i) $，$ m_i $为粒子质量，势能U可根据能量密度泛函计算^[18]。势能能量密度泛函可表示为如下形式：

其中：第一项为两体项；第二项为三体项；第三和第四项分别为表面项和表面对称项。两体项和三体项相关参数$ \alpha $，$ \beta $，$ \gamma $由饱和点密度处核物质状态方程基本性质决定，具体数值见表1。表面项系数$ g_{\rm{sur}} = 19.5\; {\rm{MeV}}\cdot{{\rm{fm}}^{-2}} $，表面项同位旋系数$ g_{\rm{sur,iso}} = -11.3\; {\rm{MeV}}\cdot{{\rm{fm}}^{-2}} $。$ \rho_0 $为饱和密度，$ \rho $为核子密度，$ \rho = \rho_{\rm{n}}+\rho_{\rm{p}} $。$ u_{\rm{md}} $为动量相关势能密度，$ u_{\rm{sym}} $为对称势能密度。

首先来看动量相关势能密度$ u_{\rm{md}} $，其可由动量相关相互作用$ v_{\rm{md}} $根据如下积分给出^[19]：

其中$ f_1(r,p) $和$ f_2(r,p^{\prime}) $分别指代1粒子和2粒子的相空间分布函数。假设动量相关相互作用$ v_{\rm{md}} $表示为$ v_{\rm{md}}(|{\boldsymbol{\Delta}} p|) = t_4\ln^2(1+t_5(|{{\boldsymbol{p}}}-{{\boldsymbol{p}}}^{\prime}|)^2)+c $。根据下式

可以计算光学势$ V_{\rm{md}}(p) $，式中分母归一化因子代表粒子数，其物理来源为单粒子势的计算方法。$p^{}_{\rm{F}}$为费米动量，可表示为$p^{}_{\rm{F}} = \hbar(3\pi^2\rho)$。通过(4)式拟合Arnold或Hama的光学势实验数据^[20]，可以给出参数$ t_4 $，$ t_5 $和$ c $的数值，具体数值见表1。

在图1中我们展示了动量相关相互作用及光学势实验数据。绿色方块表示Arnold的光学势实验数据$ V_{\rm{md}}^{\rm{Arnold}} $，绿色虚线表示动量相关相互作用$ v_{\rm{md}}^{\rm{Arnold}} $随动能的变化情况^[7]。红色圆形表示Hama光学势实验数据$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $，红色实线为动量相关相互作用$ v_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $的变化情况^[9]。计算结果显示动量相关相互作用的数值与动量相关势的数值十分接近，这与文献[20]的结论一致。在动能$ E_{\rm{kin}} $大于$ 155 $ MeV情况下，$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $高于$ V_{\rm{md}}^{\rm{Arnold}} $，这意味着$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $可以提供更强的排斥作用。

对于核物质而言，动量相关势能对每核子能量的贡献可以表示为^[20]

零温时对称核物质每核子能量可表示为

在本文的计算中，不可压缩系数$ K_0 $调整为231 MeV，此值在巨共振与椭圆流等观测量约束出的不可压缩系数合理范围内^{[5, 21-22]}。式中相关参数数值见表1。

其次是对称势能密度部分，其可表示为$ u_{\rm{sym}} = $$ S^{\rm{pot}}_{\rm{sym}}(\rho)\rho\delta^2 $。式中$ S^{\rm{pot}}_{\rm{sym}}(\rho) $为对称能的密度依赖形式，可表示为$ S^{\rm{pot}}_{\rm{sym}}(\rho) = \frac{C_{\rm{sym}}}{2}(\frac{\rho}{\rho_0})^{\gamma_{\rm{sym}}} $，其中$ C_{\rm{sym}} = $40 MeV，$ \gamma_{\rm{sym}} = $$ 0.5 $。该形式下饱和点密度处对称能大小为32.5 MeV，对称能斜率为54 MeV。

在QMD类模型中，两粒子动量相关势能则要根据粒子的相空间分布函数来计算，比如：

其中：$g^{}_{i}({{\boldsymbol{p}}})$为第$ i $个粒子的动量分布，可表示为$g^{}_{i}({{\boldsymbol{p}}}) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2_p)^{3/2}}{\rm{e}}^{-\frac{({{\boldsymbol{p}}}-{{\boldsymbol{p}}}_i)^2}{2\sigma_p^2}}$；$ \rho_{ij} $为$ i,\; j $两粒子的相互作用密度分布，可表示为$ \rho_{ij} = \frac{1}{(2\pi\sigma_r^2)^{3/2}}{\rm{e}}^{-\frac{ ({{\boldsymbol{r}}}_{i}-{{\boldsymbol{r}}}_{j})^2}{2\sigma_r^2}} $；$ \sigma_r $和$ \sigma_p $分别为粒子在坐标空间和动量空间的波包宽度，二者满足最小测不准关系$ \sigma_r.\sigma_p = \frac{\hbar}{2} $。积分后两粒子动量相关势能无法得到解析式，只能通过数值求解来实现。

集体流是指中高能重离子碰撞过程中出射粒子的集体运动，这种集体运动表现为出射粒子各个发射方向分布的各向异性。实验中通常利用出射粒子方位角分布的傅里叶展开系数来描述各种集体流的强度^[23-25]

式中$ {N_0} $为发射粒子数；$ \phi $表示发射粒子方位角；$ v_{1} $和$ v_{2} $分别为直接流参数和椭圆流参数，二者可分别表示为如下形式：

其中，$ p_{\rm{t}} = \sqrt{p_x^2+p_y^2} $为粒子横向动量。可以看出，同样$ p_{\rm{t}} $条件下，直接流$ v_{1} $可以反映粒子横动量转移的大小。椭圆流$ v_{2} $更多地体现粒子出射方向的各向异性。

为了更直观地理解集体流的形成过程，图2给出了入射能量为0.4 AGeV的$ { ^{197}{\rm{Au}}+^{197}{\rm{Au}}} $半擦边碰撞($ b = 8 $ fm)中不同时刻粒子坐标和动量的变化情况(两核质心系)。以碰撞参数所在方向为$ x $轴，束流方向为$ z $轴，构建的$ xz $平面为反应平面，$ xy $平面垂直于反应平面并被称为出平面。如图2 (a1)和(b1)所示，在初始阶段弹核及靶核内粒子的动量主要沿束流$ z $方向。初始时刻每个粒子的动量方向和$ z $轴并不完全平行，这是由核子的费米动量造成的。随着时间演化，两原子核发生碰撞，重叠区域内核物质被压缩，密度快速增大并形成高温高密核物质。压缩区域的核物质和旁观者区域(未参与碰撞粒子所在区域)的核物质存在密度差，因此会产生一个从高密到低密的力，使得粒子的动量方向发生改变。另外，原子核碰撞过程中核子- 核子之间发生碰撞，同样也使得粒子动量方向快速变化。在上述机制下，反应体系逐渐膨胀，粒子向外非均匀发射，动力学末态结果如图2(a5)和(b5)所示。

从集体流形成机制可以看出，集体流计算结果与参与者的尺寸形状有关，这意味碰撞参数的大小会影响集体流计算结果^[26]。然而，实验上所选取的中心度对应的事件，其相应的碰撞参数存在一定的分布(碰撞参数的弥散效应)^[27-28]。处理好碰撞参数的弥散效应有利于更可靠地分析动量相关势的变化带来的对集体流的影响。图3给出了碰撞参数分别为2, 4, 6, 8和10 fm的¹⁹⁷Au+¹⁹⁷Au碰撞中发射的中子和带电荷粒子直接流与椭圆流的横动量分布。快度范围为$ -0.5 <y_0<0.5 $，极角范围为$ 37^\circ < \theta<53^\circ $，动量相关势形式为$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $。

图3(a)和(b)展示了直接流$ v_{1} $随$ p_{\rm{t}}/A $变化的曲线。图3(a)为中子的计算结果，图3(b)为带电荷粒子的计算结果，其中带电荷粒子由核子之间的距离和动量差值来判断。可以看到，$ v_{1} $随$ p_{\rm{t}}/A $增加而增加。当$ p_{\rm{t}}/A<0.48 $ GeV/$ c $时，$ v_{1} $为负值；而$ p_{\rm{t}}/A>0.48 $ GeV/$ c $时，$ v_{1} $增加为正值。这是因为小横动量的粒子主要受势场的吸引；而对于横动量足够高的粒子，来源主要是核子- 核子剧烈碰撞所提供的排斥。这种变化规律，随着碰撞参数的增加而变得更为明显，并在$ b = 10 $ fm附近时达到最大。如果碰撞参数继续增大，由于粒子碰撞的剧烈性会减小，导致直接流$ v_1 $数值变小。根据图3(a)和(b)可以看出，中子和带电荷粒子直接流表现出同样的碰撞参数依赖行为。对于带电荷粒子而言，由于包括了轻粒子的贡献，其直接流$ v_{1}^{\rm{ch}} $在低横动量区有一个小幅度的下降。

图3(c)和(d)中展示了不同碰撞参数对应的椭圆流计算结果。椭圆流$ v_{2} $的大小反映了初始坐标空间各向异性向动量空间各向异性转化的能力^[29]。对于擦边碰撞而言，弹核与靶核重叠区域在空间上呈现一种杏仁型，随着时间演化，这种坐标空间分布上的不均匀转化成为动量空间的不均匀。然而在我们所研究的能区，旁观者的遮挡效应依然存在，使得在平面方向发射的粒子数目变少，从而导致在整个横动量区间内$ v_{2} $都小于0。当碰撞参数小于10 fm时，碰撞参数越大，重叠区域的空间分布各向异性越高，导致$ v_{2} $减小(绝对值增大)。

上述计算结果表明考虑碰撞参数的弥散效应对于可靠计算粒子集体流来说非常重要。ASY-EOS实验采用了初始旁观者体系电荷数($ Z_{\rm{bound}} $)和横向与纵向电荷比值(ZRAT)的方法来划分碰撞事件的中心度^[30]。基于$ Z_{\rm{bound}} $对中心度的区分，文献[30]给出了通过UrQMD模型计算集体流时所需的碰撞参数分布范围($ b = 2\sim 10 $ fm)以及相应的权重，其具体数值如表2所列。为与实验条件一致，本文基于文献[30]中给出的碰撞参数分布情况及其相应的碰撞参数的权重，计算了各粒子$ v_{1} $和$ v_{2} $，计算方式如下

其中：$ b $表示碰撞参数大小；$ w_b $是指碰撞参数为b时对应的权重因子，由碰撞参数分布决定。在此基础上，我们分析了动量相关势对中子、质子、氢同位素和带电荷粒子等四种粒子直接流与椭圆流的影响。

图4(a~d)分别给出了两种不同强度动量相关势条件下中子、质子、氢同位素和带电荷粒子等四种粒子直接流$ v_1 $的横动量分布情况。绿色虚线和红色实线分别对应$ V_{\rm{md}}^{\rm{Arnold}} $和$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $理论计算结果，黑色圆点和三角形为ASY-EOS实验数据^[30]。可以看出，动量相关势的变化并未明显改变粒子直接流$ v_1 $的计算结果。原因是在同样的$p_{\rm t}$条件下，$ p_x $反映了粒子在平面方向的动量转移程度。但是由于旁观者遮挡效应的存在，不同动量相关势导致的在平面动量转移差异被抹平。总的来看，两种动量相关势给出的理论计算结果都比较接近实验数据。

图5(a~d)分别展示了中子、质子、氢同位素和带电荷粒子的椭圆流$ v_2 $随出射粒子横动量的变化曲线。绿色虚线代表$ V_{\rm{md}}^{\rm{Arnold}} $计算结果，红色实线代表$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $计算结果，黑色圆形和三角形代表实验数据。可以看到，椭圆流$ v_2<0 $，且其绝对值随$ p_{\rm t} $增大而增大。$ v_2 $小于零的原因主要是由于旁观者的遮挡,势场和核子-核子碰撞导致出射粒子的在平面动量小于出平面的动量。另外，高$p_{\rm t}$的核子更易受碰撞早期核子-核子的剧烈碰撞以及高密势场提供的强排斥影响，导致$ v_2 $随$ p_{\rm t} $增加而减小。由于出平面出射粒子不受遮挡，所以出射粒子的出平面动量对于势场的敏感度得以保留，也使得椭圆流敏感于动量相关势的动量依赖及其强度。在高横动量区域，动量相关势$ V_{\rm{md}}^{\rm{Arnold}} $和$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $所导致的$ v_2 $之间差异增大。通过与实验数据的比较可以看出，$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $对应的椭圆流理论计算结果更加接近实验数据，如图5(a)和(d)所示。

基于极端相对论量子分子动力学(UrQMD)模型，本文分析了不同强度的动量相关势对中子、质子、氢同位素和带电荷粒子等四种粒子直接流$ v_1 $和椭圆流$ v_2 $的影响，旨在厘清动量相关势的差异所引起的理论模型的不确定性。考虑到实验所用到的中心度由多重数确定，其对应的碰撞参数有一定的分布，因此在与实验数据进行可靠的比较时不能简单地用一个碰撞参数来代替。因此，我们在计算中详细分析了各个碰撞参数对于$ v_1 $和$ v_2 $的影响，并在计算中详细地考虑了碰撞参数的弥散效应。进一步，我们分析了两种不同的动量相关势对$ v_1 $和$ v_2 $的影响。结果显示在不可压缩系数一定的情况下，直接流$ v_1 $几乎不敏感于动量相关势强度的变化。而椭圆流$ v_2 $则敏感于动量相关势的动量依赖及其强度，在高动量区域尤为如此。考虑较硬动量相关势$ V_{\rm{md}}^{\rm{Hama}} $后，椭圆流明显增强，更加接近ASY-EOS实验数据。

致谢　本工作的计算部分是在湖州师范学院C3S2服务器上完成的，感谢其大力支持。