Intermittency and Fractals in Fragmenting Processes

人们对中能重离子碰撞(Intermediate Heavy Ion Collision)的研究已经进行了近一个世纪，但是，碰撞过程及其多重碎裂的动力学机制仍然是当前争论的热点问题之一^[1-5]。几十年来，人们通过对碰撞过程的研究，揭示出了碰撞体系中的稳定性条件、多重碎裂相变以及发生相变的临界行为等许多特征，并从动力学与统计学两个截然不同的物理学角度出发对这些特征进行了理论解释，理论研究表明^[6-11]：无论是动力学模型还是统计模型，都可以很好地描述多重碎裂现象中的某一方面的特征。事实上，这种现象与非线性动力学或确定性混沌^[12-16]有着密切的联系，混沌是由确定性动力学产生的随机性，与统计随机性的本质不同。同时，理论研究还表明，无论是动力学输运模型还是统计模型，都可以很好地描述多重碎裂现象中的某些特征。换句话说，在解释中能HIC的现象中，动力学输运模型与统计学模型表现出了很好的一致性。正如文献[17]所述：混沌学“揭示的是有序与无序的统一，确定性与随机性的统一”，“它正在消除对于统一的自然界的决定论和概率论两大对立描述体系间的鸿沟”。受此启发，我们认为：在研究中能重离子碰撞现象方面，动力学输运模型与统计学模型表现出的一致性，也许为我们深入理解确定性动力学与统计学之间的联系提供了可能性^[18-20]，换句话说：研究中能HIC的非线性动力学过程的特殊表现形式，不仅有助于我们更加全面地理解碰撞动力学机制，还有助于丰富我们对确定性混沌的认识。最近，从这样的思路和目的出发，我们借助于同位旋相关的量子分子动力学(Isospin-Dependent Quantum Molecular Dynamics, IQMD)模型^[21-23]对中能重离子碰撞过程模拟，对碰撞过程中所形成的受激系统仅在平均场的作用下的时空演化过程中，所表现出来的核物质分布密度的涨落和最大李雅普诺夫指数等做了分析，显示了系统对于初始条件的高度敏感性。通过分析完整的碰撞过程(单体和两体作用同时考虑)，考察了碰撞过程中的广义熵、反应末态中的多重碎裂熵、碎块分布的阶乘矩等这些典型的非线性混沌特征^[23]。

本文中，我们将在上述工作的基础上，进一步研究碰撞与多重碎裂过程中的间歇性混沌与分形的具体表现特征。为此，本文第一节对IQMD模型以及我们对该模型所做的修改作简要的介绍。第二节将在介绍和比较阶乘矩的几种不同定义的基础上，利用阶乘矩方法定量计算间歇性指数与分形维数，并由此来显示多重碎裂的非线性动力学机制，最后一节是总结和讨论。

IQMD模型是一种充分考虑核相互作用相关效应的多体输运模型，非常适合研究中间能量下碰撞系统的多重碎裂现象。IQMD模型是QMD模型的一个扩展版本^[1-2]，在解释多重碎裂，特别是放射性束所诱导的中能HIC的相关特征方面取得了巨大的成功^[24-26]。该模型主要包含两个成分：同位旋相关(包括对称势)的平均场和介质中同位旋相关的核子碰撞截面。同位旋相关的相互作用势由以下几部分组成：

其中${U^{{\text{Sky}}}},\; {U^{\text{C}}} ,\;{U^{{\text{Sym}}}},\; {U^{{\text{Yuk}}}} ,\; {U^{M{\text{di}}}},\; {U^{{\text{Pauli}}}}$分别是Skyrme势、库仑势、对称势、汤川势、动量相关的相互作用势和泡利势，其具体表达式及公式中涉及的参数见文献[24-28]。

在研究中能核碰撞中，核子-核子(N-N)碰撞截面的表达式有着多种不同的形式。本文中，我们使用了文献[29]中提出的与同位旋有关的N-N截面公式，其形式如下：

其中：β为弹核速度与光速之比；ρ为核物质密度，单位为fm⁻³；σ_nn和σ_np分别为中子-中子(或质子-质子)截面和中子-质子截面；E_lab是实验室坐标系下的入射能量。通过理论模拟与实验数据的比较，我们得到了反映泡利阻塞效应的能量依赖修正因子^[30-31]：

用以修正不确定度关系R_r×R_p ≥ ξh，这里的R_r和R_p分别表示坐标空间和动量空间中所占据的费米球的半径。利用这些表达式，我们研究了费米能量附近的重离子反应中的耗散现象，并且得到了与实验数据符合的很好的结果。

由于本文的目的在于研究多重碎裂过程中所表现出来的间歇性和分形等非线性的一般特征，因此，我们暂且不考虑诸如弹靶核的中质比、原子核的奇异结构等不同的入射道条件所导致的特殊效应，也为了保证碰撞的充分性(即弹靶中的核子均为参与者)，我们仅选取由中质比和质量数均对称的弹靶原子核所引起的中心碰撞。为此，我们首先在图1中给出了入射能量为E = 80 MeV/u时，反应系统⁴⁰Ca + ⁴⁰Ca中，中等质量碎片的多重数$ {N_{{\text{IMF}}}} $随时间的变化，图1(a)显示的是 $ {N_{{\text{IMF}}}} $随时间的变化。图中清楚的显示出了不同阶段电荷数满足$2 \leqslant {Z} \leqslant 20$的IMF随时间的变化。约在200 fm/c之后，系统中的$ {N_{{\text{IMF}}}} $基本达到稳定值，将t = 250 fm/c时刻做为反应的终态，我们在图1(b)给出了这个时刻，即反应终态的产额分布。此图显示产物中出现大量的IMF并给定了IMF具体分布。我们将从这样的分布中提取间歇性和分形的信息。

间歇性或阵发性，本是海洋和大气湍流中发生的一种特殊现象^[32]。混沌动力学的研究表明：这种现象不仅发生在复杂的耗散系统中，而且发生在非线性动力系统^[32]的时空演化中，类似于倍周期分岔或准周期性，通常被看作是动力学系统由规则运动向混沌过渡的可能途径之一，有时甚至可以直接将间歇性看作是系统是否混沌的判据。

核反应本质上是一个高度非线性的多体动力学过程，间歇性正是系统相互作用的非线性相关性的一种表现^[33-35]，定量地表现为反应产物的分布对于统计分布的偏离。正应为如此，人们通常将这种非线性动力学原因所导致的涨落称之为动力学涨落或者大涨落，以示与统计噪声的区别。阶乘矩(Scaled factorial moments)被证明是可以消除统计噪声的一种数学方法，Bialas等^[36]最早将其应用于高能核反应中并揭示出了间歇性的存在。文献 [36-38]定义的阶乘矩形式为

其中：n_m是相空间ΔΩ中体积为δΩ的第m个窗口(bin)内的粒子数或团簇的个数；M = ΔΩ/δΩ是划分ΔΩ的窗口的总数目；$N = \sum\limits_{m = {\text{1}}}^M {{n_{\text{i}}}}$是全区间ΔΩ中的粒子或团簇的总数；q是阶乘矩的阶数。一般的计算方法是：对于每一个事件，可以求得对应的$ F_q^{\text{O}} $，然后对所有事件进行平均，记为$\left\langle F_q^{\text{O}} \right\rangle$。随着δΩ的减小，如果表现出标度行为：

则表明分布的涨落中存在着间歇性，其中α_q叫做间歇指数。对于一个给定的分布来说，间歇性的出现意味着产生这种分布的动力学系统具有阵发混沌的特征，这时的分布图案本身显示出强烈的尖峰“peak”或深坑“dip”，即分形特征。另一方面，人们通过对一些理想模型(例如渗透模型)的研究表明：在系统的连续相变的临界点附近，标度行为反映出关联长度趋于无穷大。因此，研究碰撞系统的产物的分布中的动力学涨落特性，具有十分重要的意义。

值得指出的是：尽管这种定量显示间歇性的方法通常被大多数人所接受，但是也有人对于复杂动力学系统中间歇性及其特征的定量描述存在着不同的看法，正如文献[39]所述：“间歇性的定义并不唯一，特别是在一些动力学机制尚不清晰的复杂系统中，更没有被人们所普遍接受的定义”。 同时，在SFM的具体计算中，由于总会涉及多个事件数、多个窗口以及多个粒子(或者团簇)在不同窗口中的不同数目等，对这些众多因素的不同平均方法可以导致阶乘矩的不同大小和变化形态，例如文献[38]和[39]，进而导致不同的间歇指数，甚至可以直接影响到人们对于一个给定系统中是否存在间歇性做出准确判断^[37]。无论如何，间歇性预示着动力学过程的“重要物理实质”^[40]。

通常，由于对多个事件和许多不同窗口的平均方法的不同，导致阶乘矩有两种不同的表达式，分别称为归一化水平矩$ F_q^{\text{H}} $和垂直矩$ F_q^{\text{V}} $^[40-41]：

其中：${\bar n_m} = \frac{1}{M}\sum\limits_{m{{ = 1}}}^M {{n_m}}$，而$\left\langle {\bar n_m} \right\rangle = \frac{1}{M} \left\langle \sum\limits_{m{{ = 1}}}^M {n_m} \right\rangle = \frac{{ \left\langle n \right\rangle }}{M},{\text{ }}n = \sum\limits_{m{{ = 1}}}^M {{n_m}}$。

其中：$\left\langle {n_m} \right\rangle = \frac{1}{{{N_{{\text{ev}}}}}}\sum\limits_{i{{ = 1}}}^{{{\text{N}}_{{\text{ev}}}}} {{n_{m,\,i}}}$；公式中的括号$\left\langle \cdots \right\rangle $表示对事件的平均值；而1/M表示对整体窗口的平均值。两种不同的表达式所表示的阶乘矩对于分布的敏感性有所不同：$F_q^{\rm{H}}$依赖于不同窗口之间的相关性，因此，它对单粒子或碎块的分布密度敏感。相反地，$F_q^{\rm{V}} $只对每个窗口内的涨落敏感，对于分布密度的整体形状并不敏感。

人们在中能HIC的多重碎裂现象以及激发核体系的临界相变信号的研究过程中，已经对于QMD的模拟产物的中等质量碎块分布的阶乘矩做了计算^[42-43]。最近，我们按照式(6)对阶乘矩的定义，利用IQMD模型模拟⁴⁰Ca + ⁴⁰Ca碰撞，分析了其产物中中等质量碎块的分布，并观察到间歇性的存在^[23]。这里，我们将进一步研究碰撞过程中的间歇性行为和分形特性的定量表现。为此， 我们将图1(b)所示的反应产物的分布范围看作为上述公式中所述的相空间区域，即将产物分布中碎块的电荷数量Z的分布范围看作为ΔΩ，并将其划分为M个大小为$ \delta Z{\text{ }} $不同的窗口，则对应的阶乘矩$ F_q^{\text{H}} $和$ F_q^{\text{V}} $随窗格bin的大小δZ的变化如图2所示。这里$\delta Z = \frac{{{Z_{\max }} - {Z_{\min }}}}{M}$，$ {Z_{\max }} $和$ {Z_{\min }} $分别是每次碰撞所得碎块的最大质子数和最小质子数。

从图2中可以看到，上述曲线均可以用直线来拟合，也就是说两种分析的结果都表现出间歇性行为，并且垂直矩的间歇指数大于水平矩的间歇指数。由于文献[37, 44]已经指出：水平矩不一定能够区别多重碎裂过程到底属于瞬时过程还是级联的过程，因此，我们在后续的数值计算将主要以对垂直矩$F_q^{\rm{V}} $的分析为主。

分形是出现在耗散系统或非线性动力系统的相空间中的一种特殊的几何结构，在混沌学中称其为奇异吸引子，分形维数d_q与间歇指数α_q间有如下关系^[45]：

按照分形的分类：若d_q与q无关，则对应于单分形(monofractal)，如果$ {d_q} \propto q $则为多重分形(multifractal)。在图3中我们绘出了⁴⁰Ca+⁴⁰Ca碰撞系统中的分形维数随阶数q的变化。显然中能HIC中多重碎裂过程所表现出的分形结构更符合多分形的特征。

基于⁴⁰Ca+⁴⁰Ca的研究，我们对⁵⁸Ni+⁵⁸Ni的碰撞系统的阶乘矩也做了详细的研究，在图4中给出⁵⁸Ni+⁵⁸Ni碰撞系统的归一化水平矩和归一化垂直矩。

从图4的结果我们可以看出，对于⁵⁸Ni + ⁵⁸Ni的碰撞系统和⁴⁰Ca + ⁴⁰Ca的碰撞系统，不论是归一化水平矩还是归一化垂直矩都可以很好的用直线去拟合，并且在分形理论当中，若阶乘矩满足这种幂律行为，就认为该系统具有间歇性，间歇性是出现在复杂耗散系统中的一种现象，也是确定论的动力学系统产生随机性的一种表现。同样我们根据式(10)对⁵⁸Ni + ⁵⁸Ni的碰撞系统的间歇指数和分形维数进行了研究，这里我们选取归一化垂直矩的间歇指数来研究该碰撞系统的分形维数数和间歇指数的关系。其研究结果如下图5所示。

其结果显示，对于⁵⁸Ni + ⁵⁸Ni间歇指数和分形维数的依赖关系，与⁴⁰Ca + ⁴⁰Ca类似，其分形维数和间歇指数满足$ {d_q} \propto q $，则更进一步说明中能HIC中多重碎裂过程所表现出的分形结构更符合多重分形的特征，并且给出了拟合过程当中的误差棒，发现二阶矩所对应的的拟合结果更好，拟合的误差值更小，更为精确。

上述结果主要是针对反应终态的分析而得到的。正如我们所知：混沌运动是非线性动力学系统时空演化的一种表现。在此，我们按照混沌学的研究思想，直接将阶乘矩作为非线性混沌程度的度量，来观察它在多重碎裂过程中的时空表现。根据图1可见，我们所选定的碰撞过程的多重碎裂主要发生在t = 60 fm/c到t = 120 fm/c的时间间隔内，很容易得到这个时间范围内的阶乘矩。基于二阶矩，即F₂的特殊作用^[23]，我们在图6(a)给出了$\left\langle {{F_{q = 2}}} \right\rangle $随δZ的变化，图中每一条曲线对应于一个不同的时间，图6(b)给出了二阶矩间歇指数α_q随碰撞过程的时间演化。

图6表明：碰撞过程中不同时间的间歇性指数α₂明显不同，在多重碎裂发生的时刻，α₂达到最大值，对应图1中IMF的多重数的最大值。由于间歇指数的大小反映的是非线性动力学涨落的大小以及相互作用的关联范围。例如，在没有非线性相关性而只有统计噪声的动力系统的情况下，间歇指数应该为零。结合我们最近的研究结果^[23]，我们发现：在间歇指数取最大值的时刻，碰撞系统中多重碎裂的多重性、核子横向动量转移、系统的广义熵、以及多重碎裂熵均达到了各自的最大值，这些物理量的相互印证，进一步表明：此时系统表现出最强的混沌性^[40]，这些特征与发生在Ising模型中的二阶相变^[37]相类似。因此，在碰撞系统的时间演化过程中，间歇指数在发生多重破碎时达到最大值，这是非线性碰撞动力学的另一个典型特征。当然，这些特性能否作为有限碰撞系统发生二阶相变的证据，还需要结合其他相变指标的行为来进一步证实^[46-47]。

间歇性是出现在复杂耗散系统中的一种现象，在系统的时空演化中表现为奇异结构，或称为奇怪吸引子，也是确定论的动力学系统产生随机性的一种表现，与统计随机性有着本质的区别。正如前文所述，寻找物理过程中的间歇性并定量地描述其特征，是当前混沌动力学正在探索的重要课题之一。20世纪80年代末，人们发现高能粒子碰撞中存在着间歇性，具体表现为末态粒子的快度分布所对应的阶乘矩与分辨率之间存在着一种特殊的依赖关系，即幂次律(Power Law)，表明分布的涨落具有自相似的特征，与非线性系统在有序与无序运动之间发生的临界相变行为高度相似，反映出系统相互作用的标度无关性。吴元芳、刘连寿教授等对高能碰撞的粒子产生中的阵发性展开了一系列细致的研究，并对阶乘矩方法在高能碰撞研究中的具体应用做了深入探索，揭示出了粒子产生过程中的一系列奇特行为，例如多分形、自仿射性等。一个自然的问题是：这些特征是否会出现在中能HIC的多重碎裂过程中？具体如何表现？多重碎裂相变到底是单分形(monofractal)还是多分形(multifractal)? 在事件空间中如何表现？这些问题目前并没有明确的答案。正是出于这样的动机，近期我们对中能HIC和多重碎裂的非线性混沌的具体表现进行了系列研究，本文中，对多重碎裂过程中的间歇性表现和分形特征做了较为细致的探讨，我们首先利用IQMD，通过对典型碰撞系统的模拟，在相变特征最为明显的入射能区，详细分析了反应过程及其末态的碎块分布，所给出的结果显示：1) 反应末态的事件空间中，表现出多重分形特征；2) 在碰撞系统发生多重碎裂的阶段，初级碎块的分布对应间歇性指数达到最大值。在本文的计算中，我们分别选取了一组同位旋和质量数对称但总的质量数不同的碰撞体系对⁴⁰Ca + ⁴⁰Ca 和⁵⁸Ni + ⁵⁸Ni做了类似的分析，所得结论基本一致，表明上述两个特征具有普适性，这些新揭示出的特征，有助于我们深刻理解中能HIC过程及多重碎裂的动力学机制，同时，通过剖析中能HIC这种典型的非线性动力学过程，丰富了我们的非线性混沌的知识。