Study on 'Island of Inversion' Nucleus ³³Mg Ground State Properties by Complex Momentum Representation Method

原子核中的壳层结构已经成功地解释了稳定核的结构和性质。自20世纪70年代以来，位于经典幻数N=20附近的不稳定核Ne、Na和Mg同位素基态的形变引起了人们的广泛关注^[1]。科学家们在不稳定核中观察到了传统幻数的消失，并揭示了原子核壳层结构的变化情况。sd壳层和pf壳层之间单粒子能隙的减小导致幻数N=20消失^[2-4]。pf能级会入侵到这些原子核的基态中，导致原子核基态的核子填充在入侵的pf能级上，从而引起原子核基态宇称的改变^[5]。科学家把这些入侵能级在基态中占主导地位的区域命名为反转岛(Island of Inversion, IOI )^[6]。后来这一概念逐渐被扩展到核素图中的其它区域。到目前为止，科学家们已经提出了在N=8, 20, 28, 40和50时存在反转岛^[2,7-9]。研究反转岛内的原子核一直是现代核物理学的主要课题之一^[2]。

以丰中子核Na和Mg为中心的反转岛已经得到充分证实^[10]。³³Mg是位于反转岛N=20区域内的原子核^[11]。近年来，理论物理学家们对³³Mg的基态宇称进行了研究^[11-13]。文献[11]将激光光谱学与核磁共振技术相结合，首次测得了³³Mg的自旋I=3/2，磁矩μ=−0.745 6(5)μ_N，并提出了³³Mg具有负的宇称基态，基态构型为2p-2h。文献[12]指出³³Mg只有是负宇称才可以解释负磁矩。在最近的文献[13]中，通过动量分布分析法能得到³³Mg具有明显的负宇称特征。³³Mg 的1f_7/2和2p_3/2轨道的相对位置存在一定的敏感性，目前在实验上还不清楚^[14]。

对于奇特核，它们的中子或质子费米面非常接近零势能面，连续阈附近弱束缚和非束缚态的贡献变得十分重要，尤其是连续谱中共振态的贡献更为重要。因此，物理学家们已经发展了许多方法来研究单粒子的共振态，包括散射相移方法^[15]、Jost函数方法^[16-17]、格林函数方法^[18-19]、耦合常数解析延拓方法^[20-22]、实稳定化方法^[23-24]以及复标度方法^[25-26]等。这些理论方法在研究单粒子的共振态方面取得了一定成功，但仍然存在一些缺陷。因此，我们建立了复动量表象(Complex Momentum Representation, CMR)方法，采用CMR方法，不仅能够统一描述束缚态、共振态和连续谱，而且能够很好地描述窄共振和宽共振。这些优点使CMR方法不仅适用于描述稳定核，也适用于描述远离稳定线的弱束缚核^[27-29]。另外，最近文献[30]首次应用格林函数方法求解耦合道Dirac方程，研究了四极形变Woods-Saxon势的共振态，证明了格林函数方法对于描述共振态是非常有效和可靠的。不论是宽共振和窄共振，球形核还是形变核都适用^[30]。

本工作将在相对论框架下采用CMR方法^[29]对 ³³Mg进行研究，通过计算得到³³Mg的束缚态和共振态，给出单粒子能级随形变参数β₂的变化情况,确定1f_7/2和2p_3/2轨道的相对位置，同时探究³³Mg的能级反转现象以及基态性质。

为了在相对论框架下用CMR方法研究形变核³³Mg的结构和性质，在本小节中将介绍其理论形式。核子运动的Dirac方程为

式(1)中$\boldsymbol \alpha$和β是Dirac矩阵，M和$\boldsymbol P$分别代表核子的质量和动量，$ \psi $为波函数。在Dirac方程中引入四级形变，矢量势 $V(\boldsymbol r)$和标量势$S(\boldsymbol r)$ 写成如下形式：

径向函数f(r)和K(r)采用Woods-Saxon形式$ f(r) = \frac{1}{{1 + \exp [(r - R)/a]}} $和$ K(r) = \frac{{r{\text{d}}f(r)}}{{{\text{d}}r}} $ 。为了得到式(2)中势的共振态，在复动量表象中求解Dirac方程：

这里$H = \boldsymbol \alpha \boldsymbol\cdot \boldsymbol p + V(\boldsymbol r) + \beta (M + S(\boldsymbol r))$，$\psi (\boldsymbol k)$是动量空间的波函数。为了求解形变系统的Dirac方程式(3)，采用耦合通道法，把波函数$\psi (\boldsymbol k)$展开为

角向部分波函数是二维旋量，${\phi _{ljm_j}}({\Omega _k}) = \sum\limits_{{m_s}} {\left\langle {\left. {lm\frac{1}{2}{m_s}} \right|j{m_j}} \right\rangle } {Y_{lm}}({\Omega _k}){\chi _{{m_s}}}$。Dirac旋量的大小旋量分别用轨道量子数$ l $,$ \tilde l $来表示，两个量子数和总角动量之间的关系为$ \tilde l = 2j - l $。需要强调的是，对于轴对称形变系统，总角动量$ {m_j} $的第三分量和宇称$ \pi $都是好量子数。将式(4)的波函数带入式(3)中，即可得到耦合道Dirac方程：

其中

式(6)中的V+S和式(7)中的V-S分别代表平均势场Σ和Δ。在复动量空间中求解方程式(5)，可以同时得到束缚态和共振态。详情见参考文献[31]。在坐标表示中，波函数的上下分量可以通过以下公式计算：

本工作在相对论框架下采用CMR方法来研究³³Mg的基态性质。在不丢失一般性的情况下，采用以下形式的Woods-Saxon势：

式中：V₀, a和R分别为势阱深度、扩散系数和势场的范围。在式(5)中，Σ势场有三个参数，Δ势场有三个参数，类似于文献[32-33]，Σ势场和Δ势场中的a和R被设定为相同值。这些参数的初始值是通过拟合³³Mg中相对论平均场(Relativistic Mean-Field, RMF)计算的平均场确定的。它们分别是：Δ₀=712 MeV，Σ₀=−65.9 MeV，R=3.68 fm和a=0.66 fm。

确定这些参数后，在复动量空间中求解Dirac方程式(5)。CMR方法获得的共振态的能量和宽度与其它方法相比，虽然结果相似，但CMR方法能够统一处理束缚态、共振态和连续谱，而且能够很好地描述窄共振和宽共振^[27]。我们可以准确得到不同形变时³³Mg所有束缚态和共振态单粒子能量，这对分析单粒子能级占据情况以及基态性质有着至关重要的作用。遗憾的是，本工作尚不能计算得到基态的能量，这是由于将CMR方法应用到描述形变核的RMF理论框架，并自洽考虑原子核的形变、对关联、连续谱的贡献，探索统一描述轴对称形变核的RMF-CMR理论还未完全建立。

在图1中展示了在形变参数为−0.4≤β₂≤0.6时，³³Mg所有相关的单粒子能量随形变参数β₂的变化情况。在图中可以清晰地观察到每个单粒子能级的位置，有利于观察能级反转现象。图中的实线代表正宇称能级，虚线代表负宇称能级。从图1中可以得到，在β₂=0(球形核)时，1d_3/2壳层以下的能级排序与标准壳层的能级排序是一样的。但是，位于1d_3/2壳层上面的fp壳层，与标准壳层的排序不同，其中2p_3/2壳层的能量为0.28 MeV，1f_7/2壳层的能量为0.37 MeV，2p_3/2壳层反转到了1f_7/2 壳层的下面，使2p_2/3壳层更靠近阈值。这表明2p_3/2壳层的降低有可能会影响³³Mg的基态宇称。当β₂=0(球形核)时，从图1中可以看到，³³Mg的最后一个价中子占据在2p_3/2壳层上，并有效的给出一个负宇称基态。但由于³³Mg是反转岛区域内的原子核，这类原子核通常具有反常大形变的性质^{[3, 34]}，那么³³Mg更可能是一个形变核。

当系统的球对称性被打破(β₂≠0)时，各个壳层分别分裂出它们的Nilsson轨道。1d_3/2壳层分裂成1/2[211]和3/2[202]轨道，2p_3/2壳层分裂成1/2[310]和3/2[301]轨道，2p_1/2壳层分裂成1/2[301]轨道,1f_7/2 壳层分裂成1/2[330]、3/2[321]、5/2[312]和7/2[303]轨道。在图1中用不同颜色的“21”对应在每个形变区间下，³³Mg的第21个中子即最后一个价中子占据的轨道。从图1中可以看到，当形变参数为−0.4≤β₂≤−0.33、−0.33≤β₂≤0、0≤β₂≤0.38、0.38≤β₂≤0.49、0.49≤β₂≤0.55、0.55≤β₂≤0.6时，最后一个价中子分别占据在单粒子轨道1/2[211]、7/2[303]、1/2[310]、3/2[202]、3/2[321]、1/2[211]上。当β₂<0(扁椭形)时，³³Mg的最后一个价中子可能占据在单粒子轨道1/2[211]和7/2[303]上，从文献[11-13]中可知，实验上已经得出了³³Mg的自旋宇称为3/2⁻，所以³³Mg的最后一个价中子不会占据在1/2[211]和7/2[303]这两个轨道上。当β₂>0(长椭形)时，³³Mg的最后一个价中子可能占据在单粒子轨道1/2[310]、3/2[202]、3/2[321]、1/2[211]上，和β₂<0(扁椭形)时的情况一样，由于我们已经得知³³Mg基态的自旋宇称为3/2⁻，那么³³Mg基态的最后一个价中子不会占据在1/2[310]、3/2[202]、1/2[211]这三个轨道上。而单粒子轨道3/2[321]符合实验得到的自旋宇称。综上所述，³³Mg的最后一个价中子最合适占据的轨道是3/2[321]。这一结果表明³³Mg的基态宇称主要来自1f_7/2壳层分裂出的3/2[321]轨道。从图1中可以看到，当³³Mg的最后一个价中子占据在轨道3/2[321]上时，对应的形变参数为0.49≤β₂≤0.55，由此推测³³Mg的形变参数大约处于0.49与0.55之间。从实验上得知³³Mg的附近同位素²⁸Mg, ³⁰Mg, ³²Mg和³⁴Mg的形变值分别为0.484 2, 0.413, 0.515和0.556^[35]，因此³³Mg也可能具有较大的长椭形变，同时印证了反转岛核具有大形变的明显特征。

值得注意的是，我们通过计算得到了³³Mg所有束缚态和共振态单粒子能级的能量，同时绘制出Nilsson能级图。球形时，我们观察到1f_7/2和2p_3/2发生了能级反转，此时在β₂>0的情况，2p_3/2分裂出的Nilsson轨道很自然地反转到了1f_7/2分裂出的Nilsson轨道下方，从而影响最后一个核子占据的轨道。需要强调的是，³³Mg是N=20反转岛区域内具有较大形变的原子核，对于形变核，当 |β| 从零开始增加时，最后填充的主壳中大多数单粒子能级的能量下降^[36]。即使球形时1f_7/2和2p_3/2没有发生了能级反转，随着β₂的增加，1f_7/2分裂出的3/2[321]轨道也会下降，N=20的闭壳层消失。通过分析，同样可以得出³³Mg具有大形变的3/2^-基态。

通过以上的分析已经确定了³³Mg的最后一个价中子占据在单粒子轨道3/2[321]上。通过计算单粒子态主要组分的占比$ {p^{{m_j}}} $来评估Nilsson轨道${\psi _{{m_j}}}(\boldsymbol k)$中每个单粒子态$\psi (\boldsymbol k)$的权重^[37]。即

在图2中给出了由1f_7/2壳层分裂而成的3/2[321]轨道主要组分的占比$ {p^{{m_j}}} $。从图中可以看到，在β₂=0时，f_7/2分量占据着3/2[321]轨道的主导地位。但随着形变参数β₂的增加，f_7/2分量的占比逐渐下降，p_3/2分量的占比逐渐升高，在β₂=0.08时，p_3/2分量的占比超过了f_7/2分量的占比。在0.49≤β₂≤0.55处，p_3/2的占比达到了73%。这表明由1f_7/2壳层分裂而成的3/2[321]轨道逐渐被p_3/2壳层占据，并且入侵能级p_3/2最终占据了3/2[321]轨道的主导地位。

由上述分析可知，3/2[321]轨道在β₂=0.5附近的主要组分为p_3/2，这为形成晕现象提供了有利条件^[38]。为了进一步判断³³Mg中是否存在晕，我们画出了3/2[321]轨道的径向密度分布。图3显示了在β₂=0.5时3/2[321]能级的径向密度分布，为了更好地观察结果，我们也画出了相邻两个能级1/2[211]和1/2[310]的径向密度分布。从图中可以看到，在β₂=0.5时，能级3/2[321]的径向密度分布与相邻的两个能级相比弥散程度有限，相对比较集中。如果一个原子核是晕核，那么它最外层价核子的结合能非常小，原子核的密度分布比较弥散。同时，对于³³Mg，我们看到3/2[321]轨道在β₂=0.5附近的能量过于束缚。由此可以推测³³Mg可能不存在晕的奇特结构。

最终，通过分析得出了³³Mg基态宇称主要来自由1f_7/2壳层分裂而成的3/2[321]轨道。该轨道在0.49≤β₂≤0.55时，入侵能级p_3/2占据着3/2[321]轨道的主导地位。由于能级3/2[321]的径向密度分布相对比较集中，则³³Mg可能不是一个晕核。同时，可以预测出³³Mg具有大的长椭形变，形变大约处于0.49与0.55之间。

本工作介绍了反转岛理论的发展，概述了近年来科学家们对反转核³³Mg基态宇称的研究。我们应用CMR方法来研究原子核的共振态，在相对论框架下利用CMR方法计算得到了³³Mg所有单粒子能级的能量，画出了−0.4≤β₂≤0.6时³³Mg的Nilsson能级图。观察到在β₂=0(球形核)时，2p_3/2和1f_7/2 轨道发生了p-f反转。通过对能级结构和最后一个价中子占据的轨道分析得出，³³Mg的基态宇称主要来自0.49≤β₂≤0.55时1f_7/2壳层分裂出的3/2[321]轨道。因此我们预测出³³Mg的形变参数大约处于0.49与0.55之间。并分析了3/2[321]轨道的占据几率，可以清晰地看到3/2[321]轨道逐渐被p_3/2壳层占据，并且入侵能级p_3/2最终占据了3/2[321]轨道的主导地位。之后我们分析了3/2[321] 能级的径向密度分布，得出³³Mg可能不存在晕核的奇特结构。