-
本节将从理论模型出发推导
$ Q $ 值可能存在的局部关系。针对不同类型的原子核,使用不同的核结构唯象模型。具有轴对称形变的转动核适用于轴对称转子模型[26],其
$ Q $ 值与内禀四极矩成正比。如假定形变单粒子基下的组态混合对于内禀电四极矩的贡献可以忽略,那么有其中
$ K=0 $ ,$ I=2 $ 对应于基带中的$ 2^+_1 $ 态;$ |\phi_0\rangle $ 是由变形单粒子态$ |i\rangle $ 构造的Hartree-Fock基态;$ \hat{T}({\rm E2}) $ 为电四极算子。假设相邻原子核具有相似的变形质子单粒子态,振动原子核具有非零
$ Q $ 值源自于声子态的组态混合[27],其对应的唯象模型为非简谐振子模型[27]。为简化推导,模型空间只包含一声子态和两声子态,分别用$ |1\rangle=b^\dagger|0\rangle $ 和$ |2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(b^\dagger)^2|0\rangle $ 表示。其中$ b^\dagger $ 为声子产生算符;$ |0\rangle $ 为声子真空态。相应的哈密顿算符为其中
$ \hbar\omega $ 是声子激发能;$ \lambda $ 是声子组态混合能。相应的哈密顿矩阵为$ 2_1^+ $ 态对应于$ |1\rangle $ 和$ |2\rangle $ 的低激发组态混合其中
$ \alpha $ 和$ \beta $ 为实数,对应于两种声子态在$ 2^+_1 $ 态中所占比重。典型振动原子核的声子态混合并不剧烈,也就是说$ \lambda\lll\hbar\omega $ ,使得$ \beta\approx\lambda/\hbar\omega $ ,而$ \alpha\approx1 $ 。因此,$ 2^+_1 $ 态可写作$ |2_1^+\rangle\sim |1\rangle+\frac{\lambda}{\hbar\omega}|2\rangle $ 。在振子模型中,原子核的电四极算符可唯象写作$ \chi $ 是$ \hat{T}({\rm E2}) $ 算符的强度参数。那么$ 2_1^+ $ 态的$ Q $ 值可通过以下公式计算声子激发能
$ \hbar\omega $ 可以看作是$ Z $ 和$ N $ 的平滑函数。在相邻原子核中,它应该近似保持不变。组态混合能参数$ \lambda $ 与$ pn $ 相互作用相关[1]。因此,振动核的$ Q $ 值应是$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 乘积的平滑函数。这符合电四极矩的$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 系统性规律设想[4]。振动原子核一般形变不大,价核子较少,$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 也比较小。因此,$ Q $ 可以围绕$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}}=0 $ 进行泰勒展开,如下那么
$ Q $ 值就有局域二阶差分如注意此处
$\frac{{\rm d}Q}{{\rm d}(N_{\rm{p}}N_{\rm{n}})}$ 未定,还并没有得到严格类似于式(2)的局域关联。但是考虑到,当$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}}=0 $ 时,核系统中没有pn剩余相互作用,即$ \lambda=0 $ ,对应于无声子态混合。根据式(7),$ Q|_{N_{\rm{p}}N_{\rm{n}}=0}\equiv0 $ 。四个相邻原子核的平均$ Q $ 值应为$\bar{Q}=(N_{\rm{p}}+1)(N_{\rm{n}}+1)\frac{{\rm d}Q}{{\rm d}(N_{\rm{p}}N_{\rm{n}})}$ 。对于非幻数振动核,$N_{\rm{p}}\geqslant 2$ ,$N_{\rm{n}}\geqslant 2$ 。因此有$ \bar{Q}\gg\delta Q $ 。换句话说,即使在振动原子核中,局域二阶差分$ \delta Q $ 相对于原子核电四极矩本身的数值大小仍是很小的。再考虑到实验数据的不确定性,可以认为因此不论是转动核还是振动核,根据本文推导,原子核的电四极矩都应满足式(10)。
使用电四极矩实验数据[28-29]可以验证式(10)的可靠性。图1(a)给出了所有实验可用的
$ Q $ 值。图1(b)给出了通过式(10)计算的$ \delta Q $ 值。可见所有核区中的$ \delta Q $ 值都在实验误差范围内接近于零。因此,我们可以根据式(10)及现有实验数据[28]对相邻原子核的未知电四极矩$ Q $ 进行了预言。表1给出了这些预言值,可为后续实验提供参考。核素 预言值/eb 核素 预言值/eb $_{~\;8}^{20} {\rm{O} }$ +0.004(50) $^{112}_{~\;46} {\rm{Pd} }$ $ -0.450(5) $ $ _{10}^{24} {\rm{Ne}}$ $-0.110(5)$ $_{~\;48}^{104} {\rm{Cd} }$ $ -0.020(20) $ $ _{12}^{28} {\rm{Mg}}$ $-0.420(7)$ $_{~\;48}^{118} {\rm{Cd} }$ $ -0.300(1) $ $ _{14}^{32} {\rm{Si}}$ +0.150(7) $_{~\;50}^{110} {\rm{Sn} }$ $ -0.100(1) $ $ _{18}^{42} {\rm{Ar}}$ +0.060(11) $_{~\;50}^{128} {\rm{Sn} }$ +0.100(2) $ _{20}^{46} {\rm{Ca}}$ $-0.110(9)$ $_{~\;52}^{120} {\rm{Te} }$ $ -0.700(1) $ $ _{22}^{44} {\rm{Ti}}$ $-0.300(1)$ $_{~\;60}^{152} {\rm{Nd} }$ $ -2.200(5) $ $ _{22}^{52} {\rm{Ti}}$ $-0.050(18)$ $_{~\;62}^{156} {\rm{Sm} }$ $ -1.950(7) $ $ _{24}^{48} {\rm{Cr}}$ $-0.390(9)$ $_{~\;64}^{152} {\rm{Gd} }$ $ -1.500(2) $ $ _{24}^{56} {\rm{Cr}}$ $-0.300(1)$ $_{~\;68}^{168} {\rm{Er} }$ $ -1.900(2) $ $ _{26}^{52} {\rm{Fe}}$ $-0.300(2)$ $_{~\;68}^{172} {\rm{Er} }$ $ -1.900(2) $ $ _{26}^{60} {\rm{Fe}}$ $-0.100(1)$ $_{~\;70}^{178} {\rm{Yb} }$ $ -2.260(7) $ $ _{28}^{56} {\rm{Ni}}$ +0.080(16) $_{~\;72}^{174} {\rm{Hf} }$ $ -2.140(7) $ $ _{28}^{66} {\rm{Ni}}$ +0.400(2) $_{~\;72}^{182} {\rm{Hf} }$ $ -1.800(5) $ $ _{30}^{62} {\rm{Zn}}$ $-0.300(1)$ $_{~\;74}^{178} {\rm{W} }$ $ -2.200(4) $ $ _{30}^{72} {\rm{Zn}}$ $-0.300(7)$ $_{~\;74}^{188} {\rm{W} }$ $ -1.300(3) $ $ _{32}^{68} {\rm{Ge}}$ +0.400(1) $_{~\;76}^{182} {\rm{Os} }$ $-3.000(1)$ $ _{32}^{78} {\rm{Ge}}$ $-0.300(1)$ $_{~\;76}^{194} {\rm{Os} }$ $ -0.800(2) $ $ _{34}^{72} {\rm{Se}}$ $-0.200(1)$ $_{~\;78}^{190} {\rm{Pt} }$ +0.300(2) 预言所使用实验数据源自文献[28],预言误差仅考虑实验数 据的误差传递。局域关联的系统性误差仍有待进一步分析。 另一方面,如图1(a)所示,在
$ A<130 $ 核区时,电四极矩数值大多接近$ Q=0 $ 。这就意味着式(10)在小质量核区成立有可能只是因为较小的电四极矩,而并非相邻原子核局域关联的具体体现,因而有可能是平庸的。为了分辨式(10)在小质量核区是否平庸,我们在图1(c)中进一步给出了$ \frac{\delta Q}{\overline Q} $ 比例($ \overline Q $ 为四个相邻原子核电四极矩的平均值),以体现$ \delta Q $ 的相对大小。可见$ \frac{\delta Q}{\overline Q} $ 在误差范围内仍普遍接近于0,说明电四极矩的局域关系在小质量核区也并不平庸。它在轻核区与重核区具有相同的可靠性。我们也注意到$ E_{2^+_1} $ 与B(E2)也具有类似的相对比例稳定性[24],说明这种局域关联可能是原子核四极集体性质的普遍特征。 -
与
$ E_{2^+_1} $ 、B(E2)类似,如果$ Q $ 既具有$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 系统性演化规律,又满足式(10)中的局域系统性关联,那么$ Q $ 就应该在对数$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 坐标下进行线性演化。为推得这样的线性关系,首先将$ Q $ 的局域关系微分化有由于电四极矩
$ Q $ 是$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 乘积的函数,那么上述偏导方程可转化为以$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 为自变量的二阶常微分方程上述常微分方程的通解为
其中
$ c_1 $ 、$ c_2 $ 为任意常数。这就是电四极矩在$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 对数坐标下的线性演化规律。为了验证这样的线性关联,需要在不同核区中绘制电四极矩实验数据随
$ \ln(N_{\rm{p}}N_{\rm{n}}) $ 的演化。在轻核区,由于原子核壳层较小,$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 数值变化范围不大,原子核各类可观测量的$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 系统性规律并不明显。具体到原子核电四极矩,虽然其具有普适的局域关系,但是它在$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 对数坐标下的线性关联并不明显。因此,本节仅在三个重核区($ A\simeq130 $ 、$ A\simeq150 $ 和$ A\simeq190 $ )分析电四极矩实验数据[28-29]的对数$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 线性行为。这三个重核区是由50、82和126三个幻数分隔而成,具体核子数范围如表2所列。核区 $ Z $ $ N $ $ A\simeq130 $ $ 50\sim66 $ $ 66\sim82 $ $ A\simeq150 $ $ 50\sim66 $ $ 82\sim104 $ $ A\simeq190 $ $ 66\sim82 $ $ 104\sim126 $ 图2分别展示了电四极矩在上述核区随
$ \ln(N_{\rm{p}}N_{\rm{n}}) $ 的演化规律。作为对比,$ E_{2^+_1} $ 与B(E2)随$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 对数的演化也一并呈现。可以看到,图2所描述的三个核区$ Q $ 值(特别是$ A\simeq150 $ 核区)不仅具有$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 系统性规律,还表现出明显的对数$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 线性关联。而其它两个核区的部分数据对线性的偏离也都有具体的原因,详述如下。在
$A \simeq 130$ 的核区,如图2(a)所示,部分Ba同位素$ Q $ 实验测量值看似并不满足$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 对数线性关联。这种偏离主要源自于实验测量的不确定性。由于$A \simeq 130$ 核区原子核位于近球形核到形变核的过渡区域[31-32],同一实验测量可以给出了多个不同的电四极矩数值[33-34]。一部分测量值满足对数$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 线性关系,而另一部分则有所偏离。此前实验无法先验地排除这种数据分歧。但我们在表3中细致列出了这些有分歧的实验测量结果,并将它们划分为“满足线性”及“不满足线性”两部分,分别对应在图2(a)满足线性的实验数据及不满足对数$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 线性的实验数据。在图2(a)中进一步将“不满足线性”的数据点用蓝色圆点进行标记。在排除这些“不满足线性”的$ Q $ 值后,实验数据的规律性更为明显。我们相信“满足线性”的$ Q $ 实验测量更符合$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 系统性规律,也更为可靠。因此,$ Q $ 的对数$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 线性规律在一定程度上可以为电四极矩测量结果可靠性评估提供了新的判别标准。在
$A \simeq 190$ 核区,除了少数Pt同位素($Z = 78$ )和$ ^{204} {\rm{Hg}}$ 之外,整体实验数据呈线性趋势。这些Pt及$ ^{204} {\rm{Hg}}$ 的电四极矩数据点也在图2(c)中用蓝色圆点突出显示。Pt同位素在$A \sim 190$ 附近$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 系统性规律中的异常表现实际上已被注意到[33],并被归因于它们的核形状复杂性[36]。这些Pt同位素的形变包括软$ \gamma $ 三轴形变、扁椭以及长椭。不同形变的内禀电四极矩有较大差别,导致在局部偏离$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 系统性规律。另一方面,
$ ^{204} {\rm{Hg}}$ 的$ Q $ 值非常小,不符合线性。这是因为$ ^{204} {\rm{Hg}}$ 已非常接近幻数,它的$ Q $ 值本身应该是一个小量。对于振动核,当$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 乘积趋近于零时,$ Q $ 值也应趋于零。因此,我们在图2(c)中画出一条连接主线性终点和($N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} \simeq 0$ ,$Q = 0$ )点的虚线,示意性地体现出$ Q $ 值在$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}}\rightarrow0 $ 处的演化趋势。$ ^{204} {\rm{Hg}}$ 数据点正好位于这条虚线上。因此,我们认为$A \sim 190$ 核区的电四极矩演化可能对应于分段的线性函数,与B(E2)、$ E_{2^+_1} $ 的线性演化类似[25]。由于$A \sim 190$ 核区在$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}}\rightarrow0 $ 处的$ Q $ 实验数据还不够丰富,这种$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}}\rightarrow0 $ 处的分段线性演化趋势仍有待实验验证。原子核四极形变
$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 演化在$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 很大时应具有饱合性[9]。如图2(e)~(f)所示,$ E_{2^+_1} $ 在$A \sim 150, \,190$ 核区,当$N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} > 100$ 时,其演化驱于平缓;而图2(g)~(i)则说明B(E2)在$N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} \sim 80$ 处有线性斜率突变的情况。这两种现象都应是$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 演化饱合性的具体体现。与$ E_{2^+_1} $ 以及B(E2)相比,电四极矩线性演化的饱合性并不显著。在$A \sim 130$ 区,$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 较时的数据比较稀少,无法对其演化的饱合性作出判断;在$A \sim 150, \, 190$ 区,可以隐约看到其演化在$N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} > 120$ 开始有所变化,但这一转变远未完成。总的来说,电矩的$ N_{\rm{p}}N_{\rm{n}} $ 演化的饱合性研究需要更多的实验数据支持。
Local Correlation and Log-scale NpNn Scheme of ${{2_1^+ }}$ Quadrupole Moments in Even-even Nuclei
doi: 10.11804/NuclPhysRev.40.2022051
- Received Date: 2022-04-18
- Rev Recd Date: 2022-06-21
- Publish Date: 2023-03-20
-
Key words:
- local association /
- NpNn scheme /
- nuclear quadrupole moment
Abstract: The local correlation between the electric quadrupole moments of
Citation: | Yue XIAO, Deng LIU, Zhenzhen QIN, Yang LEI. Local Correlation and Log-scale NpNn Scheme of |