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IQMD模型是一种充分考虑核相互作用相关效应的多体输运模型,非常适合研究中间能量下碰撞系统的多重碎裂现象。IQMD模型是QMD模型的一个扩展版本[1-2],在解释多重碎裂,特别是放射性束所诱导的中能HIC的相关特征方面取得了巨大的成功[24-26]。该模型主要包含两个成分:同位旋相关(包括对称势)的平均场和介质中同位旋相关的核子碰撞截面。同位旋相关的相互作用势由以下几部分组成:
$$ U(\rho ) = {U^{{\text{Sky}}}} + {U^{\text{C}}} + {U^{{\text{Sym}}}} + {U^{{\text{Yuk}}}} + {U^{{\text{Mdi}}}} + {U^{{\text{Pauli}}}} \text{,} $$ (1) 其中
${U^{{\text{Sky}}}},\; {U^{\text{C}}} ,\;{U^{{\text{Sym}}}},\; {U^{{\text{Yuk}}}} ,\; {U^{M{\text{di}}}},\; {U^{{\text{Pauli}}}}$ 分别是Skyrme势、库仑势、对称势、汤川势、动量相关的相互作用势和泡利势,其具体表达式及公式中涉及的参数见文献[24-28]。在研究中能核碰撞中,核子-核子(N-N)碰撞截面的表达式有着多种不同的形式。本文中,我们使用了文献[29]中提出的与同位旋有关的N-N截面公式,其形式如下:
$$\begin{split} {\sigma _{{\text{nn}}}} =\,& (13.73 - 15.04{\beta ^{{{ - 1}}}} + 8.76{\beta ^{{{ - 2}}}} + 68.67{\beta ^{\text{4}}}) \times \\ &\frac{{1.0 + 7.772E_{{\text{lab}}}^{{\text{0}}{\text{.06}}}{\rho ^{{\text{1}}{\text{.48}}}}}}{{1.0 + 18.01{\rho ^{{\text{1}}{\text{.46}}}}}} \text{,} \end{split}$$ (2) $$ \begin{split} {\sigma _{{\text{np}}}} =\,& ( - 70.67 - 18.18{\beta ^{{{ - 1}}}} + 25.26{\beta ^{{{ - 2}}}} + 113.85\beta )\times \\ &\frac{{1.0 + 20.88E_{{\text{lab}}}^{{\text{0}}{\text{.04}}}{\rho ^{{\text{2}}{\text{.02}}}}}}{{1.0 + 35.86{\rho ^{{\text{1}}{\text{.90}}}}}} \text{,} \end{split} $$ (3) $$\begin{split} \beta = \sqrt {1.0 - \frac{{1.0}}{{{\gamma ^{\text{2}}}}}} ,\,\gamma = \frac{{{E_{{\text{lab}}}}}}{{931.5}} + 1.0 \text{,} \end{split}$$ (4) 其中:β为弹核速度与光速之比;ρ为核物质密度,单位为fm−3;σnn和σnp分别为中子-中子(或质子-质子)截面和中子-质子截面;Elab是实验室坐标系下的入射能量。通过理论模拟与实验数据的比较,我们得到了反映泡利阻塞效应的能量依赖修正因子[30-31]:
$$ \xi (E) = 0.644 + 0.011E - 1.513{E^{\text{2}}} + 6.214{E^{\text{3}}} \text{,} $$ (5) 用以修正不确定度关系Rr×Rp ≥ ξh,这里的Rr和Rp分别表示坐标空间和动量空间中所占据的费米球的半径。利用这些表达式,我们研究了费米能量附近的重离子反应中的耗散现象,并且得到了与实验数据符合的很好的结果。
由于本文的目的在于研究多重碎裂过程中所表现出来的间歇性和分形等非线性的一般特征,因此,我们暂且不考虑诸如弹靶核的中质比、原子核的奇异结构等不同的入射道条件所导致的特殊效应,也为了保证碰撞的充分性(即弹靶中的核子均为参与者),我们仅选取由中质比和质量数均对称的弹靶原子核所引起的中心碰撞。为此,我们首先在图1中给出了入射能量为E = 80 MeV/u时,反应系统40Ca + 40Ca中,中等质量碎片的多重数
$ {N_{{\text{IMF}}}} $ 随时间的变化,图1(a)显示的是$ {N_{{\text{IMF}}}} $ 随时间的变化。图中清楚的显示出了不同阶段电荷数满足$2 \leqslant {Z} \leqslant 20$ 的IMF随时间的变化。约在200 fm/c之后,系统中的$ {N_{{\text{IMF}}}} $ 基本达到稳定值,将t = 250 fm/c时刻做为反应的终态,我们在图1(b)给出了这个时刻,即反应终态的产额分布。此图显示产物中出现大量的IMF并给定了IMF具体分布。我们将从这样的分布中提取间歇性和分形的信息。 -
间歇性或阵发性,本是海洋和大气湍流中发生的一种特殊现象[32]。混沌动力学的研究表明:这种现象不仅发生在复杂的耗散系统中,而且发生在非线性动力系统[32]的时空演化中,类似于倍周期分岔或准周期性,通常被看作是动力学系统由规则运动向混沌过渡的可能途径之一,有时甚至可以直接将间歇性看作是系统是否混沌的判据。
核反应本质上是一个高度非线性的多体动力学过程,间歇性正是系统相互作用的非线性相关性的一种表现[33-35],定量地表现为反应产物的分布对于统计分布的偏离。正应为如此,人们通常将这种非线性动力学原因所导致的涨落称之为动力学涨落或者大涨落,以示与统计噪声的区别。阶乘矩(Scaled factorial moments)被证明是可以消除统计噪声的一种数学方法,Bialas等[36]最早将其应用于高能核反应中并揭示出了间歇性的存在。文献 [36-38]定义的阶乘矩形式为
$$ F_q^{\text{O}} = {M^{q{{ - 1}}}}\frac{{\displaystyle\sum\limits_{m{{ = 1}}}^{\text{M}} {{n_m}\left( {{n_m} - 1} \right)} \cdots \left( {{n_m} - q + 1} \right)}}{{N(N - 1) \cdots (N - q + 1)}} \text{,} $$ (6) 其中:nm是相空间ΔΩ中体积为δΩ的第m个窗口(bin)内的粒子数或团簇的个数;M = ΔΩ/δΩ是划分ΔΩ的窗口的总数目;
$N = \sum\limits_{m = {\text{1}}}^M {{n_{\text{i}}}}$ 是全区间ΔΩ中的粒子或团簇的总数;q是阶乘矩的阶数。一般的计算方法是:对于每一个事件,可以求得对应的$ F_q^{\text{O}} $ ,然后对所有事件进行平均,记为$\left\langle F_q^{\text{O}} \right\rangle$ 。随着δΩ的减小,如果表现出标度行为:$$ \left\langle {F_q^{\text{O}}} \right\rangle \propto {(\delta \Omega )^{{{ - }}{\alpha _q}}} \text{,} $$ (7) 则表明分布的涨落中存在着间歇性,其中αq叫做间歇指数。对于一个给定的分布来说,间歇性的出现意味着产生这种分布的动力学系统具有阵发混沌的特征,这时的分布图案本身显示出强烈的尖峰“peak”或深坑“dip”,即分形特征。另一方面,人们通过对一些理想模型(例如渗透模型)的研究表明:在系统的连续相变的临界点附近,标度行为反映出关联长度趋于无穷大。因此,研究碰撞系统的产物的分布中的动力学涨落特性,具有十分重要的意义。
值得指出的是:尽管这种定量显示间歇性的方法通常被大多数人所接受,但是也有人对于复杂动力学系统中间歇性及其特征的定量描述存在着不同的看法,正如文献[39]所述:“间歇性的定义并不唯一,特别是在一些动力学机制尚不清晰的复杂系统中,更没有被人们所普遍接受的定义”。 同时,在SFM的具体计算中,由于总会涉及多个事件数、多个窗口以及多个粒子(或者团簇)在不同窗口中的不同数目等,对这些众多因素的不同平均方法可以导致阶乘矩的不同大小和变化形态,例如文献[38]和[39],进而导致不同的间歇指数,甚至可以直接影响到人们对于一个给定系统中是否存在间歇性做出准确判断[37]。无论如何,间歇性预示着动力学过程的“重要物理实质”[40]。
通常,由于对多个事件和许多不同窗口的平均方法的不同,导致阶乘矩有两种不同的表达式,分别称为归一化水平矩
$ F_q^{\text{H}} $ 和垂直矩$ F_q^{\text{V}} $ [40-41]:$$ F_q^{\text{H}} = \frac{1}{M}\sum\limits_{m{{ = 1}}}^M {\frac{{\big\langle {{n_m}({n_m} - 1) \cdots ({n_m} - q + 1)} \big\rangle }}{{{{\left\langle {{{\bar n}_m}} \right\rangle }^q}}}} \text{,} $$ (8) 其中:
${\bar n_m} = \frac{1}{M}\sum\limits_{m{{ = 1}}}^M {{n_m}}$ ,而$\left\langle {\bar n_m} \right\rangle = \frac{1}{M} \left\langle \sum\limits_{m{{ = 1}}}^M {n_m} \right\rangle = \frac{{ \left\langle n \right\rangle }}{M},{\text{ }}n = \sum\limits_{m{{ = 1}}}^M {{n_m}}$ 。$$ F_q^{\text{V}} = \frac{1}{M}\sum\limits_{m{{ = 1}}}^M {\frac{{\big \langle {{n_m}({n_m} - 1) \cdots ({n_m} - q + 1)}\big \rangle }}{{{{\langle {{n_m}} \rangle }^q}}}} \text{,} $$ (9) 其中:
$\left\langle {n_m} \right\rangle = \frac{1}{{{N_{{\text{ev}}}}}}\sum\limits_{i{{ = 1}}}^{{{\text{N}}_{{\text{ev}}}}} {{n_{m,\,i}}}$ ;公式中的括号$\left\langle \cdots \right\rangle $ 表示对事件的平均值;而1/M表示对整体窗口的平均值。两种不同的表达式所表示的阶乘矩对于分布的敏感性有所不同:$F_q^{\rm{H}}$ 依赖于不同窗口之间的相关性,因此,它对单粒子或碎块的分布密度敏感。相反地,$F_q^{\rm{V}} $ 只对每个窗口内的涨落敏感,对于分布密度的整体形状并不敏感。人们在中能HIC的多重碎裂现象以及激发核体系的临界相变信号的研究过程中,已经对于QMD的模拟产物的中等质量碎块分布的阶乘矩做了计算[42-43]。最近,我们按照式(6)对阶乘矩的定义,利用IQMD模型模拟40Ca + 40Ca碰撞,分析了其产物中中等质量碎块的分布,并观察到间歇性的存在[23]。这里,我们将进一步研究碰撞过程中的间歇性行为和分形特性的定量表现。为此, 我们将图1(b)所示的反应产物的分布范围看作为上述公式中所述的相空间区域,即将产物分布中碎块的电荷数量Z的分布范围看作为ΔΩ,并将其划分为M个大小为
$ \delta Z{\text{ }} $ 不同的窗口,则对应的阶乘矩$ F_q^{\text{H}} $ 和$ F_q^{\text{V}} $ 随窗格bin的大小δZ的变化如图2所示。这里$\delta Z = \frac{{{Z_{\max }} - {Z_{\min }}}}{M}$ ,$ {Z_{\max }} $ 和$ {Z_{\min }} $ 分别是每次碰撞所得碎块的最大质子数和最小质子数。从图2中可以看到,上述曲线均可以用直线来拟合,也就是说两种分析的结果都表现出间歇性行为,并且垂直矩的间歇指数大于水平矩的间歇指数。由于文献[37, 44]已经指出:水平矩不一定能够区别多重碎裂过程到底属于瞬时过程还是级联的过程,因此,我们在后续的数值计算将主要以对垂直矩
$F_q^{\rm{V}} $ 的分析为主。分形是出现在耗散系统或非线性动力系统的相空间中的一种特殊的几何结构,在混沌学中称其为奇异吸引子,分形维数dq与间歇指数αq间有如下关系[45]:
$$ {d}_{q} = {\alpha }_{q}/(q-1) \text{,} $$ (10) 按照分形的分类:若dq与q无关,则对应于单分形(monofractal),如果
$ {d_q} \propto q $ 则为多重分形(multifractal)。在图3中我们绘出了40Ca+40Ca碰撞系统中的分形维数随阶数q的变化。显然中能HIC中多重碎裂过程所表现出的分形结构更符合多分形的特征。基于40Ca+40Ca的研究,我们对58Ni+58Ni的碰撞系统的阶乘矩也做了详细的研究,在图4中给出58Ni+58Ni碰撞系统的归一化水平矩和归一化垂直矩。
从图4的结果我们可以看出,对于58Ni + 58Ni的碰撞系统和40Ca + 40Ca的碰撞系统,不论是归一化水平矩还是归一化垂直矩都可以很好的用直线去拟合,并且在分形理论当中,若阶乘矩满足这种幂律行为,就认为该系统具有间歇性,间歇性是出现在复杂耗散系统中的一种现象,也是确定论的动力学系统产生随机性的一种表现。同样我们根据式(10)对58Ni + 58Ni的碰撞系统的间歇指数和分形维数进行了研究,这里我们选取归一化垂直矩的间歇指数来研究该碰撞系统的分形维数数和间歇指数的关系。其研究结果如下图5所示。
其结果显示,对于58Ni + 58Ni间歇指数和分形维数的依赖关系,与40Ca + 40Ca类似,其分形维数和间歇指数满足
$ {d_q} \propto q $ ,则更进一步说明中能HIC中多重碎裂过程所表现出的分形结构更符合多重分形的特征,并且给出了拟合过程当中的误差棒,发现二阶矩所对应的的拟合结果更好,拟合的误差值更小,更为精确。上述结果主要是针对反应终态的分析而得到的。正如我们所知:混沌运动是非线性动力学系统时空演化的一种表现。在此,我们按照混沌学的研究思想,直接将阶乘矩作为非线性混沌程度的度量,来观察它在多重碎裂过程中的时空表现。根据图1可见,我们所选定的碰撞过程的多重碎裂主要发生在t = 60 fm/c到t = 120 fm/c的时间间隔内,很容易得到这个时间范围内的阶乘矩。基于二阶矩,即F2的特殊作用[23],我们在图6(a)给出了
$\left\langle {{F_{q = 2}}} \right\rangle $ 随δZ的变化,图中每一条曲线对应于一个不同的时间,图6(b)给出了二阶矩间歇指数αq随碰撞过程的时间演化。图6表明:碰撞过程中不同时间的间歇性指数α2明显不同,在多重碎裂发生的时刻,α2达到最大值,对应图1中IMF的多重数的最大值。由于间歇指数的大小反映的是非线性动力学涨落的大小以及相互作用的关联范围。例如,在没有非线性相关性而只有统计噪声的动力系统的情况下,间歇指数应该为零。结合我们最近的研究结果[23],我们发现:在间歇指数取最大值的时刻,碰撞系统中多重碎裂的多重性、核子横向动量转移、系统的广义熵、以及多重碎裂熵均达到了各自的最大值,这些物理量的相互印证,进一步表明:此时系统表现出最强的混沌性[40],这些特征与发生在Ising模型中的二阶相变[37]相类似。因此,在碰撞系统的时间演化过程中,间歇指数在发生多重破碎时达到最大值,这是非线性碰撞动力学的另一个典型特征。当然,这些特性能否作为有限碰撞系统发生二阶相变的证据,还需要结合其他相变指标的行为来进一步证实[46-47]。
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摘要: 为了深入理解中能重离子碰撞中多重碎裂的动力学机制,利用同位旋相关量子分子动力学模型,模拟了一组系统的中心碰撞过程,应用阶乘矩方法分别对反应末态和反应过程中所形成的初级碎块的分布进行了细致分析,结果显示:在相变特征最为明显的入射能区:1) 反应末态的碎块分布显示出多重分形特征;2) 在碰撞系统发生多重碎裂的阶段,初级碎块的分布对应间歇性指数达到最大值。对相似碰撞系统所做的同样分析表明,这些特征在中能多重碎裂反应中具有普遍性。本文所揭示出的新特征,有助于我们深刻理解中能重离子碰撞过程及多重碎裂的动力学机制,同时,通过对重离子碰撞这种高度非线性动力学过程的剖析,丰富了我们对非线性混沌的知识。Abstract: In order to understand more comprehensively the dynamical mechanism of the multifragmentation taking place in heavy ion collision at intermediate energies, in the present paper, with help of the factorial moment method, we analyze the concrete behaviors of intermittent chaos and fractal in the distributions of the fragments in the reaction final states and the primary fragments formed during the fragmentation process, by simulating some collisions within the framework of the isospin dependent quantum molecular dynamics model. Our results show that 1) the fluctuations of the distribution of these fragments multiplicity are multi-fractal rather than mono-fractal, and 2) the intermittent exponent reaches its maximum at the stage of the multi-fragmentation taking place during the collisions. The universality of these features is verified by studying the similar colliding systems with the same analysis method. These new features we have revealed here not only help us to deepen our understanding of the dynamic mechanism of the multifragmentation, but also enrich our knowledge of nonlinear dynamics.
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Key words:
- intermittency /
- fractal /
- multiple fragmentation /
- heavy ion collisions /
- intermediate-energy
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