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熔盐反应堆作为第四代核反应堆重点发展的堆型之一，具有高度的安全性、可靠性、经济性，并且由于熔盐堆具有小型化的优势，使其具备在船舰上使用的可能性。因此，研究诸如熔盐堆等先进反应堆型的屏蔽优化设计是有必要的。在反应堆屏蔽设计的工程应用中，需要综合考虑重量、体积、屏蔽效果等，是一个复杂的多目标优化问题。传统的优化方法是设计者根据经验提供多种参考方案，再经过手动计算筛选出最优解，因而使用传统的优化方法耗时长，效率低且误差大。
针对反应堆屏蔽优化问题，国内外研究人员开展了一系列的智能优化理论及方法研究，结果表明，遗传算法在解决此类问题中具有较大的优势[1-2]。在文献[3]中，作者创造性地提出将BP神经算法与遗传算法(GA)相耦合的反应堆屏蔽设计智能优化方法，通常用于单目标问题的优化[3]。在文献[4]中，作者通过改进神经网络算法及NSGA-II自适应算子，将深度神经网络(DNNs)与非支配遗传算法(NSGA-II)相耦合，可用于解决一般的多目标问题[4]。虽然NSGA-II的应用并不局限于三个目标以内的优化问题，但当优化问题的数目足够多的时候，NSGA-II优化效果较差[5]。
本文通过将全连接神经网络(FCNN)与第三代排序遗传算法(NSGA-III)相耦合的反应堆屏蔽设计智能优化方法，针对熔盐堆模型进行优化计算，综合考虑轻量化和辐射防护最优化，以期得到熔盐反应堆屏蔽设计多目标的pareto最优解。
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基于误差反向传播算法构建的全连接神经网络(Fully Connected Neural Network, FCNN)具有很强的非线性映射能力、自适应和自组织能力，可以通过一次次的正向学习与反向调整，使神经网络训练误差降到最小[6]。全连接神经网络的特点是上一层网络中每一个神经元节点都与下一层网络中的每一个神经元节点都有关系，其结构如图1所示。
图 1 FCNN结构示意图
通过训练的神经网络有较强的泛化能力，能够对未在训练过程中遇到的数据进行合理的预测，可用于处理一些复杂问题的近似解，在优化问题中有着广泛的应用前景[7]。
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Kalyanmoy Deb 和 Himanshu Jain 于2014年提出基于参考点的非支配排序方法的进化多目标优化算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithms III, NSGA-III)，该算法通过求解空间上超平面参数及相关数据，对分布在多维求解空间中的解集进行随机选择，保证优化解集在超平面上的均匀性，并利用良好分布的参考点来保持种群的多样性。如图2所示，是该算法的流程图[8-10]，假设初代种群为Pt，其大小为N，初代种群为Pt和其后代种群Qt构成组合种群Rt，其大小为2N，Fi为第i个非支配层，St是使用非支配层构建的一个新的种群，直到St的大小等于N或第一次超过N时，设最后包含的非支配层是第L层。在优化开始前，设St为空集，i = 1。
图 2 NSGA-Ⅲ算法流程图
为了从种群Pt中选择最好的N个解进入下一代，首先将Rt按照非支配层(F1，F2······)进行划分，根据优化目标的个数(M)与每个目标划分的部分(p)确定超平面上的参考点的数量(H)：
$$ H = \left( \begin{gathered} M + p + 1 \\ p \\ \end{gathered} \right)。 $$ (1) 在种群个体自适应归一化之前，先构造一个理想点Z = (Z1min, Z2min, ···, ZMmin)，再利用成就度量函数找出各目标分量上的极值点Zj, max:
$$ \begin{split} & Z^{j,\max } = s{:\arg \min }_{s \in s_{\text{t}} } ASF\left( {s,w^j } \right),\\ &w^j = {(\tau ,\, \cdots ,\,\tau )^T},\,\tau = {10}^{ - 6} ,\, w_j^j = 1 。 \end{split}$$ (2) 对待归一化的目标执行归一化操作：
$$ \mathop f\nolimits_i^n (x) = \frac{{\mathop f\nolimits_i' (x)}}{{\mathop a\nolimits_i - \mathop z\nolimits_i^{\min } }} = \frac{{\mathop f\nolimits_i (x) - \mathop z\nolimits_i^{\min } }}{{\mathop a\nolimits_i - \mathop z\nolimits_i^{\min } }} 。 $$ (3) 参考点设置完成后，要进行关联操作，我们要让种群中的个体分别关联到相应的参考点。计算各目标值与参考线之间的欧式距离：
$$ d^ \bot (s,\,w) = \left\| s - \frac{{ w^T sw}}{{ {\parallel w\parallel }^2 }}\right\| \text{，} $$ (4) 然后确定离解决方案
$ s $ 最近的参考点及距离：$$ \pi (s) = w:{\arg \min}_{w \in z^r }{d^ \bot }(s,\,w), d(s) = {d^ \bot }(s,\,\pi (s)) \text{，} $$ (5) 最后通过π(s)计算各参考点的拥挤度向量ρj，算法执行小生境保持算子从Fl中选择个体，直到Pt+1中的个数数目达到N。
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利用神经网络耦合NSGA-III的反应堆屏蔽设计超多目标优化方法的流程图见图3。首先，确定屏蔽优化问题，建立蒙特卡罗模型及输入输出类别。其次，使用蒙特卡罗方法计算一定数量的样本，统计输入输出数据。然后，将处理后的数据作为FCNN的输入及输出端进行训练，得到一定的映射关系。最后，使用NSGA-III耦合FCNN，经过交叉、遗传、变异，进行方案寻优。
图 3 反应堆屏蔽设计智能优化方法流程图
因此，使用遗传算法调用神经网络寻优，可以避免大量的蒙特卡罗计算使遗传算法性能低下的问题，并且，NSGA-Ⅲ算法的使用可以避免在多目标优化过程中优化目标权重设置时的人为干预，增加了优化解的分布范围。
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图4是根据美国橡树岭国家实验室提出并建造的熔盐实验堆(MSRE)建立的熔盐堆屏蔽优化模型[11-15]，屏蔽层内侧半径为81 cm，屏蔽层高度为280 cm，在原始模型的基础上结合后续屏蔽优化的计算要求，设置屏蔽层部分的材料选择和厚度变化见表1。使用DE/DF卡和基于NCRP-38、ANSI/ANS给定的通量-剂量转换因子，统计最外侧墙壁上的中子剂量与光子剂量。
图 4 MSRE屏蔽优化模型 (在线彩图)
表 1 MSRE模型屏蔽层部分的材料选择和厚度变化
序号 厚度变化
范围/cm材料选择 原始模型
厚度/cm原始模型
材料B1 4-8 钢、硼钢、铁、铝 4 铝 B2 4-8 铁、铝、聚乙烯 6 聚乙烯 B3 3-7 铅、钢、硼钢 4 铅 根据表1所示的材料选择和厚度变化范围批量产生2 000组蒙特卡罗计算样本，统计最外侧墙壁上的中子剂量与光子剂量，统计误差在5%以内[16]，蒙特卡罗程序计算结果可信，可用于后续FCNN的机器学习。
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在实际工程应用中，设计者们更关心的为中子剂量与光子剂量之和，而在之前的研究中，是在神经网络训练之前，将中子剂量与光子剂量耦合，在神经网络预测时，可直接得到总剂量，但由于神经网络训练总剂量时，输入和输出数据的相关性降低，导致误差增大、训练效果差。针对熔盐堆屏蔽计算模型优化问题，我们先使用FCNN分别对中子剂量和光子剂量进行非线性拟合，再采取在NSGA-III优化过程中边耦合边优化的方法进行针对总剂量和重量的双目标优化。设计变量及约束条件的数学模型可表示为
$$ s.t.\left\{ \begin{array}{l} \min \mathop F\nolimits_{\rm{D}} (X) = \mathop D\nolimits_{\rm{N}} (X) + \mathop D\nolimits_{\rm{P}} (X) \leqslant \mathop D\nolimits_0 \\ \min \mathop F\nolimits_{\rm{W}} (X) = \sum {\mathop \rho \nolimits_i \mathop V\nolimits_i \leqslant \mathop W\nolimits_0 } \\ \mathop L\nolimits_j \leqslant \mathop x\nolimits_j \leqslant \mathop U\nolimits_j (j = 1,\,2,\, \cdots ,\,n) \end{array} \right.\text{，} $$ (6) 式中：FD、FW分别为屏蔽方案总剂量和重量；DN、DP分别为屏蔽层外的中子剂量值和光子剂量值；
$ X $ 为一组特定的屏蔽设计参数；ρi、Vi分别为反应堆各个屏蔽层的密度与体积；D0、W0分别为原始模型的总剂量和重量；xj为任意一组屏蔽方案的优化变量，包括屏蔽层的材料和厚度；Lj、Uj分别为对应的设计方案的上确界和下确界。 -
针对图4所示的MSRE模型，我们期待通过神经网络训练，可以根据每层屏蔽层的厚度大小及材料选择，能够预测出最外侧墙壁上的中子剂量与光子剂量。因此，神经网络训练参数应包括屏蔽层厚度、材料以及样本计算后的剂量数据。
由于屏蔽层的厚度和材料种类与粒子在屏蔽层的自由程数直接相关[17]，因此将粒子在不同屏蔽层中的自由程数代替屏蔽层的厚度与材料种类特征，选择粒子在屏蔽层中输运时可能存在的某些能量值，并计算这些能量下的平均自由程数，作为神经网络的输入层参数，同时将统计得到的中子剂量与光子剂量作为神经网络的输出层参数。
将前期蒙特卡罗方法模拟出的2 000组样本，按照8:1:1的比例，分为训练集、测试集和验证集。其中，训练集用以计算梯度和修正网络的权值及阈值；验证集是在训练的过程中监控样本集的误差，确认误差在正常地减少，当验证集的误差下降到0.5%或者到达设定的迭代次数时，迭代结束；测试集是在迭代结束后用以预测未参与训练的样本误差。设置初始迭代次数为10 000代，根据对训练模型复杂程度、训练结果、训练时长的考量，设置神经网络层数为3层，其中输入层为平均自由程数，节点数n = 57，输出层为蒙特卡罗方法模拟出的剂量值，节点数m = 2，隐含层节点数p根据经验公式：
$$ p = \sqrt {n + m} + x \text{，} $$ (7) 式中：x为1~10的常数。对于该神经网络训练模型，在经验公式所给的范围内多次训练，发现当隐含层节点数设置为
$p = 15$ 时，训练效果最好。在这里，我们统计了数据的平均绝对百分比误差(Mean Absolute Percentage Error, MAPE)，计算方式如下：
$$ {\rm{MAPE}} = mean\left[ {ab s\left( {\frac{{\mathop Y\nolimits_{{\text{Real}}} - \mathop Y\nolimits_{{\text{Pred}}} }}{{\mathop Y\nolimits_{{\text{Real}}} }}} \right)} \right] \text{，} $$ (8) 式中mean, abs 分别为求平均值和绝对值的函数；YReal为数据真实值；YPred为数据预测值。神经网络进行数据学习过程中训练集和验证集的平均绝对百分比误差如图5所示，验证集上的平均绝对相对误差达到设定目标时，迭代结束，共迭代8 628代，用时2 min。此时训练集上的MAPE为0.543 7%，验证集上的MAPE为0.499 7%，在表1所示的范围内且在训练集之外，随机生成的200组测试集样本的MAPE为0.543 8%。
图 5 神经网路训练结果(在线彩图)
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在使用NSGA-III算法寻优时，设置各屏蔽层的厚度变化以及对应的材料选择为优化变量，在每一次迭代中，将神经网络预测的中子剂量与光子剂量耦合为每个个体的总剂量，设置种群数为1 000，迭代次数为200次，进行总剂量和重量的双目标寻优[18]。迭代过程中，目标值的最优解的变化如图6所示。
图 6 优化目标值随迭代过程的变化(在线彩图)
NSGA-III优化过程用时5 min，优化完成后，设置原始模型为约束条件，选取在约束条件内的第一前沿上的优化解，用神经网络的数据预测功能，计算优化结果对应的优化目标值。如图7所示，共得到131组优化方案，(D0, W0)处为原始模型的剂量与重量值在该双目标优化图中的位置，该131组优化方案的剂量与重量均优于原始模型。
图 7 NSGA-Ⅲ双目标优化结果
相较于原始方案，总剂量最小方案的剂量减少了66.04%，相应重量减少了0.36%。重量最轻的优化方案，重量减少了23.48%，总剂量减少了0.02%。另外，在全部的优化方案中，有60组优化方案的总剂量和重量两个优化目标均减少了20%以上。如表2所列，展示了总剂量最小，重量最轻的两组优化方案的材料和厚度。
表 2 优化方案中的材料及厚度选择
序号 总剂量最小的优化方案 重量最轻的优化方案 厚度/cm 材料 厚度/cm 材料 D1 8.00 铝 4.00 铝 D2 8.00 聚乙烯 5.38 聚乙烯 D3 4.13 硼钢 4.00 硼钢 使用蒙特卡罗软件模拟这两组组优化解，与神经网络预测值对比如表3所列。
表 3 模拟值与预测值的相对误差
优化方案 中子剂量 光子剂量 MCNP模拟值 预测值 相对误差/% MCNP模拟值 预测值 相对误差/% 总剂量最小 1.023 9×10−11 1.018 7×10−11 0.51 7.457 9×10−13 7.413 4×10−13 0.60 重量最轻 3.330 3×10−11 3.322 7×10−11 0.23 1.194 9×10−12 1.179 5×10−12 1.29 -
FCNN预测值与蒙特卡罗方法模拟值的平均绝对百分比误差在0.5%左右，可以看出，使用FCNN进行神经网络训练对该模型输入输出参数的函数关系拟合的精度高。
在熔盐堆模型优化过程中，我们使用了FCNN耦合NSGA-III算法进行优化。可以看到，优化解在二维空间中呈现较为良好的曲线，优化解分布广泛，与原始方案相比，得到的131组优化方案的总剂量与重量均优于原始模型，使用蒙特卡罗软件对优化解进行验证，结果可信。
基于FCNN与NSGA-III耦合的反应堆屏蔽设计智能优化方法针对该熔盐堆的多目标问题寻优结果较好，可以用于解决实际工程中的复杂问题。与传统的优化方法相比，该优化方法的时间成本降低且优化性能有了很大的提升，在先进反应堆屏蔽优化设计方面具有良好的应用前景。
致谢 本研究受广东省基础与应用基础研究基金(No. 2020B1515120035, 2021A1515010265, 2022A1515011462)资助。
Research on Intelligent Optimization of Reactor Radiation Shielding Design Based on FCNN-NSGA-Ⅲ
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摘要: 为了解决传统的辐射屏蔽设计中存在的效率低且误差高的问题，提出了一种基于全连接神经网络(FCNN)与第三代非支配排序遗传算法(NSGA-III)相耦合的反应堆屏蔽设计智能优化方法。以熔盐反应堆为例，建立反应堆屏蔽优化模型并利用蒙特卡罗软件计算大量样本，使用FCNN对计算数据进行机器学习，建立输入层参数与输出层参数的的多维非线性映射关系，将神经网络预测结果作为计算适应度函数的依据，基于NSGA-III进行多目标寻优，得到辐射屏蔽设计多目标优化的pareto最优解。研究结果表明，FCNN耦合NSGA-III的方法在求解多目标优化问题中表现良好，可实际应用于先进反应堆屏蔽设计中。
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关键词:
- 熔盐堆 /
- 第三代非支配遗传算法 /
- 全连接神经网络 /
- 屏蔽设计 /
- 多目标优化
Abstract: In order to solve the problems of low efficiency and high error in traditional radiation shielding design, an intelligent optimization method for reactor shielding design based on the coupling of the fully connected neural network (FCNN) and the third generation non dominated sorting genetic algorithm (NSGA-III) was proposed. Taking a molten salt reactor as an example, the reactor shielding optimization model is established and Monte Carlo software is used to calculate a large number of samples. FCNN is used to machine learn the calculation data, and the multi-dimensional nonlinear mapping relationship between input layer parameters and output layer parameters is established. The neural network prediction results are used as the basis for calculating the fitness function. Based on NSGA-III, multi-objective optimization is carried out to obtain the Pareto optimal solution for multi-objective optimization of radiation shielding design. The results show that the FCNN coupled NSGA-III method performs well in solving multi-objective optimization problems and can be applied to reactor shielding design. -
表 1 MSRE模型屏蔽层部分的材料选择和厚度变化
序号 厚度变化
范围/cm材料选择 原始模型
厚度/cm原始模型
材料B1 4-8 钢、硼钢、铁、铝 4 铝 B2 4-8 铁、铝、聚乙烯 6 聚乙烯 B3 3-7 铅、钢、硼钢 4 铅 
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表 2 优化方案中的材料及厚度选择
序号 总剂量最小的优化方案 重量最轻的优化方案 厚度/cm 材料 厚度/cm 材料 D1 8.00 铝 4.00 铝 D2 8.00 聚乙烯 5.38 聚乙烯 D3 4.13 硼钢 4.00 硼钢
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表 3 模拟值与预测值的相对误差
优化方案 中子剂量 光子剂量 MCNP模拟值 预测值 相对误差/% MCNP模拟值 预测值 相对误差/% 总剂量最小 1.023 9×10−11 1.018 7×10−11 0.51 7.457 9×10−13 7.413 4×10−13 0.60 重量最轻 3.330 3×10−11 3.322 7×10−11 0.23 1.194 9×10−12 1.179 5×10−12 1.29
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图(7) / 表 (3)
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