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量子色动力学(QCD)是描述强相互作用的基本理论,其基本自由度为夸克场及胶子场。QCD是非阿贝尔量子规范理论,在高能区具有渐近自由的特性,在低能区则有色禁闭特性,即不存在自由的胶子和夸克态。因此实验中直接探测到的强相互作用物质是由夸克和胶子构成的色单态体系——强子。夸克模型将强子分类为由正反夸克构成的介子和由三个夸克构成的重子。与阿贝尔规范理论(如量子电动力学)的媒介粒子(如光子)不同,胶子携带色荷并存在自相互作用,因此也可以像夸克一样参与强子构成。一般的唯象理论认为存在纯粹由胶子构成的束缚态,称作胶球。寻找和研究胶球成为强子物理的一个重要研究问题。关于胶球性质的研究有助于更深入地理解强相互作用的低能性质。
在量子色动力学发展早期,便涌现出多种理论开展了关于胶球性质的研究,如MIT袋模型[1-2],组分胶子模型[3-4],QCD求和规则[5-9]和格点QCD等。格点量子色动力学(Lattice QCD)作为QCD理论的非微扰求解方法,在研究胶球问题上有着独特的优势。淬火近似下的格点QCD计算给出了最轻胶球的质量,其中标量胶球
$1.5 \sim 1.7\; {\rm{GeV}}$ ,张量胶球$2.2 \sim 2.4\; {\rm{GeV}}$ ,及赝标量胶球约$ 2.6\; {\rm{GeV}} $ [10-11]。除此之外,实验上也给出了一些胶球的候选者。例如,在标量区域存在着三个同位旋单态粒子$f_{0}(1\,370)$ ,$f_{0}(1\,500)$ ,$f_{0}(1\,710)$ ,如果将质量接近的其它标量粒子排入介子八重态和单态,还多出了一个同位旋单态的粒子。一个自然的解释,这个多出来的粒子可能是胶球,不过对于哪个粒子对应着胶球,存在着较大的争议[12-14]。在赝标量道也有类似的情形,对于质量接近的同位旋单态赝标量粒子$\eta(1\,405), \, \eta(1\,475), \eta(1\,760)$ ,也存在着额外的可能是赝标胶球的粒子,然而这些粒子的质量与格点QCD理论预言的赝标量胶球的质量差距较大。文献[15]考虑了赝标介子与赝标胶球混合的情况,发现混合后的胶球质量仍大于$ 2 \; {\rm{GeV}} $ 。文献[16]则是认为$\eta(1\,405)$ 和$\eta(1\,475)$ 其实是同一个态,只是在不同衰变道的不同体现而已,如此一来,在该能量区域也就并不存在额外的粒子,格点预言的赝标量胶球与实验并不矛盾。此外,我国北京谱仪(BESIII)在J/ψ到$\gamma\eta\eta$ ,$\gamma {\rm{KK}}$ 等过程陆续发现了一些同位旋单态赝标量粒子,如$\rm {X}(2\,370)$ [17-18],$ \rm {X}(2\,500) $ [19]以及最近刚刚发布的$ \rm {X}(2\,600) $ [20]。这些粒子质量与格点QCD预言的赝标量胶球质量接近,值得关注它们作为赝标量胶球候选者的可能性。对于张量道,$f_2(2\,340)$ [21]是可能的张量胶球候选者,此处不做过多探讨。除此之外,具有奇特量子数,即普通$ \rm q\bar{q} $ 介子不具备的量子数的胶球态也被一些合作组[22]提出并研究,这也是寻找胶球的一个重要方向。总体来说,尽管胶球作为一种奇特强子一直受到粒子物理学界的关注,想要将其从普通介子中分辨出来仍然十分困难,这需要实验家与理论家二者的共同努力。本工作将基于格点QCD理论,介绍该领域对胶球的一些研究进展,特别是中国格点组在该方面的一些研究成果,在最后也将讨论与赝标量胶球具有相同量子数的拓扑荷密度算符的相关计算。
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首先,我们对格点QCD理论做一个简单的介绍,更详细的了解可以参考专门的著作[23]。格点QCD从QCD的路径积分形式出发,通过Wick转动到欧氏时空,闵氏场论中的生成泛函可视为统计系统的配分函数,算符的真空期望值转化为系综的平均值;再经过四维欧氏时空的离散化,使得自由度有限可数,格点QCD研究就可以进行数值模拟计算。在格点QCD理论中,费米场定义在时空格点上,而传递相互作用的规范场
$ A_{\mu}(x) $ 是通过指数映射$ U_{\mu}(n)={\rm e}^{{\rm i}aA_{\mu}(n)} $ 定义为连接相邻时空点的链,称为规范链变量。系统的配分函数可写为其中
$ [DU] $ 代表着每个链变量的积分;$ S_{g}[U] $ 为规范场作用量部分(威尔逊规范场作用量),该作用量在$ a\to0 $ 时,回到连续时空下的作用量。这里
$ U_{p}=U_{\mu}(n)U_{\nu}(n+\mu)U_{\mu}^{\dagger}(n+\nu)U_{\nu}^{\dagger}(n) $ ,代表着由四条邻近规范链构成的小方格;$ {\mu} $ 、$ {\nu} $ 为沿$x, y, z, t$ 的方向指标;$ n $ 为四维离散欧氏时空坐标点。式(1)的第二步将费米场积分成费米子行列式,从而整个配分函数都是关于规范场的积分。可以通过蒙特卡罗的方式产生一系列的满足该配分函数的组态,所有物理相关的期望值变为在该系综下的平均值其中
$ \mathcal{O} $ 为物理观测量所对应的算符。于是与物理相关的信息,就可以从各类关联函数中得到。例如通过计算两点关联函数并插入哈密顿量本征态的完备集,可从中抽取出物理态的质量信息$ \varOmega $ 为相互作用真空;$ H $ 为系统哈密顿量;$ |n_{i}\rangle $ 为哈密顿量的本征态;$ E_i $ 为第$ i $ 个态的能量;$t_0(t_{\rm f})$ 为产生(湮灭)算符所处的时刻。从上述表达式可以看出,当$t_{\rm {f}}-t_{0}$ 足够大时,关联函数将由基态强子主导,选取合适的时间间隔进行拟合可得到与算符$ \mathcal{O} $ 具有相同量子数的基态强子态质量。由于胶球主要由胶子构成,一般采用纯规范场来构造胶球算符,以此来计算胶球质量谱。在格点上用规范链替代了规范场,因此可以通过由规范链组成的规范不变量——威尔逊圈来构成胶球算符,图1列出了一些威尔逊圈的构型[11]。通过对不同形状的威尔逊圈做
$ O $ 群的转动来构建一定数目的胶子算符,再将这些算符进行线性组合,使得它们满足空间点群的各个不可约表示——$A_1,A_2,E,T_1,T_2$ ,并对这些算符做空间反演变换,构造出具有确定P宇称的算符;再对这些算符取实部对应着电荷共轭宇称$ C=+ $ ,取虚部对应着$ C=- $ ,来给出确定C宇称的算符。最终得到属于空间点群各个不可约表示的具有确定PC宇称的算符$ \mathcal{O}^{\rm PC}_{A_1, \, A_2, \, E, \, T_1, \, T_2} $ 。当取连续极限$ a\to 0 $ 时,可以对应到具有确定$ \mathcal{O}_J^{\rm PC} $ 的算符,它们的一些对应关系见表 1。$ J $ $ \varLambda $ 0 $ A_{1} $ 1 $ T_{1} $ 2 $ E \oplus T_{2} $ 3 $ A_{2} \oplus T_{1} \oplus T_{2} $ 4 $ A_{1} \oplus E \oplus T_{1} \oplus T_{2} $ 例如,我们若采用图1中第一种威尔逊圈来构建属于
$ A_1^{++} $ 的胶球算符:这里的
$ \mathcal{O}_{1, 2, 3} $ 分别表示三种不同空间取向的威尔逊圈。对于$ A_1 $ 表示,这些算符前面的系数都相同。对其他表示, 算符前的系数可以根据群表示的不可约分解得到。此外,我们还可以进一步做涂抹1 的操作,来获得更大的算符集合。对每组量子数构建了24种胶球算符,利用这些胶球算符可以构建出$ 24\times24 $ 的两点关联函数矩阵$ C^{ij}_2(t, {\boldsymbol{P}}), \ i, j=1, 2, ..., 24 $ 。通过求解如下的广义本征值方程:$ t_{\rm D} $ 固定为1的优化时间间隔,$ {\boldsymbol{v}}^{(R)} $ 为各个态的本征矢量。最终将胶球算符集合按本征矢量进行线性组合,即得到主要投影到第$ \alpha $ 个胶球的优化算符$ \mathcal{O}_{\rm opt}^\alpha=v^\alpha_i \mathcal{O}_i $ 。这些优化胶球算符构建的两点关联函数在较小的时间间隔上便以单态贡献为主,有利于获取较高精度的胶球质量。基于这些优化的胶球算符,人们可以进一步研究胶球的Bethe-Salpeter(BS)波函数、J/ψ辐射衰变过程的产率等问题。 -
在前一章介绍构建胶球算符,主要通过构建威尔逊圈,并通过线性组合成为空间点群的不可约表示的算符。另外,原则上也可以通过威尔逊圈的线性组合,构成色磁场
$ {\boldsymbol{B}}_c $ 及色电场$ {\boldsymbol{E}}_c $ ,然后根据连续空间下常见的标量胶球$ S(x) $ ,赝标量胶球$ P(x) $ 以及张量胶球$ \varTheta_{i j}(x) $ 的算符关系:其中
$ g $ 为规范耦合常数,$ \theta_{i j}^{E}, \theta_{i j}^{B} $ 定义为来构建胶球算符。实际上在淬火近似下采用该方式也同样可以得到与前一章相同的胶球谱。然而值得注意的是,根据味单态的轴矢流瓦德恒等式(Axial Ward Identities):
$ F_{\mu \nu} $ 表示胶子场的场强张量,该式表明了拓扑荷密度算符$ q(x)=\frac{1}{32 \pi^2} \epsilon^{\mu v \rho \sigma} {\rm Tr} F_{\mu v} F_{\rho \sigma} $ 在存在海夸克的情形下,与同位旋单态的赝标量介子算符$ \bar{\psi}\gamma^{5}\psi $ 存在联系,从而该算符可能会与同位旋单态赝标量介子存在耦合,那么此时采用该算符来计算赝标量胶球可能不合适(原则上,由于$ F_{\mu\nu} $ 的$ 0i $ 分量,$ F_{0 i}=-E_i $ ;$ F_{\mu\nu} $ 的$ ij $ 分量,$F_{i j}= -\varepsilon_{i j k} B_k$ ,$ i, j, k=1, 2, 3 $ ,则拓扑荷算符$ q(x) $ 正比于$ {\boldsymbol{E}}(x) \boldsymbol\cdot {\boldsymbol{B}}(x) $ 。与式(9)对比,赝标胶球算符$ P(x) $ 也就正比于规范场的拓扑荷密度算符$ q(x) $ )。当前已有一些工作关注了这个问题,文献[27, 38-39]发现与色电磁型算符耦合到赝标量胶球的不同:拓扑荷型的算符主要耦合到质量更轻的介子, 如
$ \eta^\prime $ 。由于文献[27]中采用的组态只包含u, d海夸克,通过在包含$ 2+1 $ 味的海夸克组态进行模拟计算,有助于进一步验证该现象。因此我们采用RBC合作组[40]基于具有良好手征性的畴壁费米子作用量产生的达到物理
$\pi$ 介子质量的$ 2+1 $ 味海夸克组态,计算了拓扑荷密度关联函数并抽取出中间粒子的质量。组态参数见表2。$ L^{3} \times T $ $ a/\rm{fm} $ $m_{\rm{res} }^{(\rm s)} a$ $m_{\rm{s} }^{(\rm s)}$ $m_{\pi}/\rm{MeV}$ $ N_{\rm{cfg}} $ $ 48^{3} \times 96 $ 0.114 1(2) 0.000 61(1) 94.9 139 356 为了改进离散化误差,我们的计算采用了四叶草(clover)型的改进拓扑荷密度算符
$ q(x) $ [41]:其中:
$\bar{c}_1^{}=-1 / 12$ ;$c_0^{}=5 / 3$ 为Symanzik树级系数。$ q^{{\rm{clov }}}(x) $ 和$ q^{{\rm{rect }}}(x) $ 具有类似的形式:$ q^{{\rm{clov }}}(x) $ 和$ q^{{\rm{rect }}}(x) $ 的不同主要体现在$ F_{\mu \nu} $ 的构造上。clover型的$ F_{\mu \nu}^{{\rm{clov}}}(x) $ 可以表示为该形式将传统拓扑荷密度中场强张量
$ F_{\mu \nu}^{{\rm{plaq }}}(x)= {\rm{Im}}\left[U_\mu(x) U_\nu(x+a \hat{\mu}) U_\mu^{\dagger}(x+a \hat{\nu}) U_\nu^{\dagger}(x)\right] $ 的离散化误差改进到$ \mathcal{O}\left(a^4\right) $ 。$ F_{\mu \nu}^{{\rm{rect}}} $ 类似于$ F_{\mu \nu}^{{\rm{clov}}}(x) $ ,只是使用1×2这种小长方形圈来构造。最终通过计算由拓扑荷密度算符构成的两点关联函数来抽取相应的物理信息:
这里
$ r $ 为两个时空点$ x $ 、$ y $ 之间距离,$ r_{0}, r^{\prime} $ 为四维时空点。该两点关联函数在$ r=0 $ 时,即为拓扑磁化率(topological susceptibility),因此是一个正的数;而在$ r>0 $ 时,因$ q(x) $ 为一个赝标量的算符,故两点关联函数的符号为负。从数值上来看,两点关联函数会随$ r $ 由一个正数变成负数,并按指数衰减,到达某个最低点后会有上升的趋势。图2展示了两点函数的这种行为。理论上讲,$ C_2(r) $ 在大r区域的行为来自赝标量粒子的贡献。根据欧氏空间玻色子传播函数的性质,一个质量为M的赝标量介子的传播子对欧氏距离r的函数关系为这里
$ K_{1}(x) $ 为修正的贝塞尔函数。因此可以通过拟合两点关联函数来得到中间的赝标量粒子的质量。然而如图3所示,由式(12)定义的
$ q(x) $ 直接计算的$ C_2(r) $ 在$ r $ 比较大时统计噪音太大,得不到有统计意义的信号。文献[38]指出,对规范场做威尔逊流变换(Wilson flow),能有效改进拓扑荷密度算符关联函数的信号。威尔逊流$ B_{\mu} $ (Wilson flow)最早由Lüsher提出[42],定义为规范场做如下形式的变换:其中
这里的
$ t_{\rm f} $ 称为流时间(flow time),是一个用来描述规范场变换的参数;·为流时间的微分;$ S_{{\rm{Wilson}}} $ 为威尔逊作用量。随着$ t_{\rm f} $ 增加,规范场会向着作用量$ S_{{\rm{Wilson}}} $ 最陡下降的方向进行变换。随着这样的一个流变化,规范场相当于以$ \sqrt{8t_{\rm f}} $ 的半径进行涂抹(smearing)操作。因此进行威尔逊流变换,也相当于在对规范场做涂抹操作,降低规范场的涨落。我们计算了在不同流时间$ t_{\rm f} $ 下的两点关联函数,结果见图4。此外,采用对数坐标下的$ -C_{2}(r) $ ,结果见图5。从这两张图中可见,随着流时间
$ t_{\rm f} $ 增大,在大$ r $ 的信号会增强,两点函数由正变负的位置也会后移,这源于涂抹操作会将原本的局域$ \delta $ 函数扩展为非局域的函数。不过当$ r>6 $ 时,不同流时间的两点函数的衰减行为类似,表明此时都以相近的质量衰减。为了从两点关联函数中拟合出质量,需要选择合适的拟合区间。为此,我们定义如下的有效质量:对
$ [r, r+\varDelta r] $ 区间内的两点函数取平均值$ \bar{C}_{2}(|r|)=\sum_{\varDelta r}C_{2}(|r+ \varDelta r|)/\varDelta r $ 。在该区间的有效质量由以下方程求解得到其中
我们选取
$ \varDelta r=1 $ 的结果见图6。有效质量的结果可以帮助我们来大体选定拟合范围。从图中可以看出,在$ r>11 $ 之后的点误差已经变得较大,因此,我们限定$ r $ 的拟合上限为$ 10.5 $ 。对于选取不同拟合起点的得到的质量如图7所示。因在不同梯度流时间
$ t_{\rm f} $ 下的两点函数在r较大时给出相似的质量平台,故我们选择了信号较好的$ t_{\rm f}=0.6 $ 来拟合赝标介子质量。其他不同流时间的计算结果视为由于$ t_{\rm f} $ 的选择而带来的系统误差。我们选取的拟合函数为式(21)的形式。由图7的结果可以看出,从$ r=7 $ 开始,拟合的结果达到一个平台。此时拟合的$ \chi^2/{\rm{dof}}=0.44 $ ,因此,我们选取拟合区间为$7 \sim 10.5$ 。最终通过单质量项形式给出的拟合结果为$m=920(5)(10)~{\rm{MeV}}$ ,误差依次为拟合误差和系统误差。该结果与文献[38]的结果一致,且与实验值$m_{\eta^{\prime}}=957.78(6)~{\rm{MeV}}$ [43]在误差范围内相符合。拓扑荷密度算符主要通过轴矢流部分守恒关系与同位旋单态的赝标量介子耦合。而考虑到
$ \eta^\prime $ 和$ \eta $ 都会具有同位旋单态$ \eta_1 $ 的成分,我们应该可以从拓扑荷密度算符两点关联函数中看到这两个态。因此,我们进一步修改拟合函数,采用两个质量项来拟合。拟合函数形式与文献[38]中的类似:其中:
$ m_{\eta} $ 为$ \eta $ 介子质量;$ {\rm e}^{2m_{\eta^{\prime}}^{2}t} $ 和$ {\rm e}^{2m_{\eta}^{2}t} $ 因子来自于威尔逊梯度流的影响。该混合机制也可以解释我们采用单质量项拟合时,随起始r选取的越大,拟合质量降低的现象。在r较小时,与
$ \eta^{\prime} $ 耦合的权重大于与$ \eta $ 耦合的权重,质量偏高;在r较大时,与$ \eta $ 耦合的权重大于与$ \eta^{\prime} $ 耦合的权重,质量偏低。由于两者的混合,也就可以很好地解释拟合出的$ \eta^{\prime} $ 质量会呈现出整体比实验数据低的现象。另外,式(22)中的参数$ A_1 $ 和$ A_2 $ 的物理含义也是清楚的。考虑到质量本征态$ \eta $ 和$ \eta' $ 是味道八重态$ \eta_8 $ 和单态$ \eta_1 $ 的混合,即$ |\eta\rangle=\cos\theta |\eta_8\rangle-\sin\theta |\eta_1\rangle $ ,$ |\eta'\rangle=\sin\theta |\eta_8\rangle+\cos\theta |\eta_1\rangle $ $|\eta\rangle= \cos\theta |\eta_8\rangle-\sin\theta |\eta_1\rangle$ ,$ |\eta'\rangle=\sin\theta |\eta_8\rangle+\cos\theta |\eta_1\rangle $ ,其中$ \theta $ 是$ \eta-\eta' $ 的混合角。令$\langle 0|q(0)|\eta_1\rangle = Z$ 并且考虑$\langle 0|q(0)|\eta_8\rangle = 0$ ,从理论上讲我们有$ A_1=Z^2 \cos^2\theta $ 和$ A_2=Z^2 \sin^2\theta $ ,即$ \tan^2\theta=A_2/A_1 $ 。文献[38]的做法是通过理论模型估计$\eta$ 的质量,然后对给定的一些混合角$ \theta $ 在$0^\circ \sim 30^\circ$ 的条件下利用式(22)来判断混合角的合适取值并拟合$ m_{\eta'} $ 。我们这里将这个约束放开,通过拟合出$A_1,\, A_2$ 来直接给出$ \eta^\prime $ ,$ \eta $ 的混合角的估计。我们采用单态拟合给出的$ \eta^\prime $ 的信息作为先验,来进行两态拟合,对于不同的梯度流动时间$ t_{\rm f} $ ,不同拟合起点的$ A_{1} $ $ A_{2} $ $ \eta^{\prime} $ $ \eta $ 拟合结果如图8和图9。在梯度流时间$ t_{\rm f}=0.6 $ 时,拟合区间$ r $ 点定为$11 \sim 12.6$ ,我们的拟合结果给出最轻的态的质量为$m_\eta=615(95) $ MeV,与实验上$ \eta $ 质量$547.86(1)~{\rm{MeV}}$ 接近;激发态的质量为$ {m_\eta'}=918(160)\; {\rm{MeV}} $ ,与$ \eta^\prime $ 介子质量是相容的,这里拟合的$ \chi^2 / {\rm{ dof }} $ 为$ 0.68 $ 。根据拟合得到的$ A_1 $ 和$ A_2 $ ,我们也可以估计$ |\theta| $ 的取值范围(这里只能得到绝对值),即由不同的拟合结果得到的
$ |\theta| $ 估计值见图10。尽管这种方式得到的混合角误差较大,但中心值基本上在$20^{\circ} \sim 30^{\circ}$ 之间,和基于Gell-Mann-Okubo线性质量关系得到的混合角$ \theta_{\rm{lin}}=24.5^\circ $ [43]是符合的。考虑到$ A_1 $ ,$ A_2 $ 物理含义为其中
$ \langle 0\left|q(0)\right| \eta\rangle $ 为拓扑荷密度算符在赝标量介子态与真空态之间的矩阵元,式(23)中$ |\tan\theta| $ 的定义和文献[44]中的定义是一致的,而我们的结果$|\theta| \sim ( 20^\circ \sim 30^\circ)$ 和该文献的结果$ |\theta|=24(4)^\circ $ 是相容的。通过以上的计算表明,在存在动力学夸克的组态上,采用拓扑荷密度算符得到的粒子的质量与
$ \eta $ ,$ \eta^{\prime} $ 接近,与淬火近似下的赝标量胶球的质量差别较大。在研究赝标量胶球的相关性质时,我们应该采用格点上更常见的威尔逊圈的组合方式来进行。当然根据拓扑荷密度算符与赝标量介子的关系,也为我们提供了计算$ \eta $ ,$ \eta^{\prime} $ 粒子相关性质的新方法。