Ab initio no-core Shell Model for Nuclear Spectroscopic Factor

原子核反应是研究原子核结构的重要实验手段，其中转移反应、敲出反应等对于认识原子核结构扮演着非常重要的作用。随着加速器技术以及探测器技术的发展，人们对原子核性质的认识不断从$\beta$稳定线附近的原子核扩展到滴线区原子核。对于滴线区原子核性质的研究，当前通常利用转移反应或者敲出反应获得目标原子核，并通过核子发射或衰变构建原子核可观测量^[1-2]。在核反应研究中，实验上的主要观测量为反应截面$ \sigma $，有关核结构的信息可以通过截面提取。原子核谱因子(Spectroscopic Factor, SF)是联系核结构与核反应的物理量，它描述原子核多体波函数之间的组态混合，反映关于给定的单粒子轨道的性质和占据数情况^{[1, 3]}。 转移和敲出核子的谱因子一直是实验研究的焦点^{[2, 4-9]}，获得原子核各能级的谱因子对了解原子核的结构有重要意义^[10]。同时，原子核谱因子也是核天体物理中非常重要的物理量，在研究恒星燃烧过程中，单个核子的捕获[(p, $ \gamma $)或(n, $ \gamma $)]和发射具有重要的作用^[11-12]。

当前的核反应理论将转移反应或者敲出反应截面定义为 ^{[2, 11]}

其中：$ \sigma_{\rm total} $为转移或敲出反应的总反应截面；$ \sigma_{{\rm{s p}}}\left(n \ell j\right) $是采用扭曲波玻恩近似(Distorted-Wave Born Approximation, DWBA)理论拟合实验中转移或敲出单个核子对应的角分布实验结果得到的单粒子截面；$ C^{2} S(n \ell j) $为谱因子。实验上对于原子核谱因子的测量主要通过测量单核子转移或敲出反应的总反应截面$ \sigma_{\rm total} $与理论的单粒子反应截面的比值$ \sigma_{{\rm{sp}}} $得到，其中单粒子截面的计算通常依赖于选取的光学势参数^[11]。理论上对于原子核转移或者敲出反应的计算需要利用核结构多体方法计算原子核谱因子。当前的核反应理论计算的转移反应或敲出反应结果与实验数据存在较大的差异^[13-15]。在核结构研究中，谱因子计算引起了较大的关注。原子核谱因子的理论计算结果对原子核波函数很敏感，因此，在实际计算中，我们通常需要获得精确的原子核多体波函数。谱因子的计算通常选择普通壳模型(Shell Model, SM)^{[2, 13-14]}。普通壳模型选择双幻核为核芯，在较小的模型空间内构建有效哈密顿量，计算原子核性质。普通壳模型可以对原子核低激发谱性质给出较好的描述，然后，利用构建的有效哈密顿量计算对应的原子核多体波函数，求解原子核谱因子。普通壳模型已成功应用于计算谱因子，研究原子核性质，如中子数$ N=8 $附近原子核中闯入态占据^{[5, 7, 16]}，$^{29,\, 31}{\rm{Ne}}$单中子晕核结构^[17-19]。

随着超级计算机计算能力的不断提高以及原子核多体方法的改进，从第一性原理出发，利用精确的原子核多体方法描述原子核的性质成为当前核理论最前沿的研究方向之一。第一性原理计算在原子核性质的描述中也取得巨大的成功^[20-24]。基于现实核力的第一性原理计算对原子核结构可以给出很好的描述，并且对原子核性质具有较好的预言能力，为我们更加深入研究原子核性质提供新的途径。无核芯壳模型(No-core Shell Model, NCSM)是普通壳模型的扩展，从现实的核子-核子相互作用出发，考虑原子核A体系统中所有核子自由度，利用组态混合相互作用方法精确求解原子核哈密顿量^{[20, 24-25]}。第一性原理无核芯壳模型已在较轻原子核性质的描述中取得成功，例如解释$ ^{14}{\rm{C}} $ $ \text { β} $衰变的奇异现象^[26]，$ ^{10}{\rm{B}} $基态中较强的三体力效应^[27]以及$ A=4， $ T = 1同位旋多重态性质^[24]等。

本文利用第一性原理无核芯壳模型(简称无核芯壳模型)计算轻核区原子核的能谱，并将其应用于计算p壳较轻原子核的谱因子。 本文将首先介绍无核芯壳模型理论框架以及叠积函数与谱因子的定义，然后，我们将无核芯壳模型应用于计算$ A =6 $和$ 7 $原子核的激发态能量，并将计算结果与普通壳模型结果以及实验结果比较，同时研究无核芯壳模型计算的收敛性。最后，应用无核芯壳模型对$A =6,\, 7,\, 8$ 原子核低激发态能量与谱因子进行系统计算，并重点分析$ ^{7}{\rm{Li}} $与$ ^{7}{\rm{Be}} $的叠积函数与谱因子性质。

原子核是由中子和质子构成的A体系统，其内禀的$ A $体哈密顿量写为

其中：$ \hat{T} $和$ \hat{V} $分别表示原子核中核子的动能和势能；$ m $是核子质量；$ \widehat{V}_{{\rm{N N}}} $与$ \widehat{V}_{{\rm{NNN}}} $分别是现实两体与三体相互作用。原则上，三体甚至四体相互作用都应该包含在哈密顿量中，在实际计算中，通常忽略多体力的贡献。本工作中忽略三体及以上多体核力的效应，仅考虑两体相互作用。对于两体相互作用，将采用Daejeon16 核力，该核力由手征两体相互作用(N$ ^3 {\rm{LO}}$)经过相似重整化(Similarity Renormalization Group, SRG)和相等效变化方法得到，可以在不考虑三体力的情况下对轻核区原子核的性质给出很好的描述^[28]。

第一性原理无核芯壳模型通过构建原子核多体哈密顿量将量子多体问题转换为一个有限哈密顿矩阵的特征值问题，相比普通壳模型的优势在于：(1) 没有核芯，考虑了原子核A体系统中每个核子的自由度，考虑了核芯激发的影响；(2) 基于现实的核子-核子相互作用，不需要拟合实验值，可以自洽地求解原子核多体系统。在无核芯壳模型计算中，基矢空间的选取是任意的，只需满足完备性关系即可，一般情况下选择具有解析性和对称性的谐振子基矢(Harmonic-Oscillator basis, HO)^[20]。 在实际的计算中，由于计算量的限制，通常选取有限的谐振子单粒子波函数。

在无核芯壳模型计算中，矩阵的维数随着核子数的增加爆炸式增长，通常需要不断地增大构建的模型空间$ N_{\rm max} $检验计算的收敛性^[29-30]。在谐振子基矢对应的单粒子轨道中，核子依次填充到费米面，$ N_{\rm max} $截断表示在谐振子基矢中允许所有核子激发的最大能量为$E_{\rm max} = N_{\rm max} \hbar w$，其中，$ \hbar w $为谐振子频率^[20]。由于目前大型超级计算机内存的限制，无核芯壳模型只能对核子数$A \leqslant 16$的原子核给出接近收敛的计算结果^[20]。

原子核转移或者敲出反应一般认为是将靶核中位于单粒子轨道$ i $上的单个核子(质子或者中子)转移或敲出，对应的物理图像如图1中所示。记靶核的多体波函数为$ \varPsi_{A}^{J_A} $，转移或者敲出单核子后子核的多体波函数表示为$ \varPsi_{A-1}^{J_{A-1}} $，其中$ J_A $与$ J_{A-1} $表示靶核与子核所处能级的总角动量。 分别将反应前后原子核的状态标记为$ \alpha $与$ \beta $。转移或者敲出反应过程可以分为两步：(1) 处于定态$ \alpha $的靶核中，单粒子轨道$ i $上的核子被入射核转移或者敲出, 对应的单核子反应截面为$\sigma^{n \ell j}_{\alpha,\; {\rm{sp}}}$；(2) 子核将退激到定态$ \beta $，反应的概率表示为$\big\langle\varPsi^{J_{A-1}}_{A-1}||a_{\ell j}||\varPsi^{J_{A}}_{A}\big\rangle^2$。原子核中核子按照泡利不相容原理排布在不同的单粒子轨道上，单核子转移或者敲出后的子核将处于不同的能级上，同时转移或者敲出的单核子也需要满足对应的动量分布。单粒子轨道上占据的核子数越多，转移或者敲出对应轨道的单核子越容易，核子转移或敲出反应截面通常与轨道的粒子数占据相关。

我们将上述过程(2)中反应的概率随径向半径$ r $相关的函数称为叠积函数(Overlap Function)^[31-33]，其定义可以表示为

其中$ |\varPsi^{J_A}_A\rangle $和$ |\varPsi^{J_{A-1}}_{A-1}\rangle $分别是A核子系统和A-1核子系统的定态波函数，$ |n_i \ell j \rangle $ 表示单粒子波函数。在无核芯壳模型计算中，对于某个分波$ \ell j $，通常包含多条$ n_i\ell j $单粒子轨道。然而在普通壳模型计算中，通常只包含模型空间内的一条$ \ell j $单粒子轨道，对应式(3)中$ \langle \varPsi_A^{J_A}||a_{n_i \ell j}^{\dagger}|| \varPsi_{A-1}^{J_{A-1}}\rangle $只有一个对应的矩阵元。无核芯壳模型中对于叠积函数的计算克服了普通壳模型的缺点，使得计算的结果对于基矢的依赖性减弱。叠积函数不是厄米哈密顿量的本征值，同时也无法表征核反应的反应几率，而且叠积函数也不是归一化的函数。因此，需要引入谱因子，其定义表示为

其数值可能大于1。在壳模型的计算中，谱因子$ C^2S $的计算结果是模型依赖的，壳模型计算结果对相互作用与组态空间的截断方式比较敏感。

通过无核芯壳模型计算得到的谱因子结果可以与实验测量中根据式(1)获得的谱因子结果相比较。同时也可以根据式(1)中的定义，将计算的谱因子与DWBA计算的$ \sigma_{{\rm{sp}}} $结合研究计算原子核转移或者敲出反应截面^[14-15]。另外，谱因子也能反映靶核的粒子数占据情况。单粒子轨道上粒子数占据越多，对应的转移或者敲出反应的截面越大，通过式(1)求得的谱因子也将越大。理想的情况下，单核子被转移或敲出后布居子核所有可能的能级，对应的谱因子数值的总和应该等于对应的核子数。然而在实际实验研究中，转移或者敲出的子核只能布居到个别低激发态上，所以谱因子的求和通常小于对应的核子总数^[1] 。

首先，利用无核芯壳模型计算了$ A=6 $和$ 7 $原子核的低激发谱能量。基于Daejeon16现实核力，对于$ ^{6} {\rm{ He }} $, $ ^{6, 7} {\rm{ Be }} $, $ ^7 {\rm{ Li }} $的无核芯壳模型的计算结果如图2中所示，对于Daejeon16核力，谐振子基矢选择$ \hbar w = 15 $ MeV。 首先，探究能量随着模型空间增大的收敛性，对于$ ^{6} {\rm{ He }} $与$ ^{6} {\rm{ Be }} $的计算，无核芯壳模型在$N_{\rm max} = 0,\, 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, 10,\, 12$的模型空间计算，对于$ ^{7} {\rm{ Be }} $与$ ^{7} {\rm{ Li }} $，选择$N_{\rm max} = 0,\, 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, 10$的模型空间。从图2可以看到，随着$ N_{\rm max} $的增加，计算的$A=6,\, 7$原子核的能量在$N_{\rm max} =10,\, 12$附近逐渐趋于收敛的结果，计算值也与实验符合较好。

无核芯壳模型对于能量的计算，通常可以根据较小模型空间下的计算结果，利用指数形式的函数外推得到模型空间无限大的能量，外推的公式写为

其中：$ A_{0} $、$ A_{1} $和$ A_{2} $为参数；$ N_{\rm max} $为模型空间的截断参数。$A_{0}\equiv E(N_{\rm max} \rightarrow \infty)$，为无核芯壳模型外推到无限大模型空间下的能量。此外推方法的合理性已在文献[30, 34]得到很好的验证。基于前面无核芯壳模型的计算结果，利用式(5)得到的无限大模型空间情况下的能量如图2中所示，标记为Extrap.，外推的不确定性使用误差符号表示。从图中可以看出，对于$ A =6 $ 与 $ 7 $原子核外推能量的数值都分别与$ N_{\rm max} =12 $和$ N_{\rm max} =10 $的结果很接近。对于$ ^{6} {\rm{ He }} $与$ ^{6} {\rm{ Be }} $的基态，无核芯壳模型在$ N_{\rm max} =12 $模型空间计算的能量分别为−29.228和−26.764 MeV，利用从$ N_{\rm max} = 0 \sim 12 $的结果，外推得到的能量分别为−29.467 2(0.185 0)和−27.002 3(0.176 2) MeV，可以看到$ N_{\rm max} =12 $模型空间的计算结果仅与收敛的结果相差约250 keV。 对于$ A =7 $中$ ^{7}{\rm{Li}} $与$ ^{7} {\rm{Be}}$基态能量的无核芯壳模型计算，$ N_{\rm max} =10 $计算结果与外推收敛的结果相差约 1 MeV，差别值与总能量相比，误差仅约2.5%。从图2对于激发能的计算结果可以看出，随着$ N_{\rm max} $的增大，较快地趋于收敛。在图2的子图(c)与(f)中，展示了无核芯壳模型计算的$ ^{6} {\rm{ He }} $与$ ^{7} {\rm{ Li }} $激发态能量，并与普通壳模型计算结果和实验值比较。普通壳模型计算选用中子质子均在$ 0p_{3/2, 1/2} $模型空间的Cohen-Kurath有效相互作用^[35]，此有效相互作用通过调节单粒子能以及两体相互作用矩阵元拟合$ p $区原子核的能级得到。无核芯壳模型可以很好地描述$ ^{6}{\rm{He}} $与$ ^{7}{\rm{Li}} $的激发态能量，然而普通壳模型对于$ ^{6} {\rm{He}}$中$ 2_1^+ $激发态能量的计算结果与实验值相差约2.5 MeV，对于$ ^7 {\rm{Li}}$第一激发态$ {1/2^-} $的计算结果与实验值相差约 1.5 MeV。对于$A=6,\, 7$原子核低激发态能量以及激发谱的计算可以看到，无核芯壳模型对于较轻原子核可以给出较好的描述，对于激发态的描述优于普通壳模型计算结果。并且随着模型空间的增大，无核芯壳模型计算的能量逐渐趋于收敛。

无核芯壳模型可以对原子核低激发态能量给出比较好的描述。我们将无核芯壳模型应用于研究原子核谱因子。首先，计算$ ^{7} {\rm{ Li }} $基态-$ ^6 {\rm{ He }} $低激发态和$ ^{7} {\rm{ Be }} $基态-$ ^6 {\rm{ Be }} $低激发态这两对镜像核的叠积函数，涉及的耦合方式以及计算结果如图3所示。在实际计算中，对$ A=6 $和$ A=7 $的原子核均选取模型空间为$ N_{\rm max} =10 $，将此模型空间标记为$(N_{\rm max}^{A-1},\; N_{\rm max}^{A}$)=(10, 10)。从图中计算结果可以看到，镜像体系的叠积函数几乎重合，这表明$ ^{7} {\rm{ Li }} $-$ ^{6} {\rm{ He }} $ 与$ ^{7} {\rm{ Be }} $-$ ^{6} {\rm{ Be }} $同位旋破缺效应较小。

基于计算的叠积函数，利用式(3)对径向积分可得到对应耦合的谱因子。选择($N_{\rm max}^{A-1},\; N_{\rm max}^{A})=(0,\, 0) ..., (10,\, 10)$的模型空间，利用无核芯壳模型对$ ^{7} {\rm{ Li }} $与$ ^{7} {\rm{ Be }} $基态的谱因子做系统计算，并将计算结果与已有的实验结果相比较，如图4所示。

图4(a)中展示$ ^{7} {\rm{ Li }} $的谱因子计算结果，从图中可以清楚地看到，随着模型空间的增大，$ ^6 {\rm{ He }} $$ (2^+_1) $ $\otimes$ $ \pi p_{3/2} $ $\rightarrow$ $ ^7 {\rm{ Li }} $$ (3/2^-_1) $与$ ^6 {\rm{ He }} $$ (2^+_1) $ $\otimes$ $ \pi p_{1/2} $ $\rightarrow$ $ ^7 {\rm{ Li }} $$ (3/2^-_1) $耦合的谱因子逐渐趋于收敛的结果。而对于谱因子数值较大的$ ^6 {\rm{ He }} $$ (0^+_1) $ $\otimes$ $ \pi p_{3/2} $ $\rightarrow$ $ ^7 {\rm{ Li }} $$ (3/2^-_1) $的谱因子，随着模型空间的增大，数值逐渐减小。然而随着空间的增大收敛性不是非常好，并且收敛的趋势不满足式(5)中指数减小的趋势，无法得到收敛的数值。类似的现象也发生在$ ^{7} {\rm{ Be }} $的谱因子计算中，见图4(b)。由于无核芯壳模型计算的$ ^{7} {\rm{ Li }} $与$ ^{7} {\rm{ Be }} $的叠积函数几乎重叠，因此，计算的谱因子数值上也非常接近。

将$ ^7 {\rm{ Li }} $理论值与实验值比较，在$ N_{\rm max} $=10时$ ^6 {\rm{ He }} $$ (0^+_1) $$\otimes$$ \pi p_{3/2} $$\rightarrow$$ ^7 {\rm{ Li }} $$ (3/2^-_1) $理论计算得到的谱因子数值为0.499。实验上，利用$ ^7 {\rm{ Li }} $(n, d)$ ^6 {\rm{ He }} $ 和$ ^7 {\rm{ Li }} $(d, $ ^3 {\rm{ He }} $)$ ^6 {\rm{ He }} $不同的反应实验提取的谱因子分别为0.62^[36] 与 0.446^[4]，在图中分别表示为Brady77与Wuosmaa08。我们的计算结果与文献[4]的实验结果相近。对于$ ^6 {\rm{ He }} $$ (2^+_1) $ $\otimes$ $ \pi p_{3/2} $ $\rightarrow$ $ ^7 {\rm{ Li }} $$ (3/2^-_1) $和$ ^6 {\rm{ He }} $$ (2^+_1) $$\otimes$$ \pi p_{1/2} $ $\rightarrow$ $ ^7 {\rm{ Li }} $$ (3/2^-_1) $谱因子，无核芯壳模型的计算结果分别为0.163 与 0.131，计算结果都比文献[36]测得的谱因子数值较小。实验利用不同的反应，测得的同一谱因子之间也存在较大的差异，因此，近一步精确的实验测量对于验证理论模型的可靠性非常关键。

谱因子是反映原子核结构的一个重要物理量，$ ^7 {\rm{ Li }} $和$ ^7 {\rm{ Be }} $互为镜像核，$ ^7 {\rm{ Li }} $质子的排布与$ ^7 {\rm{ Be }} $中子的排布接近，但$ ^6 {\rm{ He }} $是弱束缚原子核，$ ^6 {\rm{ Be }} $是不束缚原子核，谱因子的计算应得到不同的结果，然而我们的计算结果给出$ ^7 {\rm{ Be }} $中子谱因子与$ ^7 {\rm{ Li }} $质子谱因子非常接近。在第一性原理无核芯壳模型计算中使用谐振子基矢，在谐振子基中所有的核子都处于束缚态，计算得到的原子核体系均处于束缚状态，对于$ ^6 {\rm{ He }} $的弱束缚特性与$ ^6 {\rm{ Be }} $的不束缚特性无法给出自洽的描述。所以第一性原理无核芯壳模型计算的镜像核叠积函数与谱因子均非常接近。 滴线区原子核性质通常表现出明显的同位旋破缺效应，如镜像核能级，$\text{β} $衰变^[37]，同位旋多重态质量方程^[38]等。前期的研究中利用包含连续态耦合的Gamow壳模型计算给出镜像核中叠积函数与谱因子存在同位旋破缺现象^{[24, 39-40]}。第一性原理无核芯壳模型没有考虑连续态效应，因此，本工作结果显示$ ^7 {\rm{ Li }} $与$ ^7 {\rm{ Be }} $谱因子没有明显的同位旋对称性破缺现象。未来的研究中我们将进一步包含连续谱耦合，研究滴线区原子核中叠积函数与谱因子的同位旋对称性破缺^[39-40]现象。

最后，利用无核芯壳模型对$A=6,\, 7,\, 8$原子核谱因子做系统性计算，如表1, 2, 3中所示，其中对于能量的计算基于有限空间下的计算结果并利用式(5)外推得到，并将外推的结果与实验值比较。从表中可以看到，无核芯壳模型能够很好地重现较轻原子核的能量。对于谱因子计算中，由于无核芯壳模型计算中随着模型空间的增大谱因子计算收敛性不确定，因此，实际计算中尽可能选择较大的模型空间。$ A=6 $的谱因子计算中，无核芯壳模型的模型空间$(N_{\rm max}^{A-1},\; N_{\rm max}^A)=(12,\, 12)$，$ A=7 $ 和$ 8 $的谱因子计算模型空间是$(N_{\rm max}^{A-1},\; N_{\rm max}^A)=(10,\, 10)$，并将计算的谱因子结果与已有的实验结果比较。

谱因子是核结构、核反应与核天体研究中重要的物理量，也是联系核结构与核反应的桥梁。实验上可以通过单核子转移和敲出反应测量谱因子，对于转移和敲出反应的理论计算，谱因子是反应模型中不可或缺的输入量。通常利用核结构模型计算原子核谱因子，在实际计算中通常选用普通壳模型。 本文中利用第一性原理无核芯壳模型计算原子核谱因子。无核芯壳模型是普通壳模型的扩展，考虑$ A $体原子核体系中每个核子的自由度，尽可能精确地求解原子核多体系统。首先，我们对$ ^{6} {\rm{ He }} $，$ ^{6, 7} {\rm{ Be }} $和$ ^{7} {\rm{ Li }} $低激发态能量做系统计算，计算结果显示，随着模型空间的增大，无核芯壳模型计算的结果逐渐趋于收敛。另外，基于指数型的外推公式，利用计算的结果外推到无限大模型空间，外推得到的能量与选取较大模型空间计算的能量相差约500 keV，差别约占总能量的2.5%。同时我们也将无核芯壳模型计算的激发谱能量与普通壳模型以及实验结果相比较，对于激发谱的描述，无核芯壳模型计算结果明显优于普通壳模型计算结果。我们利用无核芯壳模型系统计算了$ A=6, 7, 8 $原子核谱因子与低激发谱能量，重点分析了$ ^{6}{\rm{He}} \otimes $$ \pi $$ \rightarrow ^7 {\rm{ Li }} $与$ ^{6}{\rm{Be}} \otimes $$ \nu $$ \rightarrow ^7 {\rm{ Be }} $的叠积函数与谱因子，并将$ ^7 {\rm{ Li }} $的谱因子计算结果与实验值相比较。本文的计算结果与实验值接近，然而不同实验对于同一个谱因子的测量结果差异较大，因此，进一步精确的实验测量对于检验理论模型非常关键。

在$ ^{7} {\rm{ Li }} $与$ ^{7} {\rm{ Be }} $镜像核谱因子的计算中，$ ^{6} {\rm{ He }} $是弱束缚原子核，$ ^{6} {\rm{ Be }} $是不束缚原子核。由于无核芯壳模型计算选取谐振子基矢，描述的原子核均为束缚的体系，无法描述原子核弱束缚与不束缚特性，计算得到的$ ^{6}{\rm{He}} \otimes $$ \pi $$ \rightarrow ^7 {\rm{ Li }} $与$ ^{6} {\rm{ Be }} $$ \otimes $$ \nu $$ \rightarrow ^7 {\rm{ Be }} $的叠积函数与谱因子几乎相同，无明显的同位旋对称性破缺现象。$ ^6 {\rm{ He }} $弱束缚原子核与$ ^6 {\rm{ Be }} $不束缚原子核的波函数存在差异，并且镜像核性质也存在较大的差异，因此，谱因子计算中应该考虑连续态效应以便合理描述滴线区原子核的弱束缚与不束缚特性，进一步研究滴线区原子核谱因子性质，探究镜像原子核谱因子的同位旋对称性破缺效应。