The Running Form of Binding Energy Correction for MIT Bag Model

2017年LHCB实验组第一次在$ \Xi_{{\rm{cc}}}^{++}\to\Lambda_{\rm{c}}^+ {\rm{K}}^- {\text{π}} ^+ {\text{π}} ^+ $衰变道发现了双粲重子^[2]，由此激发了理论学者对于双重重子以及双重四夸克态研究的热潮^[3-7]。在此之前理论工作者已经做出了对$ \Xi_{{\rm{cc}}} $的预言，其中Karliner和Rosner的工作用考虑束缚能的朴素夸克模型^[8-11]给出了和实验几乎一致的理论预言^[8]。其工作中一个定性的结论是夸克-夸克之间的束缚能和夸克-反夸克之间的束缚能满足$ 1/2 $关系，这为束缚能提供了颜色相关的依据。

强子中的基本效应除了夸克-夸克之间的相互作用外还包含复杂的海夸克效应^[12]，对此MIT袋模型有一个体积能密度为B常数的平均近似^[13]。文献[1]在引入束缚能后很好地调和了从介子到双重重子的质量谱。我们在该工作的基础上给出了一个随袋半径R跑动的色电相互作用形式，使其在MIT袋模型质量公式中参与变分，重新计算了含有重夸克的介子和重子的质量谱、磁矩、电荷半径。从计算结果来看，这种修正对袋半径有一个微小的改变，体现在质量上有一个$ 40\;{{\rm{MeV}}} $范围内的变化，同时对于磁矩以及电荷半径也有一定的影响。

MIT袋模型的质量公式写作如下形式^[13-14]：

式(1)中第一项为强子内所有价夸克的相对论能量；$ i $代表夸克指标；$ \omega_i $为夸克能量；包含质量$ m_i $和动量$ x_i/R $。参数$ x_i $、R分别由边界条件和质量公式变分所得，它们之间满足超越方程

式(1)中第二项为袋模型体积能；B为袋常数，其物理意义是强子内外两侧的真空能密度差，在数量上等于强子稳定时内部物质场能量密度。由于MIT袋模型在球近似下描述强子结构，所以这里的体积为球状袋子的体积，整个质量公式也是袋半径R的函数。式中第三项为袋内的真空零点能，$ Z_0 $为可调参数。最后$ \langle \varDelta H\rangle $为夸克间的相互作用能，主要包含色磁相互作用和重夸克间的束缚能^{[1, 8]}。

色磁相互作用通常由下式表示：

其中：$ i $、$ j $代表强子构型中夸克或反夸克指标；$ \lambda $、$ \sigma $为Gell-Mann矩阵和Pauli矩阵，它们的卡西米尔算符形式也被称为颜色因子和自旋因子，计算方法如下：

其中：$ n $、$ m $和$ x $、$ y $分别代表强子颜色波函数和自旋波函数基矢；$ c $和$ \chi $为夸克的颜色和自旋空间基矢。这两种因子的计算依赖于颜色-自旋波函数，在方法上属于$ SU(3)\times SU(2) $群代数，而公式(4)中的$ C_{ij} $则与夸克空间波函数有关。在MIT袋模型中，$ C_{ij} $的计算方法为

公式(8)为文献[1]给出的强耦合常数跑动形式，它可以很好地控制整个质量谱的计算误差。公式(9)为夸克磁矩中不包含电荷的部分，其中$ \alpha _{i}\equiv \omega _{i}R $，$ \lambda _{i}\equiv m_{i}R $。公式(10)是关于参数$ x_i $和$ x_j $的有理函数，$ F(x_{i}, x_{j}) $计算方法为

其中$ y_{i}=x_{i}-{\mathrm{cos}}(x_{i}){\mathrm{sin}}(x_{i}) $，$ x_{i} $为超越方程(3)的解，另外

通过以上方法，我们可以按照强子的颜色-自旋波函数构造色磁相互作用，写出质量公式的完整表达形式。相互作用中的束缚能部分将会在下一节着重介绍。我们对质量公式进行变分，使得质量关于袋半径R最小，从而得到稳定的强子质量。在计算过程中为了保证公式(1)只是关于R的函数，还需要输入一组初始的$ x_i $，并通过迭代法获得稳定的$ x_i $、R参数组。这一系列工作完成后，强子磁矩和电荷半径便可以计算出来。

MIT袋模型中夸克电荷半径由下式给出^[14]：

其中：$ Q_i $为夸克电荷。强子的电荷半径由夸克求和得到^[15]

强子的磁矩由自旋波函数求和得到^[16]

另外，如果自旋波函数是叠加态

磁矩求和公式应为^[17]

其中：$ \mu^{{\mathrm{tr}}} $是推导产生的交叉项，与跃迁磁矩有关。

本文的主要工作是在文献[1]结论的基础上，用跑动形式取代重夸克束缚能的参数形式，所以原文中大部分参数和公式将会直接引用在本文中。对于轻味强子态，MIT袋模型的参数取为

对于重味强子态，以下参数由矢量介子${D}^{\ast}$、${B}^{\ast}$拟合得到

对于双重味强子态，以及含有重夸克和奇异夸克的强子态，五种束缚能由矢量介子${D}_{{\rm{s}}}^{\ast}$、${B}_{{\rm{s}}}^{\ast}$、${J}/\Psi$、$\Upsilon$和${B}_{{\rm{c}}}^{\ast}$分别拟合得到，且使用如下方法标度：

公式(21)使用了标度因子$ 1/2 $转换不同颜色态下的束缚能。这是因为考虑到重夸克束缚能的贡献之一为夸克间的色电相互作用，其中颜色因子(5)在不同颜色态下具有不同结果^[8]。例如，对于介子的色单态$ 1 $和重子的反三重态$ \bar{3} $，颜色因子如下：

它们的比值为标度因子$ 1/2 $。在文献[1]中，由介子$J/\psi$拟合得到的束缚能$B_{{\rm{cc}}}=B_{\rm{c}\bar{{\rm{c}}}}/2$可以较好地得到$ \varXi_{{\rm{cc}}} $的质量，这为束缚能中存在颜色因子提供了佐证。

基于此，我们提出了一种束缚能跑动形式：

其本质为色电相互作用，与色磁相互作用在形式上相似。式中：R为袋半径；强耦合常数$ \alpha_{\rm s}(R) $取公式(8)；($ E_{ij} $)为五个可调参数，分别对应五种束缚能$ B_{{\rm{cs}}} $、$ B_{{\rm{cc}}} $、$ B_{{\rm{bs}}} $、$ B_{{\rm{bb}}} $、$ B_{{\rm{bc}}} $。我们使用矢量介子${D}_{{\rm{s}}}^{\ast}$、${B}_{{\rm{s}}}^{\ast}$、${J}/\Psi$、$ \Upsilon $和${B}_{{\rm{c}}}^{\ast}$分别拟合得到$ E_{ij} $，结果如下：

以上参数均为无量纲数，不包含颜色因子，只吸收了相互作用动力学部分。因此我们可以很方便地将公式(23)代入质量公式中，并进行整体变分，实现束缚能的跑动过程。图1为$ \bar{3} $颜色态下五种束缚能随袋半径R的变化趋势，并对比原始文献[1]的结果。我们发现$ B_{{\rm{cs}}} $和$ B_{{\rm{bs}}} $变化趋势较平稳，即采用参数形式和跑动形式得到的结果相差不大；而$ B_{{\rm{cc}}} $、$ B_{{\rm{bc}}} $和$ B_{{\rm{bb}}} $变化趋势显著，即双重重子和三重重子其计算结果应当变化较大。下一节我们将计算并列出相关强子的质量、磁矩等计算结果。

本文计算的是所有可能存在束缚能的重味介子和重子，包括重轻介子$ D_{{\rm{s}}} $、$ B_{{\rm{s}}} $，双重介子，还有奇异数$S < 0$的单重重子、双重重子以及三重重子。在${{SU}}(2)$味道对称性下，某些重子会存在色磁混合的情况，针对这些粒子我们会计算其本征态的质量和磁矩。表1、2、3、4、5 列出了以上强子态的计算结果，并与文献[1]中参数形式得到的结果$ M_{{\rm{org}}} $对比。某些在实验上发现的粒子还会和实验值$ M_{{\rm{exp}}} $对比。

表1列出了赝标介子的计算结果。由于赝标介子的$ J^P=0^- $，其磁矩理论上为零。我们发现介子的质量计算结果相较于$ M_{{\rm{org}}} $偏小，这是因为五种束缚能的参数均由矢量介子拟合得到，又因为在本文中束缚能随着袋半径R跑动，赝标介子能量较低，袋半径R比矢量介子小，所以呈现这样的结果。除此之外我们发现，尽管质量计算误差存在增大和减小的情况，但均在大致$ 20\;{{\rm{MeV}}} $以内，说明束缚能跑动形式不会对介子计算结果产生太大的偏差。

表2列出了非色磁混合单重重子的计算结果，即$ \Omega_{\rm{c}} $、$ \Omega_{\rm{b}} $系统，色磁混合的情况我们将单独考虑。单重重子内的束缚能为$ {{B}}_{{\rm{cs}}} $和$ {{B}}_{{\rm{bs}}} $，在图1中的变化趋势较平缓，即它们的质量计算结果与$ {{M}}_{{\rm{org}}} $相比变化较小。表2中的结果表明，$ {{M}}_{{\rm{bag}}} $要比$ {{M}}_{{\rm{org}}} $略大，这是因为重子的袋半径大多为$ R=5\;{{\rm{GeV}}^{-1}} $左右，大于介子的$ R=3\;{{\rm{GeV}}^{-1}} $左右，束缚能压低的效应减弱，导致重子质量增大。

表3列出了非色磁混合双重重子的计算结果。其中已被实验上发现的是$\Xi_{{\rm{cc}}}$，质量为$ 3\;621\;{{\rm{MeV}}} $^[2]。由于双重重子的束缚能为$ B_{{\rm{cc}}} $、$ B_{{\rm{bc}}} $和$ B_{{\rm{bb}}} $，其质量计算结果变化较为显著。从表中我们看到$\Xi_{{\rm{cc}}}$的质量增加$ 5\;{{\rm{MeV}}} $，更加靠近实验值；而$\Xi_{{\rm{cc}}}^{\ast}$的质量增加$ 6\;{{\rm{MeV}}} $，更加靠近预测的结果$ 3\;727\;{{\rm{MeV}}} $^[18]；这样的束缚能修正会使得$\Xi_{{\rm{cc}}}$的计算结果较为准确。但是对于含束缚能$ B_{{\rm{bb}}} $的双重重子，质量增大均在$ 30\;{{\rm{MeV}}} $左右，其准确性有待实验考证。

表4列出了存在色磁混合的单重重子和双重重子计算结果。这些粒子之所以会出现色磁混合，是因为在$ {\rm{SU}}(2) $味道对称性下它们的味道波函数不具有对称性，导致两种颜色-自旋波函数发生简并。我们仍然使用变分法计算，使得本征态的质量随着袋半径R最小。结果表明，单重重子的质量增加$ 2\;{{\rm{MeV}}} $左右，双重重子质量增加$ 15\;{{\rm{MeV}}} $左右，且单重重子计算误差没有超出模型误差$ 40\;{{\rm{MeV}}} $。

表5列出了三重重子计算结果。此类重子两两夸克之间存在束缚能$ B_{{\rm{cc}}} $、$ B_{{\rm{bc}}} $和$ B_{{\rm{bb}}} $，其中$ B_{{\rm{bb}}} $跑动行为最显著，这使得它们的质量计算结果比$ M_{{\rm{org}}} $相比增大$ 10 \sim 50\;{{\rm{MeV}}} $。从物理图像上来讲，三个重夸克在重子中自由运动，其间距应当比介子中大，色电相互作用就不能再拟合为固定参数，跑动形式是一种合理的考虑。表6列出了不同方法计算得到的三重重子质量。本文的结果与其他工作相比较大，这不仅仅是因为束缚能跑动，还和袋模型本身的机制有关。我们发现$ M_{{\rm{org}}} $也大于表6中列出的其它工作的结果，这说明袋模型中某些效应可能未被充分研究。

本文的主要工作是使用束缚能跑动形式代替拟合参数，重新计算含有束缚能的重子基态质量和磁矩。这一工作存在以下两个动机：

● 束缚能的贡献之一为重夸克间的色电相互作用。为了还原其表达式，我们按照色电相互作用的形式重新构造了束缚能，并使得它随着袋半径R跑动。

● 夸克间的相互作用取决于波函数分布，即夸克距离和耦合常数。所以不同强子内的束缚能应当取不同的数值，而不是将其统一为一组自由参数。

从计算结果上来看，跑动形式的束缚能也可以将基态强子谱的计算误差控制在大致$ 40\;{{\rm{MeV}}} $以内。所以这种跑动形式在一定范围内是合理的，同时也增强了束缚能的本质为色电相互作用的可能性，这在探究重夸克相互作用时提供了很好的佐证。

本文的变分结果表明，在任意不同强子间相比，袋半径R会因为强子质量的增大而减小。考虑到公式(8)中强相互作用耦合常数随着R跑动，这里的R不仅仅代表强子半径这一唯象参数，还描述了强子的重整化能标。我们发现， b重子袋半径总是小于c重子袋半径，而$\eta_{\rm b}^{}$的半径在所有数据中最小，这是重夸克相对论效应减弱的结果。

对束缚能跑动形式的研究表明，随着袋半径增大，束缚能的绝对值会减小，其中属$ B_{{\rm{bb}}} $的跑动行为最显著。当束缚能的压低效应降低时，重子质量结果会增大，我们发现双重重子$ \Xi_{{\rm{cc}}} $的质量更加接近实验值。这说明束缚能跑动在结果上是合理的。同时它也反映了夸克相互作用依赖于夸克距离(波函数分布)和耦合常数的物理图像。对于文中的双重重子和三重重子计算结果，我们期待实验能够验证这些结论。